SP5 - Circuit linéaire du premier ordre Schémas

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 - E. VAN BRACKEL TD de Physique-Chimie
TD
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SP5 - Circuit linéaire du premier ordre
Schémas équivalents en régime permanent
1 Régimes permanents
Sur chacun des schémas ci-dessous, déterminer les valeurs des intensités et des tensions en
régime permanent.
Equations différentielles du 1er ordre
2 Régime libre d’un circuit RC
On considère un condensateur de capa-
cité C=1µF, dont l’armature supérieure
porte la charge Q0= 10 µC, placé dans le
circuit suivant. Le résistor a une résistance
R = 10 kΩ.
1. Quelle est la charge portée par l’armature inférieure ?
2. Quelle est la tension U0aux bornes du condensateur ?
3. Quelle est l’énergie stockée par le condensateur ?
4. A la date t=0 on ferme l’interrupteur K. Quelles sont les valeurs de la tension
u(t = 0+)et de l’intensité i(t = 0+)?
5. Quelles sont les valeurs de la tension et de l’intensité en régime permanent ?
6. Etablir l’équation différentielle de la tension Ucaux bornes du condensateur. On
définira une constante de temps du circuit τ.
7. Résoudre l’équation différentielle pour en déduire les expressions de Uc(t) et i(t).
8. Tracer la courbe donnant la tension Uc(t) en fonction du temps.
9. Déterminer la date t1à laquelle la tension est égale à 1% de la tension initiale.
Exprimer le rapport t1
τet en conclure sur l’utilité de définir τ
3 Etablissement et rupture du courant dans un circuit RL
On constitue un circuit en branchant en parallèle aux bornes d’une bobine réelle d’induc-
tance L et de résistance r un conducteur ohmique de résistance R et une source idéale de
tension. A la date t=0, on ferme l’interrupteur K, à la date t=t0, on le rouvre.
1. Faire les schémas équivalents en régime per-
manent en position ouverte et en position fer-
mée, et en déduire les valeurs des courants.
2. Pour t∈[0; t0]donner l’équation vérifiée par
i2(t) en fonction de E,r et L et la résoudre. On
appellera τ1la constante de temps concernée.
3. Faire de même pour t≤t0et trouver la nouvelle expression de i2(t).
4. En déduire l’expression de la tension uL(t) pour t>t0et montrer qu’elle peut prendre
une valeur supérieure à E (en valeur absolue) pendant un court instant. Commenter.
4 Décharge d’un condensateur dans un autre
Dans le circuit suivant, les deux condensateurs ont même capacité C. Pour t<0, le conden-
sateur situé en bas est chargé sous la tension u=U0et le condensateur du haut est
déchargé. On ferme l’interrupteur K à la date t=0. On pose τ= RC.
1. Quelle est la charge portée par chacune des
armatures des condensateurs pour t<0?
Comment va-t-elle évoluer après t=0?
2. Quelles sont les valeurs de u(t = 0+),
u0(t = 0+)et i(t = 0+)?
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u(t) pour t≤0en fonction de τet de
U0. On s’appuiera sur la conservation de la charge !
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TD 7. SP5 - CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
4. En déduire les expressions de u(t) et de u0(t). Tracer leur allure sur un même gra-
phique.
5. A partir d’un bilan énergétique, déterminer l’énergie Eres dissipée par la résistance
au cours du régime transitoire.
Diverses applications
5 Minuterie d’une lampe
On étudie le principe de fonctionnement d’une minuterie permettant d’éteindre une lampe
automatiquement au bout d’une durée t0réglable. Dans le montage suivant, un composant
M permet l’allumage de la lampe L tant que la tension du condensateur est inférieure à
une tension limite, notée Ulim fixée ici à 20 V. Ce composant possède une alimentation
électrique propre qui lui fournit l’énergie nécessaire à l’allumage de la lampe. On admettra
qu’il ne perturbe pas le fonctionnement du circuit RC.
A l’instant initial, le condensateur est déchargé par l’appui sur le bouton poussoir, et l’in-
terrupteur K se ferme.
1. Etablir l’équation différentielle donnant les variations de uC(t) aux bornes du conden-
sateur en fonction du temps.
2. Quelle est la valeur UCen régime permanent ?
3. Résoudre l’équation différentielle précédente, en ayant défini une constante de temps
τ.
4. Tracer le graphique de uC(t) en faisant apparaître la tension E et la constante de
temps τ.
5. Calculer la valeur de τpour R = 100 kΩ et C = 200 µF.
6. Donner l’expression littérale de la date t0à laquelle la tension aux bornes du conden-
sateur atteint la valeur limite Ulim. Calculer t0et vérifier la validité du résultat à
l’aide du tracé de la question 4).
7. On a fixé Ulim = 20 V pour obtenir une durée d’allumage t0voisine de τ. Pour quelle
raison choisir t0très supérieure à τn’aurait-il pas été judicieux pour un tel montage ?
8. Quel paramètre du montage peut-on modifier afin d’augmenter la durée d’allumage
de la lampe ? Quel est le plus simple ?
6 Résistance de fuite d’un condensateur
Le diélectrique d’un condensateur n’est pas un isolant parfait, et il existe de ce fait un
courant de fuite. Un condensateur réel peut être modélisé par un condensateur idéal en pa-
rallèle avec un résistor. On se propose ici d’étudier la charge d’un condensateur de capacité
C et de résistance de fuite Rfà travers une résistance R, sous une tension continue E.
1. Dessiner le schéma électrique correspondant.
2. A t=0le condensateur est déchargé. Déterminer les expressions de la tension u(t)
aux bornes du condensateur et de l’intensité i(t) qui le traverse.
3. En déduire une méthode expérimentale de mesure de cette résistance de fuite.
7 Montage à diode dite de "roue libre"
On considère le montage ci-contre. On donne
E = 12 V,L = 15 mH,R = 100 Ω. Le dipôle D
est une diode idéale, ne laissant passer le courant
que dans le sens de la flèche. A la date t=0on
ferme l’interrupteur.
1. Montrer que la diode est bloquée, c’est-à-dire qu’elle ne laisse pas passer le courant.
2. Exprimer le courant i(t) qui traverse la bobine.
3. Quelles sont les valeurs de la tension Upet du courant Ipen régime permanent ?
Dans quel état est la diode ?
4. Quelle est l’énergie WLemmagasinée pendant le régime transitoire ?
5. On ouvre l’interrupteur à la date t = θ= 10τ. Peut-on considérer que le régime
permanent est atteint à cette date ?
6. Montrer que la diode devient passante (c’est-à-dire qu’elle laisse passer un courant).
7. Exprimer l’intensité i(t) qui traverse l’enroulement à partir de t = θ.
8. Comment l’énergie stockée dans la bobine est-elle dissipée ?
9. Tracer la courbe donnant l’évolution de l’intensité de 0 à 3 ms.
10. Que se passerait-il en l’absence de diode ? L’interrupteur pourrait-il être considéré
comme idéal ? Pour quelle raison ?
2E. VAN BRACKEL