Fichier

M2R STUE / Cours « Neige et Glace »
Les calottes polaires
L'écoulement de la glace
F. Parrenin
Laboratoire de Glaciologie et Géophysique de l'Environnement
Grenoble
Divers mécanismes d’écoulement
Vitesses horizontales en fct de la profondeur :
A : déformation sous l’action de la
contrainte de cisaillement
B : glissement sur l’interface
glace-socle
C : déformation du sédiment
sous-glaciaire
Résumé des types d’écoulement
qq m/an
qq 100 m/an
Vitesses de bilan - Antarctique
●
●
●
●
Vitesses moyennes
Fait apparaître des
fleuves de glace
Ice-streams en anglais
Représentent 15% de la
côte, mais évacuent
90% de la glace
Testut, thèse, 2002.
Ice-streams de Ross
●
●
●
Ice-stream C
s'est arrêté il y
a 150 ans
Comportement
oscillatoire ?
ice-stream B :
500 m/an
Retzlaff and Bentley, J.
Glaciol., 1993.
Joughins and Tulaczyk,
Science, 2002
Les conditions à la base sont à l’origine
de l’activité des fleuves de glace
Les ice-shelves
Peyaud, 2006
Mécanisme d’écoulement d’un ice-shelf
A : force nette proportionnelle à
l'épaisseur au carré
B : déformation sous l’action de la
contrainte longitudinale
L’ice shelf sert d’arc-boutant à la
calotte d’Antarctique de l’Ouest
Dans quelle configuration l'effet
d'arc boutant a-t-il lieu ?
(a)
(b)
With this model, only the
grounding zones like (c) with both :
• An ice stream region
• A confined ice shelf
(c)
Are sensitive to changes in ice
shelf thickness
Rignot et al., GRL, sept. 2004
=> Accélération de l'écoulement en amont du Larsen A.
Rignot et al., GRL, sept. 2004
1996
2000
2003
=> Accélération de l'écoulement en amont du Larsen B.
le cristal de glace
c
axe C
plan de base
symétrie hexagonale, comme certains métaux (magnésium, cadnium)
● Un des matériaux naturels les plus anisotropes : glissement 100x plus
difficile selon l'axe C.
● Déformation par mouvements de dislocations (défauts cristallins)
●
se comporte comme un jeu de carte !!
le polycristal de glace
Ice crystal
c
Fabrique
(orientation des cristaux)
Glace polycristalline
Anisotropie fonction de la fabrique
●
Les propriétés mécaniques du polycristal dépendent :
–
de l'orientation des cristaux (fabrique)
–
de leur agencement les uns par rapport aux autres
Déformation du polycristal
●
●
Processus intervenant dans la déformation :
– Déformation intra-cristalline
–
Mouvement relatif des cristaux
–
Croissance des cristaux
–
Migration des frontières de cristaux
–
La recristallisation dynamique (naissance d'un nouveau
cristal orienté favorablement pour la déformation) ou
par rotation (séparation d'un cristal en 2)
Difficultés des études en laboratoire :
–
temps petits (par rapport aux calottes polaires)
–
pressions faibles (par rapport aux CP)
–
échantillon limité (présence d'effets de bord)
L'anisotropie de la glace polaire
Vostok
Compression and/or
Simple shear
(Rémy and Tabacco, 2000)
Variation d'un endroit
à l'autre
et avec la profondeur
(Durand et al., 2007)
Dome C
Tension
Rétroaction fabrique / déformation
Hétérogénéité de la déformation
Petites differences de viscosité initiale
Evolution de
la fabrique
rétroaction
positive
Lorsque la glace est cisaillée verticalement, la fabrique va
s'orienter verticalement à cause :
●
de la rotation des grains
●
de la recristallisation dynamique
Les classes de modèles de glace (1)
Modèles complets
Résout les équations de Stokes sur le polycristal
- Méthode aux éléments finis
- Transformée de Fourier rapide
donne accès aux hétérogénéités
temps de calcul 3D
Modèles topologiques
Modèles d'automates cellulaires
inclut les processus de recristallisation
Temps de calcul 3D
Modèles micro-macro améliorés
inclut les interactions entre les grains
Hyp. de contrainte uniforme
Les classes de modèles de glace (2)
Modèles micro-macro (modèles d'homogénéisation)
c-axis
c
Rhéologie de l'assemblage
Evolution de la fabrique
Cristal de glace
Fabrique
Glace polycristalline
Modèles phénoménologiques (modèles continus)
Postule une loi constitutive viscoplastique anisotropic
Evalue les paramètres de cette loi grâce
- à des données expérimentales
- à un modèle micro-macro
temps de calcul
seulement un comportement macro
Quelques rappels sur les contraintes


Contraintes exercées sur un
cube élémentaire
Pour toute surface dS de
normale 
n:
 =⋅n dS
F


Attention au signe « - » (la
normale est orientée vers
l'extérieur)
On peut montrer que le
tenseur des contraintes est
symétrique (hyp. de milieu
continu non polarisé)
tenseur des contraintes :

 x  xy  xz
 =  yx  y  yz
 zx  zy  z

Déviateur des Contraintes


Déviateur
τ 'ij = τ ij − δ ij σ 0
σ x +σy +σz
σ0 =
3
Contrainte octaedrale
p = Pression hydrostatique = - contrainte octaedrale

Cission efficace
2
τ =
1
 τ ' ij 
∑
2
ij
2
Vitesse de déformation
Interprétation géométrique :
1 ∂ui ∂u j
ε& ij = (
+
2 ∂x j ∂xi
)
Loi de comportement
●
Relie contraintes et déformations
ij
ij
●
Le plus simple : loi visqueuse linéaire
2 η ε& ij =τ ' ij
viscosité indépendante de la contrainte (évt de T°)
●
Le plus compliqué : loi anisotrope non linéaire
ij= fct °  ij ,T 
terminologie
Rousselot, thèse, 2006.
Loi de Glen

Loi de comportement « loi de Glen »
( Définition d’une loi visqueuse)
2 ε& ij =BT τ
τ ' ij
(En général, on utilise n=3)
1−n
Loi visqueuse non linéaire (viscosité fonction de la contrainte)

=
BT
avec un coefficient BT dépendant de la température
Ea énergie d’activation
R constante des gaz parfaits
Tf température de fusion
n−1
Ea
1 1
B T =B 0 exp 

− 
R Tf T
Limites :
●
Seulement une appr. polynomiale basée sur qq essais en laboratoire
●
Plus compliqué dans la réalité (de multiples processus...)
Mécanismes en jeu dans le glissement
sur un socle rigide
●
Moteur = cisaillement vertical
●
Sur les obstacles :
●
●
●
Fonte-regel
●
Déformation
Influence de l’eau
●
Lubrification
●
Pression effective N (pression glace-pression eau)
Presque toutes les lois proposées sont de la forme
u b = k τ bγ N − β
●
Paterson, 1994.
Attention, le frottement est une paramétrisation
de phénomènes à petite échelle et
=> dépend de l'échelle considérée
Glissement sur du sédiment
glissement à l'interface glace/sédiment :
●
comportement visqueux
●
vitesse basale liée à la contrainte basale
Labourage (« ploughing ») :
●
Comportement plastique
●
Contrainte seuil qui dépend de la
pression effective
Déformation du sédiment :
●
Comportement visqueux
●
N : pression effective
●
h : épaisseur du sédiment
Rousselot, thèse, 2006.
b = N ,h U b
Ice-shelf : bilan des forces sur le front
z
Pression dans la glace et l'eau :
P g = g z g
P e =e z g
z=0
eq. de flottaison :
h g  g =he e
Force nette :
hg
he
F =∫0 P g dz−∫0 P e dz
g 2
2
2
F = he  1−e / g 
2
« La force nette est proportionnelle
au carré de l'épaisseur du front. »
Dumas, 2002
Forces en présence

Pression atmosphérique

Gravité

Frottement sur le fond et sur les bords

Pression de l’eau au fond et au bord des ice-shelves
Équations de base

Loi de comportement



relie contraintes et déformation
Equilibre quasi-statique

équilibre des forces

On néglige les termes d'accélération
incompressibilité

le volume de la glace varie très peu
∑ F =0
Équations d’équilibre
quasi-statique
La somme des forces sur un cube infinitésimal est nulle :
(les termes d'accélération sont négligés)
∂σ x
∂x
∂τ xy
∂x
∂τ xz
∂x
+
∂τ xy
∂y
+
∂σ y
∂y
+
∂τ yz
∂y
+
∂τ xz
∂z
=0
+
∂τ yz
∂z
=0
+
∂σ z
∂z
=ρg
L'équation d'incompressibilité
La somme des flux sortant d'un cube infinitésimal est nulle :
uz(z+dz)
uy(y+dy)
ux(x)
ux(x+dx)
uz(z)
∂ ux ∂ u y ∂ uz


=0
∂x ∂y ∂z
ou :
div  u =0
ou :
& xx & yy  & zz =0
Les approximations selon l’échelle

Couche mince ordre 0, isotrope

Couche mince ordres supérieurs
anisotropie à l’ordre 0

Résolution complète “full Stokes”
isotrope ou anisotrope
Modélisation de l’anisotropie
Vision schématique de la déformation
L’approximation de la couche mince


Shallow Ice Approximation en anglais
Principe : tirer parti du rapport d’aspect
ε= épaisseur/longueur caractéristique





Les variations horizontales sont supposées petites devant les variations
verticales
Passage en adimensionnel et réduction des coordonnées (les coordonnées
A = A 0 + ε A 1+ ε 2 A 2 + ...
sont 0->1)
Développement de toutes variables :
Réécriture des équations
(...) + ε (...) + ε 2 (...) = 0
Avantages


Critères objectifs pour négliger certains termes
Traitement rigoureux des conditions aux limites
Pour l’ordre 0 approche intuitive

Les dérivées horizontales sont négligeables devant les
dérivées verticales

Appliqué aux vitesses

Et aux déformations
1 ∂ ux
& xz =
2 ∂z

∂ ui ∂ u i ∂ ui
,
≪
∂x ∂y
∂z
=>
& xx , & xy , & yy , & zz ≪ & xz , & yz
à cause de
l'incompressibilité
1 ∂uy
& yz =
2 ∂z
En raison de la loi de comportement
 ' xx ,  ' xy ,  ' yy ,  ' zz ≪ ' xz ,  ' yz

Ce qui revient à supposer
 x = y = z
Conséquences (1)
équation d'équilibre quasi-statique :
∂  x ∂  xz

=0
∂x
∂z
 x = y = z = g S − z 
∂  y ∂  yz

=0
∂y
∂z
∂S
S−z
 xz =− g
∂x
∂S
S−z
 yz =− g
∂y
∂z
= g
∂z
(S = altitude de la surface)
Cission efficace :
2
    
2
2
2
 = g  S − z 
∂S
∂S

∂x
∂y
2
2
= =pente max
Conséquences (2)
Avec une loi de Glen :
∂ ux
n
n n−1 ∂ S
=−BT  g  S − z  
∂z
∂x
∂ uy
n
n n−1 ∂ S
=−B T  g  S − z  
∂z
∂y
En intégrant :
z
∂S
n n−1
n
u x  z =u xb −
 g   ∫B B T  z ' S − z '  dz '
∂x
z
∂S
n n−1
u y  z =u xb −
 g   ∫B B T  z '  S − z ' n dz '
∂y
Conséquence : vitesse horizontale par déformation indépendante de la
profondeur et parallèle à la direction de plus grande pente de surf. :
n
u h  z − u hb =− g  
n
z
∫B


BT  z ' S − z '  dz '
∥∥
∂S ∂S

,
=
∂x ∂y
n


Applications
En isotherme :
n


n1
n1 
 H − S −z  
u  z =u b − g 
n1
∥∥
n
Vitesses en surface, pour n=3 :
∥u s− u b∥=   g  
3
S
3
B
T

z
dz ¿
∫
B
Vitesses en surface, pour n=3 et en isotherme :
3
4
3
b
∥u s− u b∥=   g   B 0 H /4= B0  H /4
car :
b = g  H
Valeurs numériques :
−3
−1
3,
B 0=0.2 bar an , =0.001, H =3000 m , =920 kg/m g =9.8 m/s
 b=0.27 bar ,∥u s −ub∥=3 m/an
2
CM pour ice-shelf et ice-stream (1)
●
Equations d’équilibre quasi-statique
●
Loi de déformation
●
Couche mince avec des conditions à la base différentes de celles de la glace
posée
–
–
●
Pas de cisaillement tangentiel à la base
Pression de l’eau donnée par la force d’archimède
Résultats
–
–
Ordre 0 : les vitesses sont indépendantes de la profondeur
Ordre 1 :
L, opérateur elliptique
L U = ρ g H ∇S
CM pour ice-shelf et ice-stream (2)
Le frottement basal est nul pour les ice-shelves,
imposé pour les ice-streams :
frottement proportionnel à la vitesse basal.
β peut dépendre de la morphologie du socle et de la présence d'eau.