Résumé de géométrie élémentaire

Résumé de géométrie élémentaire
1 Angles
1.1 Vocabulaire
sommet
côté
côté
angle nul angle aigu angle droit angle obtus angle plat
angles supplémentaires angles complémentaires
1.2 Cas d’égalité de deux angles
angles opposés angles correspondants
angles alternes-internes angles alternes-externes
1
2 Triangles
2.1 Somme des angles
αβ
γα+β+γ= 180◦
2.2 Égalité de deux triangles
Deux figures sont dites égales si elles sont superposables par un déplacement ou par un retourne-
ment. (Notion déjà utilisée ci-dessus dans le cas des angles.)
Soient (ABC)et (A′B′C′)deux triangles. S’ils sont égaux, avec superposition A→A′,B→B′,
C→C′, alors on a les six égalités AB =A′B′,AC =A′C′,BC =B′C′,
b
A=
b
A′,
b
B=
b
B′,
b
C=
b
C′.
Cependant, trois d’entre elles bien choisies sont suffisantes pour avoir égalité des triangles ; dans
ce cas, les trois autres seront vérifiées automatiquement :
Critère CCC
A B
C
B′
A′
C′
Si AB =A′B′,AC =A′C′et BC =B′C′,
alors les deux triangles sont égaux
(et donc
b
A=
b
A′,
b
B=
b
B′,
b
C=
b
C′).
Critère CAC
A B
C
B′
A′
C′
Si AB =A′B′,AC =A′C′et
b
A=
b
A′,
alors les deux triangles sont égaux
(et donc BC =B′C′,
b
B=
b
B′,
b
C=
b
C′).
Critère ACA
A B
C
B′
A′
C′
Si AB =A′B′,
b
A=
b
A′et
b
B=
b
B′,
alors les deux triangles sont égaux
(et donc AC =A′C′,BC =B′C′,
b
C=
b
C′).
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Attention !
— Le critère CAC exige que l’angle soit celui formé par les deux côtés.
— Par contre, le critère ACA n’exige rien de tel (car si deux angles se correspondent, les
troisièmes se correspondent aussi).
— Il n’y a pas de « critère AAA » (considérer un triangle et son agrandissement).
2.3 Triangles particuliers
isocèle en A
B C
A
AB =AC ⇐⇒
b
B=
b
C
équilatéral
B C
A
AB =AC =BC ⇐⇒
b
A=
b
B=
b
C⇐⇒
b
A=
b
B= 60◦
rectangle en A
A B
C
hypoténuse
b
A= 90◦⇐⇒ BC2=AB2+AC2(Pythagore)
2.4 Droites remarquables
médiatrice bissectrice hauteur médiane
— La médiatrice d’un segment [AB]est la perpendiculaire passant par son milieu.
Un point Pdu plan se trouve sur la médiatrice de [AB]si et seulement si P A =P B :
A B
P
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Les trois médiatrices d’un triangle (ABC)sont concourantes en un point O:
O
A B
C
Dès lors, OA =OB =OC, donc Oest le centre d’un cercle passant par A, B, C, appelé
cercle circonscrit au triangle (ABC).
— La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue de son sommet qui partage l’angle en
deux angles égaux.
Un point du secteur angulaire se trouve sur la bissectrice d’un angle si et seulement s’il est
équidistant 1de ses côtés :
Les trois bissectrices d’un triangle (ABC)sont concourantes en un point I:
I
A B
C
Dès lors, Iest équidistant de [AB],[AC],[BC], donc Iest le centre d’un cercle tangent à
[AB],[AC],[BC], appelé cercle inscrit au triangle (ABC).
— Une hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté op-
posé. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point Happelé orthocentre
de ce triangle :
H
1. La distance d’un point à une (demi-)droite se mesure perpendiculairement à celle-ci.
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— Une médiane d’un triangle (ABC)est la droite passant par un sommet et par le milieu
du côté opposé. Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point Gappelé
centre de gravité de ce triangle :
G
A B
C
C′
B′A′
De plus, Gest situé « aux deux tiers » sur chacune des médianes, c’est-à-dire
AG
AA′=2 3
BG
BB′=2 3
CG
CC′=2 3
(où A′est le milieu de [BC],B′celui de [AC]et C′celui de [AB]).
2.5 Cercle circonscrit à un triangle rectangle
A
B C
Ase trouve sur le cercle de diamètre [BC]⇐⇒ (ABC)est rectangle en A
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3 Quadrilatères
3.1 Généralités
quadrilatère convexe quadrilatère non convexe quadrilatère croisé
et non croisé
Dans la suite, tous les quadrilatères seront supposés convexes.
Somme des angles d’un quadrilatère :
αβ
γ
δα+β+γ+δ= 360◦
3.2 Parallélogrammes
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :
(P1)les côtés opposés sont parallèles
(P2)les côtés opposés sont égaux
(P12)deux côtés opposés sont parallèles et égaux
(P3)les angles opposés sont égaux
(P4)les angles consécutifs sont supplémentaires
(P5)les diagonales se coupent en leur milieu
Il suffit donc de montrer l’une de ces six propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est un
parallélogramme (et qu’il possède donc également les cinq autres propriétés).
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3.3 Losanges
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux.
Les conditions suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :
(L1) les quatre côtés sont égaux.
(L2) c’est un parallélogramme et deux côtés consécutifs sont égaux.
(L3) c’est un parallélogramme et les diagonales sont perpendiculaires.
Il suffit donc de montrer l’une de ces trois propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est un
losange.
3.4 Rectangles
Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.
Les conditions suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :
(R1) ses quatre angles sont droits.
(R2) c’est un parallélogramme et l’un des angles est droit.
(R3) c’est un parallélogramme et les diagonales sont égales.
Il suffit donc de montrer l’une de ces trois propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est un
rectangle.
Remarque : dans la propriété (R1), il suffit de demander que trois des angles soient droits.
3.5 Carrés
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle.
Il suffit donc de montrer
— l’une des trois propriétés (L1)–(L3)
—et l’une des trois propriétés (R1)–(R3)
pour en conclure qu’un quadrilatère est un carré.
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4 Similitude et théorème de Thalès
4.1 Triangles semblables
Deux figures sont dites semblables si l’une d’elles est égale à un agrandissement (ou une réduction)
de l’autre.
Soient (ABC)et (A′B′C′)deux triangles. S’ils sont semblables, avec superposition A→A′,B→B′,
C→C′, alors on a les égalités A′B′
AB =A′C′ AC =B′C′ BC ,
b
A=
b
A′,
b
B=
b
B′,
b
C=
b
C′:
A B
C
B′
A′
C′
La valeur commune des rapports A′B′
AB ,A′C′ AC et B′C′ BC est le rapport de similitude entre les triangles
(ABC)et (A′B′C′).
Cependant, deux égalités bien choisies parmi les cinq ci-dessus sont suffisantes pour avoir similitude
des triangles ; dans ce cas, les autres seront vérifiées automatiquement :
Critère CCC
Si A′B′
AB =A′C′ AC =B′C′ BC ,
alors les deux triangles sont semblables
(et donc
b
A=
b
A′,
b
B=
b
B′,
b
C=
b
C′).
Critère CAC
Si A′B′
AB =A′C′ AC et
b
A=
b
A′,
alors les deux triangles sont semblables
(et donc A′C′
AC =B′C′ BC ,
b
B=
b
B′,
b
C=
b
C′).
Critère AA(A)
Si
b
A=
b
A′et
b
B=
b
B′,
alors les deux triangles sont semblables
(et donc A′B′
AB =A′C′ AC =B′C′ BC ,
b
C=
b
C′).
Attention !
— Le critère CAC exige que l’angle soit celui formé par les deux côtés.
— Dans le critère AA(A), l’égalité pour deux des angles suffit.
De ce fait, il n’y a pas de « critère ACA » (une information sur un côté étant dans ce cas
inutile).
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4.2 Théorème de Thalès
On donne :
—D,D′deux droites sécantes en O,
—A, B deux points de D(distincts de O),
—A′, B′deux points de D′(distincts de O) :
On suppose que l’on est dans l’un des deux cas de figure suivants :
D
D′
O
A′
B′
A
BD
D′
O
A′
B′
A
B
A, B du même côté de Osur DA, B de part et d’autre de Osur D
A′, B′du même côté de Osur D′A′, B′de part et d’autre de Osur D′
Alors
(AA′)//(BB′)
⇐⇒ OB
OA =OB′ OA′
⇐⇒ OB
OA =BB′ AA′
⇐⇒ OA
AB =OA′ A′B′
4.3 Cas particulier : théorème de la droite des milieux
On donne :
— un triangle (OBB′),
— un point Asur le côté [OB],
— un point A′sur le côté [OB′].
1er théorème 2ème théorème
Si Aest milieu de [OB]Si Aest milieu de [OB]
et si Aest milieu de [OB′], et si (AA′)est parallèle à (BB′),
O
A
B
A′
B′
—
—
—
—
O
A
B
A′
B′
alors (AA′)est parallèle à (BB′).alors A′est milieu de [OB′].
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