ch-4-statique des fluides-loi fondamentale de l`hydrostatique

4-STATIQUE DES FLUIDESLOI FONDAMENTALE DE L’HYDROSTATIQUE
Le mot statique peut désigner ou
qualifier ce qui est relatif à
l'absence de mouvement
L'hydrostatique est l'étude des liquides en équilibre statique
4-1 Introduction
On entend par statique des fluides , l’étudie des fluides au repos (pas de
fluides parfaits ou réels
mouvement de particules )
Les fluides ne s’écoulent pas
Dans lesquelles les particules fluides sont en équilibre statique
Il n’y a pas de contraintes due aux frottements entre les particules de fluides
( pas d’effet de viscosité )
Les forces qui interviennent sont uniquement des forces de surface engendrées
par la pression
La statique des fluides est riche d’enseignements.
4-2 Pression
4-2 -1 Notion de pression
On considère un récipient rempli d’un fluide au repos .
Soit une surface infinitésimale
dS
de ce récipient .
Le fluide , du fait de l’agitation thermique , exerce sur
proportionnelle à
dS
dS
→
une force d F
et orthogonale à la paroi , soit :
→
→
→
d F = P.d S = P.dS. n
→
n : vecteur unitaire normal à la surface
dS
Fluide
Mx
et orienté du fluide vers l’extérieur.
→
n
→
dF
P : Pression qui s’exerce au point M . C’est une grandeur scalaire
1
Remarque :
L’intérêt de la pression est de ne pas se limiter à la description des interactions
entre le fluide et la paroi : elle décrit parfaitement les forces normales exercées
entre les particules de fluide au repos .
Tout fluide au repos se comporte comme parfait : pas de viscosité . Ainsi , il ne
s’exerce de force tangentielle sur aucune particule de fluide : la pression est
largement suffisante pour étudier le fluide .
La pression exercée par un fluide sur une surface est liée aux chocs des
molécules du fluide sur cette surface.
4-2 -2 Définition de la pression
La pression est une grandeur physique importante et on la note
P
En mécanique , on définit la pression comme le quotient d’une force F (N ) sur
l’aire de la surface S (m2 ) sur laquelle elle s’applique , soit :
P=
F
(N / m2 )
S
Par exemple , la pression atmosphérique correspond au poids
exercé par une colonne d’air sur une surface donnée .
⌦Types de pression :
La pression absolue : Est la pression mesurée par rapport au vide absolu. Elle est
toujours positive.
La pression relative : Se définit par rapport à la pression atmosphérique existant
au moment de la mesure . Elle peut-être positive ou négative.
Elle peut donc prendre une valeur positive si la pression est supérieure à la pression
atmosphérique ou une valeur négative si la pression est inférieure à la pression
atmosphérique.
Pression atmosphérique (ou barométrique) : C'est la pression exercée par l'atmosphère
de la terre. La pression atmosphérique au niveau de la mer est de 1,012 bar.
Elle peut varier de +/- 25 mbar avec la pluie ou le beau temps.
La valeur de la pression atmosphérique décroît lorsque l'altitude augmente.
Pression absolue = Pression relative + Pression atmosphérique
Pression hydrostatique : C'est la pression exercée au dessous de la surface d'un liquide
par le liquide situé au dessus, quand le fluide est au repos.
Pression différentielle : Exprime la différence entre deux pressions.
2
Echelle P abs
Echelle P rel
P atm
0
Vide absolu
0
Remarque :
La pression atmosphérique est la pression qu'exerce le mélange gazeux constituant
l'atmosphère considérée (sur Terre : de l’air) sur une surface quelconque au contact avec
cette atmosphère. La pression atmosphérique diminue quand l'altitude augmente,
On parle de dépression quand la pression absolue est inférieure à la pression
atmosphérique: la pression relative est négative dans le cas d'une dépression
une pression positive, c'est une poussée d'un liquide ou d'un gaz qui cherche à
sortir de son confinement,
une pression négative c'est une aspiration venant d'une pompe, d'un aspirateur
ou du vide.
On parle du physique vide quand on fait diminuer la pression atmosphérique.
Patm
Pompage
Vide
4-2 -3 Unités de pression
⌦Il existe plusieurs unités de pression, dont l'utilisation dépend généralement de la
discipline.
Le Pascal (Pa ) est l’unité légale du système international (SI)
Une pression de 1 Pa correspond à une force F = 1N exercée sur une surface S = 1 m2
1 Pa =1 N/m²
Dans le système CGS , la pression s’exprime en : barye ( ba)
1 ba = 1 dyn/cm² = 1 g·cm-1·s-2
1 ba = 0.1 Pa
Une barye représentait donc une valeur de pression très faible
3
Dans la pratique , on rencontre souvent d’autres unités.
Le pascal étant très petit par rapport à la pression atmosphérique , on
utilise fréquemment son multiple le bar :
1 bar = 10 5 Pa
Remarque :
La pression atmosphérique est toujours voisine de 1 bar , d’où l’intérêt de
l’utilisation du bar .
1 mbar = 10-3 bar =100 Pa = 1 hPa
On utilise aussi l’atmosphère (atm ) : C’est une unité qui n’appartient à aucun
système d’unités .
Par définition :
1 atm correspond à 760 mm Hg
La masse de l'atmosphère exerce une pression
moyenne de 1 013 millibars (mb) sur la surface
terrestre.
Soit :
1 atm = 101 325 Pa = 1,013 bar
Remarque :
La pression normale est , par convention , égale à 760 mm Hg : elle
correspond donc à 1 atm = pression atmosphérique standard
Unité le torr : ou mm Hg unité définie comme la pression exercée à 0°C par une
colonne de 1 mm de mercure , soit :
1 torr correspond à 1 mm Hg
1 torr = 133,322368 Pa.
Unité le psi : Unité Anglo – saxonne qui correspond au pound per square
inch = livre par pouce carré , soit :
1 psi = 6 894 Pa
Elle est très utilisée notamment en hydraulique
4
4-2 -4 Mesures de pression
⌦Mesure de la pression atmosphérique
La pression atmosphérique se mesure à l'aide d'un baromètre.
Il existe plusieurs types de baromètre , nous citons :
Le baromètre à mercure
Le baromètre anéroïde,…
Le premier baromètre a été inventé par Torricelli en 1644
Le physicien Evangelista Torricelli fut le premier à se servir du baromètre à Mercure :
il consiste à mettre un tube dans un bassin de Mercure et voir si le niveau du Mercure
à l'intérieur du tube monte ( Beau temps ) ou descend ( Mauvais temps ) . Evangelista
Torricelli a mis en évidence, à travers cette expérience dite "expérience du vide" la
notion de pression atmosphérique .
Le baromètre à mercure
Le baromètre est composé d'un tube de verre
contenant du mercure et dont l'extrémité
ouverte (en bas) repose dans un bassin rempli
de mercure. Une échelle graduée permettant
de lire la pression se trouve sur le tube de
verre.
Patm =PA = PB
Volume de la colonne du mercure (Hg):
V = h.S
Masse de la colonne du mercure (Hg):
m = ρ Hg .V = ρ Hg .h.S
Poids de la colonne du mercure (Hg):
Poids = m.g = ρ Hg .V . g = ρ Hg .h.S .g
Pression exercée sur la section à la base de la colonne
du mercure (Hg) :
PA =
Poids
= ρ Hg .h.g
S
A et B sont sur la surface libre et soumis à la pression
atmosphérique (principe de l’hydrostatique):
Patm = PA = PB = ρ Hg .h.g
5
Le baromètre anéroïde
Il a été inventé en 1844 par l’ingénieur mécanicien Français Lucien VIDIE
Le principe de fonctionnement de ce baromètre est simple : une boîte métallique,
dans laquelle on a fait un vide partiel (absence d'air), s'écrase ou se détend selon
les changements de pression atmosphérique. Les mouvements de la boîte sont
amplifiés par un système de leviers relié à une aiguille qui tourne autour d'un point
central. C'est ce genre de baromètre que l'on utilise dans nos maisons.
Nous rappelons « vide » signifie que la pression à une valeur inférieure à la pression
atmosphérique
Document:
Les baromètres anéroïdes, ou baromètres
métalliques, sont fondés sur l'élasticité des
métaux. Ils comportent une enceinte
hermétique et vide, à parois minces (caisse
cylindrique dans le baromètre de Vidie, tube
en forme de circonférence et de section
elliptique dans celui de Bourdon). Lorsque la
pression atmosphérique varie, cette enceinte
se déforme et le déplacement est transmis par
un mécanisme amplificateur à une aiguille
mobile devant un cadran. Ces appareils sont
les plus répandus. En utilisant plusieurs
enceintes superposées pour augmenter la
déformation et en remplaçant l'aiguille par un
stylet scripteur qui s'appuie sur un papier
enroulé sur un tambour animé d'un
mouvement de rotation uniforme, on obtient
un baromètre enregistreur.
⌦Mesure de la pression hydrostatique
Il en existe de divers types de manomètres .
La pression hydrostatique est mesurée dans un liquide grâce à un manomètre
Un manomètre est un appareil destiné à mesurer la différence de pression
Il s'agit donc d'un appareil de mesure relative.
Les manomètres hydrostatiques mesurent les pressions différentielles
6
Manomètre type bourdon
Le plus simple des manomètres est un tube en U
Le tube en U contient un liquide .
La différence des niveaux de liquide dans les deux branches du tube donnera la
différence des pressions supportées par les deux surfaces libres de liquide utilisé.
x
B
Ax
PA − PB = ρ g h
Les deux branches du tube ont le même diamètre
7
Sensibilité d’un manomètre
La sensibilité d’un manomètre est le rapport de la variation des niveaux
à la variation de pression qui l’a provoquée , soit :
δ=
∆h
∆P
X
PB
Avec :
∆h
∆P = PA − PB = ρg∆h
PA
δ=
X
1
ρg
Remarque :
On voit que la sensibilité est d’autant plus grande que le liquide manométrique a
une masse volumique plus faible.
Les deux liquides les plus utilisés sont :
- le mercure pour les différences de pression importantes
- l’eau pour les faibles ∆P
4-3 Pression en point d‘un fluide
⌦En tout point d’un fluide existe une certaine pression que l’on peut mesurer à
l’aide d’une capsule manométrique.
Soit un point M dans le fluide . Si on considère une surface infinitésimale imaginaire
dS passant par le point M , la résultante de toutes les forces dues aux chocs sur dS
des molécules de fluide en mouvement désordonné est perpendiculaire à cette
surface dS et on peut écrire :
→
dF
dS
→
→
d F = P.dS. n
X
→
n
M
Cette force dépend évidemment de dS
Mais la pression P au point M du fluide est indépendante de dS. Elle dépend de la
position du point M et de la nature du fluide .
8
Exemple : Lors de la plongée sous marine , la pression de l’eau qui s’exerce
sur le plongeur augmente avec la profondeur .
On peut vérifier que la pression exercée sur le plongeur au sein de l’eau en équilibre:
Est constante en tous les points du plan horizontal.
Est indépendante de la direction considérée.
Croît au fur et à mesure que l’on s’éloigne de sa surface libre
On résume :
Variation de la pression en un point M d’un liquide en équilibre:
La pression est la même en tout point d’un même plan horizontal (plan isobare );
La pression augmente avec la profondeur d’immersion;
A même profondeur d’immersion, la pression augmente avec la masse volumique du
liquide.
Par définition , on appelle surface (ou plan) isobare :
la surface sur laquelle les pressions sont égales en
tout point .
P = Cte
Surface isobare
La surface de séparation de deux liquides de masse volumique
différente et non miscibles est un plan horizontal .
→
4-4 Variation de la pression d’un point à un autre : gradP
Soit un point M ( x , y , z ) dans le fluide .
PM qui dépend des coordonnées de ce point.
En M s’exerce une pression
On écrit donc : PM = P ( x , y , z )
x
→
i
→
k
y
→
j
x
M (x, y, z)
x M ' ( x + dx , y + dy , z + dz )
z
9
Soit M ' ( x + dx , y + dy , z + dz ) un point très voisin de M
La pression qui s’exerce en M ' est :
PM ' = P ( x + dx , y + dy , z + dz )
La pression qui s’exerce en M ' est différente de celle de M
PM ' = PM + dP
Et on écrit :
dP = PM
'−
PM = P ( x + dx , y + dy , z + dz ) − P ( x , y , z
Comme la pression P est une fonction de coordonnées ( x , y , z )
, on peut
écrire sa différentielle totale exacte , soit :
 ∂P
 ∂P 
dP = 
 dx + 
 ∂x  y,z
 ∂y

 ∂P 
 dy + 
 dz
 ∂z  x,y
 x,z
→
D’autre part , le vecteur déplacement MM ' s’écrit :
→
→
→
→
MM ' = dx i + dy j + dz k
On appelle , par définition , un vecteur gradient de pression P:
→
→  ∂P 
→  ∂P 
→
 ∂P 

gradP = 
i + 
j + 

k


 ∂x  y , z
 ∂z  x , y
 ∂y  x, z
Le produit scalaire :
→
→
 ∂P 
 ∂P 
 ∂P 
gradP . MM ' = 
 dx + 
 dy +  ∂ z  dz
 ∂x  y , z

 x, y
 ∂y  x , z
→
→
gradP . MM ' = dP
⌦Caractéristiques du vecteur gradient de pression :
→
gradP
Direction : Il est normal à la surface isobare passant par
Sens :
M
Il est dirigé dans le sens des pressions croissantes
( de la plus faible à la plus élevée )
Module :
→
gradP =
dP
P − PM
= M'
→
MM '
MM '
avec
PM ' > PM
Le gradient de pression représente la variation de pression par unité de longueur
10
4-5 Principe de déterminations des équations fondamentales de la statique
des fluides
Soit un élément de volume « d V » d’un fluide au repos se trouvant au point M .
d V est en équilibre statique;
d V est soumis :
aux forces de surfaces ( forces de pression qu’exercent sur lui les parties voisines
du fluide ) :
→
→
d F s = P( M ).dS. n
et aux forces de volume ( forces de pesanteur par exemple ) :
→
→
d F V = f .ρ .dV
V
→
f
: forces de volume par unité de masse
V
ρ
: masse volumique
dV = dx.dy.dz : a la forme d’un parallélépipède
dV = dx.dy.dz
→
n2
→
d F3
→
n3
→
k
O
M3
x
→
n6
M6
x
→
d F6
dy
→
j
→
i
→
d F5
→
n5
x M2
z
x
→
d F2
M
x M1
M5
x
x
x
M4
dz
→
n4
→
d F4
dx
→
n1
y
→
d F1
Les forces de pressions qui s’exercent sur chaque face de l’élément de volume
L’équilibre statique de l’élément de volume (dV) s’exprime par :
∑
→ →
d Fext = 0
Et on en déduit l’équation fondamentale de la statique des fluides sous la
forme vectorielle suivante:
→
→
ρ . f V − grad
→
P = 0
(Equation vectorielle)
avec:
→
f
V
→
→
→
= fx i + fy j + fz k
et
→
∂P → ∂P → ∂P →
grad P =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
11
⌦ En projetant l’équation vectorielle précédente suivant les trois axes ,
on obtient les équations fondamentales de la statique des fluides:

∂P
= 0
ρ.fx −
∂x


∂P
= 0
ρ.f y −
∂y


∂P
ρ.fz −
= 0
∂z

(Equations scalaires )
4-6 Equation fondamentale de la statique des fluides dans le champ de
pesanteur .
Dans le cas où seule la gravité intervient ( pas de force d’inertie ou autre champ de force
→
volumique ) , les forces de volume par unité de masse f
→
f
V
→
→
= g = − g k Si l’axe
se réduisent à la gravité , soit :
V
z est orienté verticalement et dirigé vers le haut
Dans ce cas les équations fondamentales de la statique dans le champ de la
pesanteur s’écrivent :
→
→
ρ . g − grad
→
P = 0









∂P
= 0
(1 )
∂x
∂P
= 0
(2 )
∂y
∂P
= − ρ .g
(3 )
∂z
A priori , la pression est fonction des trois coordonnées : P = P( x, y, z )
L’équation (1) , nous indique qu’elle ne dépend pas de x
L’équation (2) , nous indique qu’elle ne dépend pas de y
L’équation (3) , nous indique qu’elle dépend de z
12
Remarque :
On se rend compte à travers les équations précédentes que la gravité est responsable
du gradient de pression au sein d’un fluide .
Les équations précédentes nous montrent , dans un champ de pesanteur , la
pression au sein d’un fluide dépend forcément de la cote verticale z (altitude ou
profondeur ) et de la masse volumique du fluide
P = P (z )
Elle est indépendante des coordonnées horizontales
x, y
Dans un fluide , la pression croît de haut en bas .
4-7 Expression différentielle de l’équation fondamentale de la statique dans
le champ de pesanteur .
z
x M ' ( z + dz )
Equation fondamentale de la statique
dans la champ de la pesanteur est :
→
grad
→
g
→
P = ρ. g
avec:
x M ( z)
→
k
→
→
 g = −g k

 →
∂P →
dP →
k = −
k
 grad P = −
∂z
dz

 →
→
 MM ' = dz k

On sait que :
dz
→
grad P
→
→
dP = gradP . MM '
→
→
dP = gradP . MM '
→
→
dP = grad P .dz . k
→
→
→
→
dP = ρ g .dz . k = − ρ . g k .dz . k
dP = − ρ . g .dz
z
↑
( l’ axe z orienté vers le haut )
Remarque :
Dans le cas où l’axe z est orienté vers le bas, on aura :
dP = ρ . g .dz
↓
z
13
4-8 Relation fondamentale de l’hydrostatique.
⌦Définition de l’hydrostatique : Partie de la mécanique des fluide qui étudie l’équilibre
des liquides et des pressions qu’ils exercent sur les parois des corps immergés .
Archimède est le fondateur de l’hydrostatique .
⌦ Equation fondamentale de l’hydrostatique ( loi de l’hydrostatique)
ρ = Cte
Les liquides ce sont des fluides incompressibles
Considérons un liquide de masse volumique
ρ
, en équilibre sous l’action de la
pesanteur
z
On sait que l’équation fondamentale de la statique dans le champ de la pesanteur sous
forme différentielle est :
dP = − ρ . g .dz
ρ = Cte
avec:
g = Cte
et
Intégrons cette relation et on obtient :
P(z) =
∫
∫
P ( z ) = − ρ . g . z + Cte
dP = − ρ . g . dz + Cte
On écrit donc :
P ( z ) + ρ . g . z = Cte = Pg
Relation fondamentale de l’hydrostatique
Avec :
P
: Pression au sein du liquide considéré ( en Pa)
ρ
: Masse volumique du liquide considéré (kg/m3)
g
z
: Accélération de pesanteur (m/s2)
: Altitude (en m ) du point où l’on mesure P
La quantité :
P ( z ) + ρ . g . z = Cte = Pg
est appelé Pression motrice
Elle est définie arbitrairement par rapport à un plan de référence
En hydrostatique , la pression motrice
Pg
est constante et peut-être calculée
sur la surface libre ( en contact avec l’atmosphère ) éventuelle du liquide .
14
4-9 Pression absolue - Pression relative
D’après la relation précédente :
P ( z ) + ρ . g . z = Cte = Pg
Si on choisit comme plan de référence
est à la pression atmosphérique
Pa
z=0
, la surface libre du liquide , qui
, on a alors :
z
Pg = Pa
Surface libre
Pa
C’est –à-dire :
P ( 0 ) + ρ . g . 0 = Cte = Pg = Pa
M
z=0
à la surface
0
x
x
On peut donc écrire :
P ( z ) + ρ . g . z = Pa
La pression
égale à :
P(z)
en un point de cote
P ( z ) = Pa − ρ . g . z
Dans le cas où
z
z<0
z
) est
z
avec
z>0
z
Représente la pression totale ou la pression absolue qui règne
au point M de cote
ρ .g .z :
avec
(ou de profondeur
est dirigé vers le bas , on écrit :
P ( z ) = Pa + ρ . g . z
P(z) :
z
z
Est une pression relative ( ou effective ) , qui est appelée pression
hydrostatique.
La pression hydrostatique ( ou relative ) est la pression exercée par le poids du
liquide perpendiculairement à la surface à laquelle elle s’applique .
Exemple : Bassin rempli d’eau
Pression qui s’applique en M :
La pression relative (ou hydrostatique) =
La pression absolue =
ρ . g .h + Pa
ρ . g .h
Pa
x
h
M
x
15
4-10 Différence de pression entre deux points dans un même liquide
Souvent , la pression en un point du liquide ne présente que peu d’intérêt
en elle –même ; c’est plutôt la différence de pression entre deux points qui
est utile de connaître , on l’appelle pression différentielle .
Soit deux points A et B dans un liquide de masse volumique
les pressions
PA
et
ρ
où règne
z
PB
Pa
On applique la relation :
x
P ( z ) + ρ . g . z = Pa
O
A
PA
ρ
B
PB
zA
h
zB
On l’écrit :
Au point A
P A + ρ . g . z A = Pa
Au point B
P B + ρ . g . z B = Pa
P A + ρ . g . z A = PB + ρ . g . z B
P B − P A = ρ . g .( z A − z B )
PB > P A
Avec:
et
zA > zB
∆ P = ρ . g .∆ z = ρ . g .h
On en déduit , que la différence de pression entre deux points d’un même liquide
ne dépend que de la distance verticale entre ces deux points.
Remarque :
On peut calculer la différence de pression entre 2 points A et B du liquide en
intégrant tout simplement
dP = − ρ . g .dz
Expression différentielle de l’équation fondamentale
de la statique dans le champ de pesanteur .
ρ = Cte
Liquide fluide incompressible
Avec:
PB > P A
PB
∫
PA
et
zA > zB
, on obtient :
zB
dP = − ρ . g .
∫
dz ⇒ PB − PA = − ρ . g ( z B − z A ) = ρ . g ( z A − z B )
zA
∆ P = ρ . g .∆ z = ρ . g .h
16
⌦Exemple : Mesure d’une pression par une colonne de liquide
Soit un point M d’un liquide en équilibre , faisant déboucher un tube dans lequel la
surface libre du liquide se fixe à une hauteur h
Pa
A
X
Pa
B
X
ρ
ρ
M
On a :
h
x
∆ P = P M − P A = P M − P A = ρ . g .h
P A = P B = Pa
avec:
La pression au point M est :
La valeur de P M
La hauteur h
PM = ρ . g .h + Pa
ne dépend évidemment pas de l’inclinaison du tube
s’appelle hauteur piézométrique
Remarque :
Dans la pratique , il est souvent d’exprimer la pression en hauteur piézométrique de fluide
Par exemple :
1 mm H2O = 9,81 Pa
: c’est la pression exercée par 1 mm d’eau
760 mm Hg = 1,0133 x105 Pa = 1 atm = 1,0133 bar
: c’est la pression exercée par 760 mm de mercure
Application numérique :
P = 1 mmH 2 O = ρ gh = 10 3 × 9 , 81 × 10 − 3 = 9 , 81 Pa
P = 760 mmHg
= ρ gh = 1360 × 9 , 81 × 760 × 10 − 3 = 1 , 013 × 10 5 Pa
17
4-11 Principe des vases communicants
Au sein d’un même liquide en équilibre dans le champ de
pesanteur , la pression ne dépend que de l’altitude z : les
surfaces isobares ( surfaces d’égale pression ) sont donc des
plans horizontaux. En particulier , la surface du liquide qui
est en contact avec l’air est un plan horizontal quelle soit la
forme du récipient.
Principe des vases communicants : la pression ne dépendant
que de l’altitude z au sein d’un même liquide , la surface libre
définie par P ( Z surface ) = Pat est à la même altitude dans
tous les vases qui communiquent , quelle soit la forme de ces
vases.
Cela se vérifie expérimentalement en remplissant d’eau un
récipient composé de « vases » qui communiquent par le fond
( voir figure ) : la hauteur d’eau est la même dans cinq vases.
On appelle cela le principe des vases communicants.
P at
→
g
h
Vases communicants: les différentes surfaces libres
sont sur un même plan horizontal.
4-12 Cas des fluides compressibles (Gaz )
⌦ La masse volumique d’un fluide compressible (gaz ) n’est pas constante :
⌦La relation
dP = − ρ . g .dz
ρ ≠ Cte
ne peut-être intégrée sans précautions .
En effet , la masse volumique est dépendante à la fois de la pression et de la
température , soit :
ρ = ρ ( P ,T )
⌦ Cas d’un gaz parfait:
On sait que , l’équation d’état des gaz parfait est :
n=
PV = nRT
(Cours de thermodynamique )
avec:
m
M
(M : Masse molaire du gaz )
ρ =
PV =
m
RT
M
m
M P
=
V
R T
18
La relation :
dP = − ρ . g .dz
dP = −
devient :
M P
. . g .dz
R T
(Cas des gaz parfait )
A- Cas d’une masse gazeuse isotherme :
Si l’on peut considérer que toute la masse gazeuse est à la même température
constante ( T0 = Cte ) . En supposant qu’ à l’altitude z = 0 , la pression est P0
On écrit :
P
dP
M .g
=−
dz ⇒
P
R .T
∫
z
dP
M .g
=−
P
R .T 0
P0
ln
P ( z ) = P0 exp( −
dz
0
P0
M .g
=−
z ⇒ P = P0 e
P
R .T 0
ou
∫
−
Mg
.z
RT 0
Mg
)
RT 0
On constate que la pression diminue exponentiellement lorsque l’altitude augmente
Remarque :
Pour que l’on puisse considérer T = Cte , il faut que l’altitude z ne soit pas
trop grande et g peut alors aussi être considérée comme constante .
Exemple :
⌦Pour fixer les ordres de grandeurs , on calcule le rapport
P
P0
des pressions au
sommet et à la base d’un récipient de laboratoire de hauteur h = 0,5 m ( z = 0,5 m )
Contenant de l’air (considéré Comme GP ) à la
température ambiante : T = 20°C = 293 K
z
x P
Masse molaire de l’aire : M = 29 g/mol
h = 0,5 m
Air
Constante des GP : R = 8.31 S.I
et
g = 9,8 m . s-2
z=0
x
P0
On trouve :
P
= 0 . 99994 ≈ 1
P0
19
Cela signifie que sur une telle hauteur la variation de pression peut –être négligée .
Concrètement , on admet que la pression d’un gaz est la même en tous les points
du récipients .
⌦ On envisage , maintenant , la variation de pression entre la base et le sommet
de la Tour Eiffel ( z = 300 m et T= 293 K ) ( l’air ambiant )
On trouve dans cette zone :
P
= 0 . 965 ≈ 1
P0
Même sur cette hauteur ( 300 m ) , la variation de pression reste encore assez faible .
B- Cas où la T ° de la masse gazeuse varie avec l’altitude z
C’est le cas par exemple , le cas de l’air atmosphérique dont la température baisse lorsque
l’altitude augmente , ou encore celui des fumées dans une cheminée industrielle .
dP = − ρ . g .dz
Pour intégrer la relation :
Il faut connaître la loi de variation de la température en fonction de l’altitude z
On admet , par exemple , que la température décroît linéairement quand z
augmente , soit :
T ( z ) = T0 − a .z
avec:
T0 :
a:
Étant la T ° à l’altitude z = 0 , choisi comme origine
Étant le coefficient représentant la variation de la T ° par unité de longueur ,
c’est - à - dire gradient de T ° , soit :
a=
On a trouvé précédemment que :
dP = −
T0 − T
z
M P
. . g .dz
R T
avec :
T = T0 − a.z
dP = −
M
P
.
. g .dz
R T 0 − az
dP
M .g
dz
=−
.
P
R
T 0 − az
P
∫
z
dP
M .g
.
=−
P
R
P0
∫
0
ln P ] −
P
P0
=
z
dz
M .g
.
=−
T 0 − az
R
∫
dz
− az + T 0
0

Mg
1
×
ln( − az + T 0 ) 
R
(− a )

z
0
20
On obtient :
ln
 − az + T 0
P
Mg
=
ln 
P0
Ra
T0





Soit :
Mg
 Ra



 T − az
P = P0  0
 T0
Ou tout simplement :
 T (z)
P = P0 
 T0
Mg
 Ra



Par exemple:
La température baisse de 6°C tous les 1000 m , on aura à l’altitude z = 4800 m
du Mont –blanc , en ,supposant que la température est de 30 ° à l’altitude z= 0
( T0 = 30 °C )
avec:
T ( z ) = T0 − a.z
et
a=
6
= 6 × 10 − 3 ° C / m
1000
T ( 4800 ) = 30 − 6 × 10 − 3 × 4800 = 1, 2 ° C = 274 , 2 K
On obtient :
P
= 0 ,557
P0
La pression atmosphérique est nettement plus faible qu’au niveau de la mer
21