Devoir à la maison de 3 Carrés et cubes de nombres entiers

Devoir à la maison de 3e
Carrés et cubes de nombres entiers
On s'intéresse à des formules relatives à des carrés et des cubes de nombres entiers.
1) Travaillons sur les carrés.
a. Vérifier que chacun des nombres ci-dessous est le carré d'un nombre entier :
2 × 4 + 1 5 × 7 + 1 7 × 9 + 1 9 × 11 + 1 17 × 19 + 1
b. Etablissons une formule générale.
On note n un nombre entier quelconque. Le nombre entier qui suit n est donc n + 1 et le nombre entier qui précède n est n – 1.
Ecrire en fonction de n l'expression générale correspondant aux calculs de la question a.
Développer et réduire cette expression. Quelle formule générale vient-on d’établir ?
2) Travaillons sur les cubes (on rappelle que 23 = 2×2×2 ; 23 se lit « 2 exposant 3 » ou bien « 2 au cube »).
a. Vérifier que chacun des nombres ci-dessous est le cube d'un nombre entier :
2 × 3 × 4 + 3 4 × 5 × 6 + 5 9 × 10 × 11 + 10
b. En notant n – 1, n et n + 1 trois nombres consécutifs quelconques, démontrer la formule qui généralise les résultats obtenus
dans 2) a.
3) Expliquez comment on peut déduire directement la formule démontrée dans la question 2) à partir de la formule établie dans la
question 1).

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Construction aux instruments de racines carrées de nombres entiers
Les constructions seront effectuées sur une feuille blanche unie.
Il existe une méthode de construction appelée « colimaçon de Pythagore » qui
permet, s'étant fixé un segment représentant l’unité de longueur, de construire
un segment dont la longueur est la racine carrée d'un nombre entier
quelconque.
Cette méthode est illustrée ci-contre dans le cas de la construction d’un
segment de longueur 13 . On remarque que, dans ce cas, cette méthode
nécessite la construction de 12 triangles rectangles.
Question 1: Expliquer cette construction d’un segment de longueur 13 .
Dans la suite de ce devoir, il s’agit de mettre en place des méthodes de construction plus efficaces.
Elles sont basées sur la propriété de Pythagore et les triangles rectangles. Dans tous les cas on cherchera à
décomposer le nombre dont on veut tracer la racine carrée, en la somme ou la différence de carrés d’entiers.
Première méthode exposée sur un exemple
On veut tracer un segment d'une longueur de 13 .
On remarque que le carré inférieur et le plus proche de 13, est 9.
Si on décompose en une somme, on utilise 13 = 9 + 4. Soit 13 = 3² + 2² ou bien 2
13 = 3² + 2².
D'après la propriété de Pythagore, il suffit de construire un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit
sont 3 et 2. L'hypoténuse mesurera alors 13 .
Question 2 : Après avoir choisi un segment représentant l’unité de longueur, construire un triangle rectangle
dont l’hypoténuse a pour longueur 13 .
2e méthode exposée sur un exemple
On veut tracer un segment d'une longueur de 21 .
On remarque que le carré supérieur et le plus proche de 21, est 25.
Si on décompose en une différence, on utilise 21 = 25 − 4. Soit 21 = 5² − 2² ou bien 2
21 = 5² − 2² et donc
2
21 + 2² = 5².
D'après la propriété de Pythagore, il suffit de construire un triangle rectangle dont un côté de l'angle droit est 2 et
dont l'hypoténuse est 5. L'autre côté de l'angle droit mesurera donc 21 .
Question 3 : Après avoir choisi un segment représentant l’unité de longueur, construire un triangle rectangle
dont l’hypoténuse a pour longueur 21 .
Question 4 : À l'aide des deux méthodes construire un segment de longueur 19 . Plusieurs étapes seront
nécessaires car 19 n'est ni la somme ni la différence de deux carrés de nombres entiers. Expliquer par un texte
le raisonnement suivi.

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Factorisation et développement
Exercice n°1
Trois câbles sont dans un tuyau.
a) Exprimer OA et OH en fonction de r.
b) Calculer r, rayon du petit câble.
60 cm
A H
O
r
Exercice n°2
Deux tuyaux de rayons R et r sont posés l'un contre l'autre.
a) Démontrer que d² = 4Rr.
b) Calculer d sachant que R = 135 mm et r = 60 mm.
O
HA
d
r
R

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Initiation à la démonstration en arithmétique
Le but de ce devoir est de démontrer des propriétés de certains nombres entiers.
Exemple de démonstration d’une première propriété
On veut prouver que la somme de deux nombres entiers consécutifs quelconques est un nombre impair.
Comme on veut le prouver pour n'importe quels nombres entiers consécutifs, il faut trouver un moyen
d'écrire ces deux nombres. L'astuce consiste à noter n le premier nombre entier, le nombre entier qui suit n
est alors n + 1.
On a donc n et n + 1 deux nombres entiers consécutifs.
Leur somme est : n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1
Or 2n est un nombre pair (puisqu'il est multiple de 2) et, comme 2n est un nombre pair, 2n + 1 est un
nombre impair, puisque le nombre entier suivant un nombre pair est un nombre impair.
On a donc prouvé que la somme de deux nombres entiers consécutifs est un nombre impair.
Remarques
• Un nombre entier pair est donc de la forme 2n, n étant un nombre entier,
• Un nombre entier impair est donc de la forme 2n + 1, n étant un nombre entier,
• Pour prouver qu'un nombre entier est pair, il suffit de démontrer qu'il est un multiple de 2,
• Pour prouver qu'un nombre entier est impair, il suffit de démontrer qu'il est la somme de 1 et d'un
multiple de 2.
Énoncé du devoir
En s'inspirant de l'exemple ci-dessus, démontrer les propriétés suivantes :
1) Le carré d'un nombre entier pair est un nombre pair.
2) Le carré d'un nombre entier impair est un nombre impair.
3) La somme de deux nombres entiers pairs est un nombre pair.
4) La somme de deux nombres entiers impairs est un nombre pair.
5) En utilisant les résultats précédents, démontrer que le produit de deux nombres entiers consécutifs est un
nombre pair. On pourra distinguer deux cas : celui où le premier nombre est pair et celui où le premier
nombre est impair.

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Système de deux équations à deux inconnues
Voici l’histoire de la couronne du roi Hiéron de Syracuse.
Hiéron soupçonnait l’orfèvre qui avait fabriqué sa couronne d’y avoir habilement remplacé une partie de
l’or par de l’argent. Hiéron demanda à son ami Archimède (≈ 287−212 av. J.-C.) de résoudre le problème
sans abîmer cette pièce si bien sculptée. Archimède résolut le problème en découvrant la première loi de
l’hydrostatique et on rapporta qu’il prononça à cette occasion le mot célèbre « Eurêka » pour témoigner de
sa découverte.
Comment procéda Archimède ?
Il plongea la couronne dans l’eau et utilisa le principe suivant : « tout corps immergé dans un liquide
déplace un volume de liquide égale au volume du corps immergé ». En mesurant l’augmentation du niveau
d’eau, Archimède put donc calculer le volume de la couronne. Connaissant la masse volumique de l’or et
celle de l’argent, il en déduisit si la couronne était entièrement en or ou bien composée d’or et d’argent.
Reprenons le raisonnement d’Archimède dans l’application numérique suivante :
Il prend un récipient parallélépipédique dont la base mesure, par exemple, 40 cm par 60 cm. Archimède met
suffisamment d’eau dans le récipient pour que la couronne soit immergée, il constate qu’en immergeant la
couronne le niveau monte de 2 mm.
a) Calculer le volume de la couronne de Hiéron.
b) La masse volumique de l’or est 19 500 kg.m-3 et celle de l’argent 10 500 kg.m-3.Archimède pesa la couronne et trouva une
masse de 6,8 kg.
Pourquoi Archimède a-t-il pu affirmer que la couronne n’était pas entièrement en or ?
c) Calculer, en utilisant un système de deux équations à deux inconnues, le poids d’argent et le poids d’or dans la couronne.
d) Chercher sur une encyclopédie et sur internet quelles autres découvertes on attribue à Archimède.