Devoir à la maison de 3 Carrés et cubes de nombres entiers
publicité
e Devoir à la maison de 3 Carrés et cubes de nombres entiers On s'intéresse à des formules relatives à des carrés et des cubes de nombres entiers. 1) Travaillons sur les carrés. a. Vérifier que chacun des nombres ci-dessous est le carré d'un nombre entier : 2×4+1 5×7+1 7×9+1 9 × 11 + 1 17 × 19 + 1 b. Etablissons une formule générale. On note n un nombre entier quelconque. Le nombre entier qui suit n est donc n + 1 et le nombre entier qui précède n est n – 1. Ecrire en fonction de n l'expression générale correspondant aux calculs de la question a. Développer et réduire cette expression. Quelle formule générale vient-on d’établir ? 2) Travaillons sur les cubes (on rappelle que 23 = 2×2×2 ; 23 se lit « 2 exposant 3 » ou bien « 2 au cube »). a. Vérifier que chacun des nombres ci-dessous est le cube d'un nombre entier : 2×3×4+3 4×5×6+5 9 × 10 × 11 + 10 b. En notant n – 1, n et n + 1 trois nombres consécutifs quelconques, démontrer la formule qui généralise les résultats obtenus dans 2) a. 3) Expliquez comment on peut déduire directement la formule démontrée dans la question 2) à partir de la formule établie dans la question 1). e Devoir à la maison de 3 Construction aux instruments de racines carrées de nombres entiers Les constructions seront effectuées sur une feuille blanche unie. Il existe une méthode de construction appelée « colimaçon de Pythagore » qui permet, s'étant fixé un segment représentant l’unité de longueur, de construire un segment dont la longueur est la racine carrée d'un nombre entier quelconque. Cette méthode est illustrée ci-contre dans le cas de la construction d’un segment de longueur 13 . On remarque que, dans ce cas, cette méthode nécessite la construction de 12 triangles rectangles. Question 1: Expliquer cette construction d’un segment de longueur 13 . Dans la suite de ce devoir, il s’agit de mettre en place des méthodes de construction plus efficaces. Elles sont basées sur la propriété de Pythagore et les triangles rectangles. Dans tous les cas on cherchera à décomposer le nombre dont on veut tracer la racine carrée, en la somme ou la différence de carrés d’entiers. Première méthode exposée sur un exemple On veut tracer un segment d'une longueur de 13 . On remarque que le carré inférieur et le plus proche de 13, est 9. 2 Si on décompose en une somme, on utilise 13 = 9 + 4. Soit 13 = 3² + 2² ou bien 13 = 3² + 2². D'après la propriété de Pythagore, il suffit de construire un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit sont 3 et 2. L'hypoténuse mesurera alors 13 . Question 2 : Après avoir choisi un segment représentant l’unité de longueur, construire un triangle rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur 13 . 2e méthode exposée sur un exemple On veut tracer un segment d'une longueur de 21 . On remarque que le carré supérieur et le plus proche de 21, est 25. Si on décompose en une différence, on utilise 21 = 25 − 4. Soit 21 = 5² − 2² ou bien 2 21 = 5² − 2² et donc 2 21 + 2² = 5². D'après la propriété de Pythagore, il suffit de construire un triangle rectangle dont un côté de l'angle droit est 2 et dont l'hypoténuse est 5. L'autre côté de l'angle droit mesurera donc 21 . Question 3 : Après avoir choisi un segment représentant l’unité de longueur, construire un triangle rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur 21 . Question 4 : À l'aide des deux méthodes construire un segment de longueur 19 . Plusieurs étapes seront nécessaires car 19 n'est ni la somme ni la différence de deux carrés de nombres entiers. Expliquer par un texte le raisonnement suivi. e Devoir à la maison de 3 Factorisation et développement Exercice n°1 Trois câbles sont dans un tuyau. a) Exprimer OA et OH en fonction de r. b) Calculer r, rayon du petit câble. r O A H 60 cm Exercice n°2 Deux tuyaux de rayons R et r sont posés l'un contre l'autre. a) Démontrer que d² = 4Rr. b) Calculer d sachant que R = 135 mm et r = 60 mm. R O H A r d e Devoir à la maison de 3 Initiation à la démonstration en arithmétique Le but de ce devoir est de démontrer des propriétés de certains nombres entiers. Exemple de démonstration d’une première propriété On veut prouver que la somme de deux nombres entiers consécutifs quelconques est un nombre impair. Comme on veut le prouver pour n'importe quels nombres entiers consécutifs, il faut trouver un moyen d'écrire ces deux nombres. L'astuce consiste à noter n le premier nombre entier, le nombre entier qui suit n est alors n + 1. On a donc n et n + 1 deux nombres entiers consécutifs. Leur somme est : n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1 Or 2n est un nombre pair (puisqu'il est multiple de 2) et, comme 2n est un nombre pair, 2n + 1 est un nombre impair, puisque le nombre entier suivant un nombre pair est un nombre impair. On a donc prouvé que la somme de deux nombres entiers consécutifs est un nombre impair. Remarques • Un nombre entier pair est donc de la forme 2n, n étant un nombre entier, • Un nombre entier impair est donc de la forme 2n + 1, n étant un nombre entier, • Pour prouver qu'un nombre entier est pair, il suffit de démontrer qu'il est un multiple de 2, • Pour prouver qu'un nombre entier est impair, il suffit de démontrer qu'il est la somme de 1 et d'un multiple de 2. Énoncé du devoir En s'inspirant de l'exemple ci-dessus, démontrer les propriétés suivantes : 1) Le carré d'un nombre entier pair est un nombre pair. 2) Le carré d'un nombre entier impair est un nombre impair. 3) La somme de deux nombres entiers pairs est un nombre pair. 4) La somme de deux nombres entiers impairs est un nombre pair. 5) En utilisant les résultats précédents, démontrer que le produit de deux nombres entiers consécutifs est un nombre pair. On pourra distinguer deux cas : celui où le premier nombre est pair et celui où le premier nombre est impair. e Devoir à la maison de 3 Système de deux équations à deux inconnues Voici l’histoire de la couronne du roi Hiéron de Syracuse. Hiéron soupçonnait l’orfèvre qui avait fabriqué sa couronne d’y avoir habilement remplacé une partie de l’or par de l’argent. Hiéron demanda à son ami Archimède (≈ 287−212 av. J.-C.) de résoudre le problème sans abîmer cette pièce si bien sculptée. Archimède résolut le problème en découvrant la première loi de l’hydrostatique et on rapporta qu’il prononça à cette occasion le mot célèbre « Eurêka » pour témoigner de sa découverte. Comment procéda Archimède ? Il plongea la couronne dans l’eau et utilisa le principe suivant : « tout corps immergé dans un liquide déplace un volume de liquide égale au volume du corps immergé ». En mesurant l’augmentation du niveau d’eau, Archimède put donc calculer le volume de la couronne. Connaissant la masse volumique de l’or et celle de l’argent, il en déduisit si la couronne était entièrement en or ou bien composée d’or et d’argent. Reprenons le raisonnement d’Archimède dans l’application numérique suivante : Il prend un récipient parallélépipédique dont la base mesure, par exemple, 40 cm par 60 cm. Archimède met suffisamment d’eau dans le récipient pour que la couronne soit immergée, il constate qu’en immergeant la couronne le niveau monte de 2 mm. a) Calculer le volume de la couronne de Hiéron. -3 b) La masse volumique de l’or est 19 500 kg.m-3 et celle de l’argent 10 500 kg.m .Archimède pesa la couronne et trouva une masse de 6,8 kg. Pourquoi Archimède a-t-il pu affirmer que la couronne n’était pas entièrement en or ? c) Calculer, en utilisant un système de deux équations à deux inconnues, le poids d’argent et le poids d’or dans la couronne. d) Chercher sur une encyclopédie et sur internet quelles autres découvertes on attribue à Archimède. e Devoir à la maison de 3 Les lunules d’Hippocrate B F A E G C Soit ABC un triangle rectangle en A. Les points E, F et G sont les milieux des trois côtés du triangle ABC. On pose AB = c, AC = b et BC = a. Les lunules sont les croissants de lune dont les arcs de cercles intérieurs sont de centre E et les arcs de cercles extérieurs sont de centre F ou G. 1) Expliquer pourquoi AE = a/2 (propriété de 4e). 2) On note A1 l’aire du demi-disque de rayon FA, A2 l’aire du demi-disque de rayon GA, A3 l’aire du demi-disque de rayon EB et A4 l’aire du triangle rectangle ABC. Exprimer la somme A des aires des deux lunules en fonction des aires A1, A2, A3 et A4 en justifiant la réponse. 3) Calculer, en fonction de a, b et c, chacune des aires A1, A2, A3 et A4. On écrira les expressions sous forme développée. 4) En observant que a2 = b2 + c2 et à l'aide des résultats des questions 2) et 3), calculer la somme A des aires des deux lunules. 5) Que dire de l’aire du triangle ABC et de la somme A des aires des deux lunules? e Devoir à la maison de 3 Somme des n premiers nombres entiers L’objet de ce devoir est de trouver une formule pour calculer la somme des n premiers nombres entiers. On notera cette somme Sn. Exemple : si n = 7 alors S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. 1) Calculer S5, S11 et S17. Il est évident que si n devient très grand, alors le calcul de Sn devient bien difficile. Dans ce cas, il peut-être utile de trouver une expression de Sn plus simple. 2) Nous allons démontrer une formule selon la méthode de Gauss, un mathématicien allemand (1777 – 1855), qui eu l’idée de ce raisonnement à l’âge de 8 ans ! 21) Faisons le raisonnement pour n = 5. Ci-dessous, on a écrit la somme S5 en disposant les termes dans l’ordre croissant et, juste en dessous, on écrit la même somme S5 en disposant les termes dans l’ordre décroissant. + S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 S5 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 2S5 = 6 + … + … + … + … Karl-Friedrich Gauss (1777-1855) a) Recopier le contenu du cadre ci-dessus et compléter chacune des colonnes du calcul précédent. Que constate-t-on ? b) Dans la ligne du résultat, écrire le membre de droite sous la forme d’un produit. En tirer ensuite une expression de S5. 11 × 12 22) Refaire le même raisonnement pour n = 11 et montrer que l’on obtient : S11 = 2 23) Faire maintenant le raisonnement dans le cas général (on ne donne plus de valeur particulière à n). On pose Sn = 1 + 2 + 3 + …….+ (n – 2) + (n – 1) + n. On suivra pas à pas la même méthode qu’à la question 21). Vérifier la formule obtenue pour les valeurs de n utilisées à la question 1). 3) Nous allons démontrer la même formule selon la méthode des Grecs dans l’antiquité. Pour cela, on représente les nombres entiers par des points. On appelle ainsi nombres triangulaires les nombres de la forme : le nombre 1 le nombre 1 + 2 = 3 le nombre 1 + 2 + 3 = 6 On remarque justement que ces nombres triangulaires sont les sommes des n premiers nombres entiers. 31) Faisons le raisonnement pour n = 5. Ci-dessous, on a représenté tête-bêche deux triangles représentant la somme S5. a) Expliquer comment on peut facilement calculer le nombre de points dans cette figure. b) Combien de fois a-t-on la somme S5 sur cette figure ? En déduire le calcul simple de S5. 32) Faire le même raisonnement dans le cas général. Vérifier que l'on trouve la même formule qu'à la question 23).
