TD 11 Ondes elm vide plasma

TD 11
Ondes électromagnétiques
dans le vide ou dans un plasma
3. Calculer la valeur numérique de la constante k.
4. Établir l’équation cartésienne d’un plan d’onde.
5. Exprimer Ey en fonction de Ex .
→
−
6. Calculer le champ magnétique B de cette onde.
⋆ Ondes électromagnétiques dans le vide
1. Exemple d’onde électromagnétique
On s’intéresse à la propagation del’onde électromagnétique définie par
1
→
−


E (M, t) = E0 exp [i (ωt − α(x + y))]  −1  dans la base (~ux , ~uy , ~uz ), avec
0
E0 , ω et α des constantes positives.
1. Cette onde se propage-t-elle (si oui dans quelle direction) ou bien est-elle
stationnaire ?
2. Est-elle plane ?
3. Donner le vecteur d’onde ~k.
7. Calculer la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à cette onde.
8. Calculer le vecteur de Poynting de cette onde et sa moyenne temporelle. Commenter.
3. Laser : faisceau gaussien
Une onde plane étant d’extension infinie, elle ne peut représenter de manière
réaliste le faisceau d’un laser dont la section S est en pratique inférieure au mm2 .
Dans un modèle plus réaliste, on considère l’onde électromagnétique émise dans
le vide par un laser en z = 0. Cette onde se propage selon la direction ~uz et peut
être mise sous la forme suivante, dans la zone z > 0 :
−
→
E (M, t) = E(r, z) exp[i(ωt − kz)]~ux ,
4. Que dire de sa polarisation ?
→
−
5. Évaluer le champ magnétique B (M, t).
avec k =
6. Que vaut la densité volumique de charge ?
7. Sachant que la densité volumique de courant est de même nulle, en déduire
une relation entre α, ω et c, vitesse de la lumière dans le vide.
2π
, et en coordonnées cylindriques d’axe (Oz) :
λ
r2
iz0
exp −ik
,
E(r, z) = E0
z + iz0
2(z + iz0 )
8. Calculer le vecteur de Poynting moyen. Commenter son expression.
où E0 et z0 sont des constantes positives (z0 est appelée distance de Rayleigh).
2. OPPM électromagnétique de direction quelconque
1. Montrer que le carré du module de E s
se met sous la forme |E(r, z)|2 =
z2
2r 2
1
+
.
A2 (z) exp −
,
avec
w(z)
=
w
0
w(z)2
z02
On étudie une onde électromagnétique dont le champ électrique est donné par :
k
→
−
(2x + 2y + z) − ωt .
E = Ex ~ux + Ey ~uy avec Ex = E0 exp i
3
L’onde se propage dans le vide et sa longueur d’onde est λ =
6.10−7
m.
1. Calculer la fréquence de l’onde.
2. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette onde ?
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Déterminer la constante w0 , nommée waist en fonction de z0 et λ.
2. Montrer que w(z)A(z) = w0 E0 .
3. Représenter le graphe de w(z) pour z > 0.
4. Représenter le graphe du module |E(r, z)| du champ électrique en fonction
de r pour z = 0, puis pour une valeur z > 0 fixée.
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1
5. Quelle signification physique peut-on donner à w(z) ainsi qu’au waist w0 ?
6. Montrer que lorsque z ≫ z0 , le faisceau laser a une forme de cône de sommet
O et de demi-angle au sommet β, qui sera exprimé en fonction de w0 et z0 ,
puis en fonction de w0 et λ.
3+
7. Calculer β en degrés pour un laser YAG−Nd possédant pour caractéristiques w0 = 0, 50 mm et λ = 1, 1 µm, puis pour un laser CO2 de même waist
mais de longueur d’onde 10 fois plus grande. Commenter.
8. Que dire du comportement du faisceau laser pour z ≪ z0 ?
4. Pression de radiation
1. Soit une onde plane, monochromatique, de fréquence ν, se propageant dans
→
−
la direction et le sens de ~ux , dont le champ électrique est E = E0 cos(ωt −
kx)~uy . On rappelle que l’éclairement E est la puissance moyenne qui traverse
une surface d’aire unité perpendiculaire à la direction de propagation.
Exprimer E en fonction de ε0 , c et E0 .
2. On considère cette onde comme un faisceau de photons se propageant dans
la direction et le sens de ~ux .
(a) Exprimer le nombre N0 de photons traversant par unité de temps l’unité
de surface perpendiculaire à (Ox) en fonction de E, de ν et de la constante
de Planck h.
(b) L’onde arrive sur une surface plane perpendiculaire à (Ox), d’aire S, parfaitement réfléchissante. On étudie le rebondissement des photons sur
cette surface.
Quelle est la quantité de mouvement reçue par la paroi au cours d’un choc
photon-paroi ?
Quelle est la force subie par la paroi en fonction de E, S et c ?
Exprimer la pression p subie par la paroi en fonction de E et c puis en
fonction de ε0 et E0 .
(c) Reprendre la question ci-dessus lorsque la paroi est parfaitement absorbante.
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(d) Calculer E, E0 et p sur une paroi totalement absorbante pour un laser ayant un diamètre d = 5, 0 mm et une puissance moyenne P =
1, 0.102 W (laser utilisé industriellement pour la découpe de feuilles).
3. L’onde est maintenant absorbée par une sphère de rayon a, bien inférieur au
rayon du faisceau.
→
−
(a) Quelle est, en fonction de E, a et c la force F subie par la sphère ?
(b) Le Soleil donne au voisinage de la Terre (juste au dessus de l’atmosphère
terrestre) l’éclairement E = 1, 4.103 W · m−2 . L’émission est isotrope, la
distance Terre-Soleil est égale à D = 150.106 km et sur une surface de
dimensions petites devant D, l’onde arrivant du Soleil est quasi-plane.
Quelle est la puissance P0 émise par le Soleil ?
Un objet sphérique, de rayon a, de masse volumique µ, est, dans le vide
interplanétaire, à la distance r du Soleil et absorbe totalement le rayonnement solaire. Évaluer le rapport entre la force due à l’absorption du
rayonnement solaire et la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur
cet objet dans les deux cas suivants :
– cas d’une météorite : µ = 3, 0.103 kg · m−3 et a = 1, 0 m
– cas d’une poussière interstellaire : µ = 1, 0.103 kg · m−3 et a =
0, 10 µm
Commenter.
On donne la constante de gravitation universelle G
6, 67.10−11 N · m2 · kg−2 et la masse du Soleil MS = 2, 0.1030 kg.
=
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5. Compléments de cours
On considère la propagation d’une OPPM transverse dans un plasma, que l’on
−
→
→
−
décrit en notation complexe par E (M, t) = E0 exp(i(ωt − ~k · ~r)). On rappelle la
1
relation de dispersion : k2 = 2 (ω 2 − ωP2 ).
c
1. Cas où ω > ωP
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(a) À partir des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère, donner la
structure de l’OPPM électromagnétique dans le plasma, en faisant intervenir la vitesse de phase vϕ et la direction de propagation ~u.
(b) Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à cette onde,
ainsi que la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique.
(c) Exprimer la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie cinétique
des électrons (on prendra une densité particulaire n0 pour les électrons de
masse me et de charge −e) sous l’action de l’onde.
En déduire la densité volumique moyenne d’énergie totale, puis la vitesse
de propagation de cette énergie.
2. Cas où ω < ωP
(a) D’après la relation de dispersion, le module d’onde est désormais imaginaire pur. Donner son expression dans le cas où la propagation se fait
selon la direction ~uz . Quel signe faut-il choisir pour que l’onde obtenue
ait un sens physique ? Exprimer le vecteur d’onde ~k dans ce cas. Donner
l’expression du champ électrique résultant et commenter sa forme mathématique.
(b) Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à une telle
onde.
6. Système GPS et ionosphère
2. On envoie un train d’onde depuis un satellite vers la Terre. Donner l’expression
de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe en fonction de la fréquence
f de l’onde et de la fréquence plasma fP . On suppose que l’atmosphère est
assimilable à du vide vis-à-vis de l’onde enviagée. Calculer le temps τ que le
train d’onde met pour parcourir la distance D qui sépare le satellite du sol. On
supposera que f ≫ fP , ce qui permet un développement limité pour simplifier
l’expression obtenue.
3. Pour prendre en compte la dispersion ionosphérique, on envoie deux trains
d’onde de fréquences f1 et f2 et on mesure l’écart ∆t entre leurs temps de
parcours. Exprimer ∆t lorsque f2 > f1 ≫ fP .
f12 f22 c∆t
. On trouve que d est de
f 2 (f22 − f12 )
l’ordre de quelques mètres. Commenter.
4. Montrer que D = cτ − d, avec d =
7. Influence du champ magnétique terrestre
Le système de localisation GPS (Global Positioning System est si précis qu’il est
nécessaire de prendre en compte la dispersion due à la traversée de l’ionosphère.
L’ionosphère, d’épaisseur H, est un plasma globalement neutre : il contient des
électrons de masse m, de charge −e et de densité particulaire n, ainsi que des
ions de masse M , de charge +e et de densité particulaire n. On supposera que
le plasma est suffisamment dilué pour considérer que ses éléments constitutifs ne
sont pas en interaction.
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→
−
1. On envisage une onde plane progressive monochromatique de la forme E =
−
→
E0 exp(i(ωt − ~k · ~r)). Établir la relation de dispersion du plasma, ainsi que
l’expression de la pulsation de coupure ωP . Pourquoi la nomme-t-on ainsi ?
→
−
Un plasma est plongé dans un champ magnétique externe B 0 . Une onde électromagnétique plane polarisée rectilignement se propage dans ce plasma dans une
→
−
direction ~k perpendiculaire à B 0 .
→
−
1. La relation de dispersion du plasma est-elle modifiée lorsque le champ E de
→
−
→
−
l’onde est parallèle à B 0 , ou bien lorsque le champ E de l’onde est perpen→
−
diculaire à B 0 ?
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2. Dans le cas où la relation est modifiée, on admet qu’elle s’écrit alors
k2 c2 =
(ω 2 − ωP2 )2 − ωc2 ω 2
eB0
, où ωc =
.
2
2
2
m
ω − ωP − ωc
Tracer l’allure de la fonction k2 c2 = f (ω 2 ). En déduire pour quelle gamme de
pulsation les ondes peuvent réellement se propager dans le plasma.
3. On envoie verticalement selon (Ox) une onde sur l’ionosphère terrestre dont la
densité électronique n0 est supposée ici uniforme. Lorsque l’émission de l’onde
est telle que la direction du champ électrique est parallèle à celle du champ
→
−
magnétique terrestre B 0 il y a écho (donc réflexion) pour une longueur d’onde
émise supérieure à λ0 = 42, 70 m. Lorsque les directions du champ électrique
→
−
de l’onde et de B 0 sont perpendiculaires, l’écho se produit pour une longueur
d’onde supérieure à λ′0 = 38, 90 m.
(a) Déduire de ces deux mesures le nombre n0 d’électrons par mètre cube de
l’ionosphère ainsi que la valeur du champ magnétique B0 qui y règne.
(b) Le champ magnétique terrestre décroît en fonction de l’altitude suivant la
loi
−3/2
x2
B0 (x) = B0 (0) 1 + 2
,
R
où B0 (0) = 4, 7.10−5 T est sa valeur au sol et R = 6360 km le rayon
terrestre.
Calculer l’altitude de la couche réfléchissante. Quel peut être l’intérêt de
cette propriété ?
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Éléments de réponse
√
−
→
α
1. ~k = α(~ux + ~uy ) ; B (M, t) = −2 E0 exp [i (ωt − α(x + y))] ~uz ; ω = cα 2
ω
 
1
→
−
E02  
√  1 
< Π >=
cµ0 2
0
2. f = 5.1014 Hz, domaine du visible ; un plan d’onde a pour équation 2x +
→
−
Ex
2y + z = K0 ; Ey = −Ex ; B =
(~ux + ~uy − 4~uz ) ; < uem >= ε0 E02 ;
3c
→
−
< Π >= ε0 cE02 ~u, où ~u est la direction de propagation.
r
r
w0
E0
λ
2z0
z0 λ
3. w0 =
.β=
=
, A(z) = s
=
.
k
π
z0
πω0
z2
1+ 2
z0
HfP2 f22 − f12
H fP2
;
∆t
=
1+
.
2D f 2
2cD f12 f22
→ −
−
→
7. Il faut E ⊥ B 0 pour modifier la relation de dispersion. Il faut k2 pour que
la propagation soit possible, soit ω en dehors de l’intervalle [ω1 , ω2 ] avec
q
q
1
1
−ωc + ωc2 + 4ωP2 et ω2 =
ωc + ωc2 + 4ωP2 .
ω1 =
2
2
′2
2
4π 2 me
11 m−3 ; B = me 2πc(λ0 − λ0 )) = 4, 683.10−5 T
=
6,
116.10
n0 =
0
e
µ0 e2 λ20
λ′0 λ20
s
B0 −2/3
On peut mesurer l’altitude de la couche ionisée x = R
≃
B(0)
300 km.
D
c
Le laser CO2 diverge 10 fois moins que le laser YAG−Nd3+ .
Dans le cas z ≪ z0 , le faisceau est quasiment cylindrique w(z) ≃ w0 .
1
E −
→
2hν
S
E
4. E = ε0 cE02 ; N0 =
; F = N0 S
~ux = 2E ~ux ; p = 2 = ε0 E02 .
2
hν
c
c
c
1
Si la paroi est totalement absorbante p′ = ε0 E02 .
2
Pour le laser p = 3, 4.10−2 Pa, très faible.
Le Soleil émet une puissance P0 = E4πD 2 = 4, 0.1026 W. On définit α =
Fabs
: α = 2, 0.10−7 pour la météorite, et α = 5, 0 pour la poussière.
Fgravi
→
−
→
−
→
−
1
→
−
5. 1. E = vϕ B ∧ ~u, B =
~u ∧ E .
vϕ
→
−
1 −
ε0 −
→
→
< Π >=
| E |2~k ; < ut >=< uem > + < uc >= | E |2 ;
2µ0 ω
2
→
−
c2
< Π >
= ~k.
~ve ,
< ut >
ω
→
−
→
−
′′
2. ~k = −ik′′ ~uz ; E = E 0 e−k z eiωt , il s’agit d’une onde évanescente ; <
→
−
Π >= ~0.
s
s
2
f2
ω
ne
1
et vg = c 1 − P2 ;τ =
; vϕ =
6. k2 = 2 (ω 2 − ωP2 ) avec ωP =
c
mε0
k
f
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