TD 11 Ondes elm vide plasma

TD 11 Ondes électromagnétiques
dans le vide ou dans un plasma
⋆Ondes électromagnétiques dans le vide
1. Exemple d’onde électromagnétique
On s’intéresse à la propagation de l’onde électromagnétique définie par
−→
E(M, t) = E0exp [i(ωt −α(x+y))] 
1
−1
0
dans la base (~ux, ~uy, ~uz), avec
E0,ωet αdes constantes positives.
1. Cette onde se propage-t-elle (si oui dans quelle direction) ou bien est-elle
stationnaire ?
2. Est-elle plane ?
3. Donner le vecteur d’onde ~ k.
4. Que dire de sa polarisation ?
5. Évaluer le champ magnétique −→ B(M, t).
6. Que vaut la densité volumique de charge ?
7. Sachant que la densité volumique de courant est de même nulle, en déduire
une relation entre α,ωet c, vitesse de la lumière dans le vide.
8. Calculer le vecteur de Poynting moyen. Commenter son expression.
2. OPPM électromagnétique de direction quelconque
On étudie une onde électromagnétique dont le champ électrique est donné par :
−→
E=Ex~ux+Ey~uyavec Ex=E0exp ik
3(2x+ 2y+z)−ωt.
L’onde se propage dans le vide et sa longueur d’onde est λ= 6.10−7m.
1. Calculer la fréquence de l’onde.
2. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette onde ?
3. Calculer la valeur numérique de la constante k.
4. Établir l’équation cartésienne d’un plan d’onde.
5. Exprimer Eyen fonction de Ex.
6. Calculer le champ magnétique −→ Bde cette onde.
7. Calculer la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à cette onde.
8. Calculer le vecteur de Poynting de cette onde et sa moyenne temporelle. Com-
menter.
3. Laser : faisceau gaussien
Une onde plane étant d’extension infinie, elle ne peut représenter de manière
réaliste le faisceau d’un laser dont la section Sest en pratique inférieure au mm2.
Dans un modèle plus réaliste, on considère l’onde électromagnétique émise dans
le vide par un laser en z= 0. Cette onde se propage selon la direction ~uzet peut
être mise sous la forme suivante, dans la zone z>0:
−→
E(M, t) = E(r, z) exp[i(ωt −kz)]~ux,
avec k=2π
λ, et en coordonnées cylindriques d’axe (Oz):
E(r, z) = E0
iz0
z+iz0
exp −ik r2
2(z+iz0),
où E0et z0sont des constantes positives (z0est appelée distance de Rayleigh).
1. Montrer que le carré du module de Ese met sous la forme |E(r, z)|2=
A2(z) exp −2r2
w(z)2, avec w(z) = w0s1 + z2
z2
0
.
Déterminer la constante w0, nommée waist en fonction de z0et λ.
2. Montrer que w(z)A(z) = w0E0.
3. Représenter le graphe de w(z)pour z>0.
4. Représenter le graphe du module |E(r, z)|du champ électrique en fonction
de rpour z= 0, puis pour une valeur z>0fixée.
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5. Quelle signification physique peut-on donner à w(z)ainsi qu’au waist w0?
6. Montrer que lorsque z≫z0, le faisceau laser a une forme de cône de sommet
Oet de demi-angle au sommet β, qui sera exprimé en fonction de w0et z0,
puis en fonction de w0et λ.
7. Calculer βen degrés pour un laser YAG−Nd3+ possédant pour caractéris-
tiques w0= 0,50 mm et λ= 1,1µm, puis pour un laser CO2de même waist
mais de longueur d’onde 10 fois plus grande. Commenter.
8. Que dire du comportement du faisceau laser pour z≪z0?
4. Pression de radiation
1. Soit une onde plane, monochromatique, de fréquence ν, se propageant dans
la direction et le sens de ~ux, dont le champ électrique est −→ E=E0cos(ωt −
kx)~uy. On rappelle que l’éclairement Eest la puissance moyenne qui traverse
une surface d’aire unité perpendiculaire à la direction de propagation.
Exprimer Een fonction de ε0,cet E0.
2. On considère cette onde comme un faisceau de photons se propageant dans
la direction et le sens de ~ux.
(a) Exprimer le nombre N0de photons traversant par unité de temps l’unité
de surface perpendiculaire à (Ox)en fonction de E, de νet de la constante
de Planck h.
(b) L’onde arrive sur une surface plane perpendiculaire à (Ox), d’aire S, par-
faitement réfléchissante. On étudie le rebondissement des photons sur
cette surface.
Quelle est la quantité de mouvement reçue par la paroi au cours d’un choc
photon-paroi ?
Quelle est la force subie par la paroi en fonction de E,Set c?
Exprimer la pression psubie par la paroi en fonction de Eet cpuis en
fonction de ε0et E0.
(c) Reprendre la question ci-dessus lorsque la paroi est parfaitement absor-
bante.
(d) Calculer E,E0et psur une paroi totalement absorbante pour un la-
ser ayant un diamètre d= 5,0 mm et une puissance moyenne P=
1,0.102W(laser utilisé industriellement pour la découpe de feuilles).
3. L’onde est maintenant absorbée par une sphère de rayon a, bien inférieur au
rayon du faisceau.
(a) Quelle est, en fonction de E,aet cla force −→ Fsubie par la sphère ?
(b) Le Soleil donne au voisinage de la Terre (juste au dessus de l’atmosphère
terrestre) l’éclairement E= 1,4.103W·m−2. L’émission est isotrope, la
distance Terre-Soleil est égale à D= 150.106km et sur une surface de
dimensions petites devant D, l’onde arrivant du Soleil est quasi-plane.
Quelle est la puissance P0émise par le Soleil ?
Un objet sphérique, de rayon a, de masse volumique µ, est, dans le vide
interplanétaire, à la distance rdu Soleil et absorbe totalement le rayon-
nement solaire. Évaluer le rapport entre la force due à l’absorption du
rayonnement solaire et la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur
cet objet dans les deux cas suivants :
– cas d’une météorite : µ= 3,0.103kg ·m−3et a= 1,0 m
– cas d’une poussière interstellaire : µ= 1,0.103kg ·m−3et a=
0,10 µm
Commenter.
On donne la constante de gravitation universelle G=
6,67.10−11 N·m2·kg−2et la masse du Soleil MS= 2,0.1030 kg.
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5. Compléments de cours
On considère la propagation d’une OPPM transverse dans un plasma, que l’on
décrit en notation complexe par −→ E(M, t) = −→
E0exp(i(ωt −~ k·~r)). On rappelle la
relation de dispersion : k2=1
c2(ω2−ω2
P).
1. Cas où ω > ωP
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(a) À partir des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère, donner la
structure de l’OPPM électromagnétique dans le plasma, en faisant inter-
venir la vitesse de phase vϕet la direction de propagation ~u.
(b) Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à cette onde,
ainsi que la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électroma-
gnétique.
(c) Exprimer la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie cinétique
des électrons (on prendra une densité particulaire n0pour les électrons de
masse meet de charge −e) sous l’action de l’onde.
En déduire la densité volumique moyenne d’énergie totale, puis la vitesse
de propagation de cette énergie.
2. Cas où ω < ωP
(a) D’après la relation de dispersion, le module d’onde est désormais imagi-
naire pur. Donner son expression dans le cas où la propagation se fait
selon la direction ~uz. Quel signe faut-il choisir pour que l’onde obtenue
ait un sens physique ? Exprimer le vecteur d’onde ~ kdans ce cas. Donner
l’expression du champ électrique résultant et commenter sa forme mathé-
matique.
(b) Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à une telle
onde.
6. Système GPS et ionosphère
Le système de localisation GPS (Global Positioning System est si précis qu’il est
nécessaire de prendre en compte la dispersion due à la traversée de l’ionosphère.
L’ionosphère, d’épaisseur H, est un plasma globalement neutre : il contient des
électrons de masse m, de charge −eet de densité particulaire n, ainsi que des
ions de masse M, de charge +eet de densité particulaire n. On supposera que
le plasma est suffisamment dilué pour considérer que ses éléments constitutifs ne
sont pas en interaction.
1. On envisage une onde plane progressive monochromatique de la forme −→ E=
−→
E0exp(i(ωt −~ k·~r)). Établir la relation de dispersion du plasma, ainsi que
l’expression de la pulsation de coupure ωP. Pourquoi la nomme-t-on ainsi ?
2. On envoie un train d’onde depuis un satellite vers la Terre. Donner l’expression
de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe en fonction de la fréquence
fde l’onde et de la fréquence plasma fP. On suppose que l’atmosphère est
assimilable à du vide vis-à-vis de l’onde enviagée. Calculer le temps τque le
train d’onde met pour parcourir la distance Dqui sépare le satellite du sol. On
supposera que f≫fP, ce qui permet un développement limité pour simplifier
l’expression obtenue.
3. Pour prendre en compte la dispersion ionosphérique, on envoie deux trains
d’onde de fréquences f1et f2et on mesure l’écart ∆tentre leurs temps de
parcours. Exprimer ∆tlorsque f2> f1≫fP.
4. Montrer que D=cτ −d, avec d=f2
1f2
2c∆t
f2(f2
2−f2 1). On trouve que dest de
l’ordre de quelques mètres. Commenter.
7. Influence du champ magnétique terrestre
Un plasma est plongé dans un champ magnétique externe −→ B0. Une onde électro-
magnétique plane polarisée rectilignement se propage dans ce plasma dans une
direction ~ kperpendiculaire à −→ B0.
1. La relation de dispersion du plasma est-elle modifiée lorsque le champ −→ Ede
l’onde est parallèle à −→ B0, ou bien lorsque le champ −→ Ede l’onde est perpen-
diculaire à −→ B0?
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2. Dans le cas où la relation est modifiée, on admet qu’elle s’écrit alors
k2c2=(ω2−ω2
P)2−ω2
cω2
ω2−ω2
P−ω2
c
,où ωc=eB0
m.
Tracer l’allure de la fonction k2c2=f(ω2). En déduire pour quelle gamme de
pulsation les ondes peuvent réellement se propager dans le plasma.
3. On envoie verticalement selon (Ox)une onde sur l’ionosphère terrestre dont la
densité électronique n0est supposée ici uniforme. Lorsque l’émission de l’onde
est telle que la direction du champ électrique est parallèle à celle du champ
magnétique terrestre −→ B0il y a écho (donc réflexion) pour une longueur d’onde
émise supérieure à λ0= 42,70 m. Lorsque les directions du champ électrique
de l’onde et de −→ B0sont perpendiculaires, l’écho se produit pour une longueur
d’onde supérieure à λ′
0= 38,90 m.
(a) Déduire de ces deux mesures le nombre n0d’électrons par mètre cube de
l’ionosphère ainsi que la valeur du champ magnétique B0qui y règne.
(b) Le champ magnétique terrestre décroît en fonction de l’altitude suivant la
loi
B0(x) = B0(0) 1 + x2
R2−3/2
,
où B0(0) = 4,7.10−5Test sa valeur au sol et R= 6360 km le rayon
terrestre.
Calculer l’altitude de la couche réfléchissante. Quel peut être l’intérêt de
cette propriété ?
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Éléments de réponse
1. ~ k=α(~ux+~uy);−→ B(M, t) = −2α
ωE0exp [i(ωt −α(x+y))] ~uz;ω=cα√2
<−→ Π>=E2
0
cµ0√2
1
1
0
2. f= 5.1014 Hz, domaine du visible ; un plan d’onde a pour équation 2x+
2y+z=K0;Ey=−Ex;−→ B=Ex
3c(~ux+~uy−4~uz);< uem >=ε0E2
0;
<−→ Π>=ε0cE2
0~u, où ~u est la direction de propagation.
3. w0=r2z0
k=rz0λ π,A(z) = E0
s1 + z2
z2
0
.β=w0
z0
=λ
πω0
.
Le laser CO2diverge 10 fois moins que le laser YAG−Nd3+.
Dans le cas z≪z0, le faisceau est quasiment cylindrique w(z)≃w0.
4. E=1
2ε0cE2
0;N0=E
hν ;−→
F=N0S2hν
c~ux= 2ES c~ux;p= 2E c=ε0E2
0.
Si la paroi est totalement absorbante p′=1
2ε0E2
0.
Pour le laser p= 3,4.10−2Pa, très faible.
Le Soleil émet une puissance P0=E4πD2= 4,0.1026 W. On définit α=
Fabs
Fgravi
:α= 2,0.10−7pour la météorite, et α= 5,0pour la poussière.
5. 1. −→ E=vϕ−→
B∧~u,−→ B=1
vϕ
~u ∧−→ E.
<−→ Π>=1
2µ0ω|−→
E|2~
k;< ut>=< uem >+< uc>=ε0
2|−→
E|2;
~ve,<−→
Π>
< ut>=c2 ω
~
k.
2. ~ k=−ik′′~uz;−→ E=−→
E0e−k′′ zeiωt, il s’agit d’une onde évanescente ; <
−→
Π>=~ 0.
6. k2=1
c2(ω2−ω2
P)avec ωP=sne2
mε0
;vϕ=ω
ket vg=cs1−f2
P
f2;τ=
D
c1 + H 2D
f2
P
f2;∆t=Hf 2
P
2cD
f2
2−f2
1
f2
1f2 2
.
7. Il faut −→ E⊥−→ B0pour modifier la relation de dispersion. Il faut k2pour que
la propagation soit possible, soit ωen dehors de l’intervalle [ω1, ω2]avec
ω1=1
2−ωc+qω2
c+ 4ω2
Pet ω2=1
2ωc+qω2
c+ 4ω2
P.
n0=4π2me
µ0e2λ2
0
= 6,116.1011 m−3;B0=me
e
2πc(λ2
0−λ′2
0))
λ′
0λ2 0
= 4,683.10−5T
On peut mesurer l’altitude de la couche ionisée x=RsB0
B(0)−2/3
≃
300 km.
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