Les calottes polaires L`écoulement de la glace

M2R STUE / Cours « Neige et Glace »
Les calottes polaires
L'écoulement de la
glace
F. Parrenin
Laboratoire de Glaciologie et Géophysique de l'Environnement
Grenoble
Divers mécanismes d’écoulement
Vitesses horizontales en fct de la profondeur :
A : déformation sous l’action
de la contrainte de
cisaillement
B : glissement sur
l’interface glace-socle
C : déformation du
sédiment sous-glaciaire
Résumé des types d’écoulement
qq m/an
qq 100 m/an
Vitesses de bilan - Antarctique
●
●
●
●
Vitesses moyennes
Fait apparaître des
fleuves de glace
Ice-streams en
anglais
Représentent 15% de
la côte, mais
évacuent 90% de la
glace
Testut, thèse, 2002.
Ice-streams de Ross
●
Ice-stream C
s'est arrêté il y
a 150 ans
●
Comportement
oscillatoire ?
●
ice-stream B :
500 m/an
Retzlaff and Bentley,
J. Glaciol., 1993.
Joughins and
Tulaczyk, Science,
2002
Les conditions à la base sont à
l’origine de l’activité des fleuves de
glace
Les ice-shelves
Peyaud, 2006
Mécanisme d’écoulement d’un iceshelf
A : force nette
proportionnelle à l'épaisseur
au carré
B : déformation sous l’action
de la contrainte longitudinale
L’ice shelf sert d’arc-boutant à la
calotte d’Antarctique de l’Ouest
Dans quelle configuration l'effet
d'arc boutant a-t-il lieu ?
(a)
(b)
With this model, only the
grounding zones like (c) with
both :
• An ice stream region
• A confined ice shelf
(c)
Are sensitive to changes in ice
shelf thickness
Rignot et al., GRL, sept. 2004
=> Accélération de l'écoulement en amont du Larsen A.
Rignot et al., GRL, sept. 2004
1996
2000
2003
=> Accélération de l'écoulement en amont du Larsen B.
le cristal de glace
c
axe C
plan de base
symétrie hexagonale, comme certains métaux (magnésium, cadnium)
● Un des matériaux naturels les plus anisotropes : glissement 100x plus difficile selon l'axe C.
● Déformation par mouvements de dislocations (défauts cristallins)
●
se comporte comme un jeu de carte !!
le polycristal de glace
Ice crystal
c
Fabrique
(orientation des cristaux)
Glace polycristalline
Anisotropie fonction de la fabrique
●
Les propriétés mécaniques du polycristal
dépendent :
–
de l'orientation des cristaux (fabrique)
–
de leur agencement les uns par rapport aux autres
Déformation du polycristal
●
●
Processus intervenant dans la déformation :
– Déformation intra-cristalline
–
Mouvement relatif des cristaux
–
Croissance des cristaux
–
Migration des frontières de cristaux
–
La recristallisation dynamique (naissance d'un
nouveau cristal orienté favorablement pour la
déformation) ou par rotation (séparation d'un
cristal en 2)
Difficultés des études en laboratoire :
–
temps petits (par rapport aux calottes polaires)
–
pressions faibles (par rapport aux CP)
–
échantillon limité (présence d'effets de bord)
L'anisotropie de la glace polaire
Dome C
Tension
Compression and/or
Simple shear
(Rémy and Tabacco, 2000) Variation d'un endroit
à l'autre
et avec la profondeur
(Durand et al., 2007) Vostok
Rétroaction fabrique / déformation
Hétérogénéité de la déformation
Petites differences de viscosité initiale
Evolution de la fabrique
rétroaction positive
Lorsque la glace est cisaillée verticalement, la fabrique va
s'orienter verticalement à cause :
● de la rotation des grains
● de la recristallisation dynamique
Les classes de modèles de glace
(1)
Modèles complets
Résout les équations de Stokes sur le polycristal
­ Méthode aux éléments finis
­ Transformée de Fourier rapide
donne accès aux hétérogénéités
temps de calcul 3D
Modèles topologiques
Modèles d'automates cellulaires
inclut les processus de recristallisation
Temps de calcul 3D Modèles micro­macro améliorés
inclut les interactions entre les grains
Hyp. de contrainte uniforme
Les classes de modèles de glace
(2)
Modèles micro­macro (modèles d'homogénéisation)
c-axis c
Rhéologie de l'assemblage
Cristal de glace
Evolution de la fabrique
Fabrique
Glace polycristalline
Modèles phénoménologiques (modèles continus)
Postule une loi constitutive viscoplastique anisotropic
Evalue les paramètres de cette loi grâce
­ à des données expérimentales ­ à un modèle micro­macro
temps de calcul
seulement un comportement macro Quelques rappels sur les
contraintes


Contraintes exercées sur
un cube élémentaire
Pour toute surface dS de
normale : 
n
 =⋅n dS
F


Attention au signe « - » (la
normale est orientée vers
l'extérieur)
On peut montrer que le
tenseur des contraintes est
symétrique (hyp. de milieu
continu non polarisé)
tenseur des contraintes :

 x  xy  xz
 =  yx  y  yz
 zx  zy  z

Déviateur des Contraintes

Déviateur
τ 'ij = τ ij − δ ij σ 0
σ x +σy +σz
σ0 =
3
p = Pression hydrostatique = - contrainte octaedrale

Contrainte octaedrale

Cission efficace
2
τ=
1
 τ' ij 
∑
2
ij
2
Vitesse de déformation
Interprétation géométrique :
1 ∂ ui ∂u j
̇ij = 


2 ∂ x j ∂ xi
Loi de comportement
●
Relie contraintes et déformations
ij
ij
●
Le plus simple : loi visqueuse linéaire
2 η ε̇ij =τ' ij
viscosité indépendante de la contrainte (évt de T°)
●
Le plus compliqué : loi anisotrope non linéaire
ij= fct °  ij ,T 
terminologie
Rousselot, thèse, 2006.
Loi de Glen

Loi de comportement « loi de Glen »
( Définition d’une loi visqueuse)
n−1
2 ε̇ij =BT τ τ' ij
(En général, on utilise n=3)
Loi visqueuse non linéaire (viscosité fonction de la contrainte)
avec un coefficient BT dépendant de la température
Ea énergie d’activation
R constante des gaz parfaits
Tf température de fusion
1−n

=
BT
Ea
1 1
B T =B 0 exp 

− 
R Tf T
Limites :
● Seulement une appr. polynomiale basée sur qq essais en
laboratoire
● Plus compliqué dans la réalité (de multiples processus...)
Mécanismes en jeu dans le
glissement sur un socle rigide
●
●
Moteur = cisaillement vertical
Sur les obstacles :
●
●
●
●
●
Fonte-regel
Déformation
Influence de l’eau
●
●
Paterson, 1994.
Lubrification
Pression effective N (pression glace-pression eau)
Presque toutes les lois proposées sont de la
forme
γ
−β
u
=
k
τ
N
b
Attention, le frottement
estb une
paramétrisation de phénomènes à petite
échelle et
=> dépend de l'échelle considérée
Glissement sur du sédiment
glissement à l'interface glace/sédiment :
● comportement visqueux
● vitesse basale liée à la contrainte
basale
Labourage (« ploughing ») :
● Comportement plastique
● Contrainte seuil qui dépend de la
pression effective
Déformation du sédiment :
●Comportement visqueux
●N : pression effective
●h : épaisseur du sédiment
Rousselot, thèse, 2006.
b = N ,h U b
Ice-shelf : bilan des forces sur le front
Pression dans la glace et l'eau :
P g = g z g g
P e =e z e g
eq. de flottaison :
h g  g =he e
Force nette :
hg
he
F =∫0 P g dz−∫0 P e dz
g 2
2
2
F = he  1−e / g 
2
« La force nette est proportionnelle
au carré de l'épaisseur du front. »
Dumas, 2002
Forces en présence

Pression atmosphérique

Gravité

Frottement sur le fond et sur les bords

Pression de l’eau au fond et au bord des iceshelves
Équations de base

Loi de comportement



relie contraintes et déformation
Equilibre quasi-statique

équilibre des forces

On néglige les termes d'accélération
incompressibilité

le volume de la glace varie très peu
∑ F =0
Équations d’équilibre
quasi-statique
La somme des forces sur un cube infinitésimal est nulle :
(les termes d'accélération sont négligés)
∂σ x
∂x
∂τ xy
∂x
∂τ xz
∂x
+
∂τ xy
∂y
+
∂σ y
∂y
+
∂τ yz
∂y
+
∂τ xz
∂z
=0
+
∂τ yz
∂z
=0
+
∂σ z
∂z
=ρg
L'équation d'incompressibilité
La somme des flux sortant d'un cube infinitésimal est nulle :
uz(z+dz)
uy(y+dy)
ux(x)
ux(x+dx)
uz(z)
∂ ux ∂ u y ∂ uz


=0
∂x ∂y ∂z
ou :
div  u =0
ou :
̇ xx ̇ yy  ̇ zz =0
Les approximations selon l’échelle

Couche mince ordre 0, isotrope

Couche mince ordres supérieurs
anisotropie à l’ordre 0

Résolution complète “full
Stokes” isotrope ou anisotrope
Modélisation de l’anisotropie
Vision schématique de la
déformation
L’approximation de la couche
mince


Shallow Ice Approximation en anglais
Principe : tirer parti du rapport d’aspect
ε= épaisseur/longueur caractéristique





Les variations horizontales sont supposées petites devant les
variations verticales
Passage en adimensionnel et réduction des coordonnées (les
coordonnées sont 0->1)
Développement de toutes variables :
A = A 0+ ε A 1+ ε 2
Réécriture des équations
Avantages


A 2+ ...
(...) + ε (...) + ε 2 (...) = 0
Critères objectifs pour négliger certains termes
Traitement rigoureux des conditions aux limites
Pour l’ordre 0 approche intuitive



Les dérivées horizontales sont négligeables devant les
dérivées verticales
∂ ui ∂ u i ∂ ui
Appliqué aux vitesses
,
∂x ∂y
Et aux déformations
≪
∂z
=> ̇ xx , ̇ xy , ̇ yy , ̇ zz ≪ ̇ xz , ̇ yz
à cause de
l'incompressibilité

En raison de la loi de comportement
1 ∂ ux
̇ xz =
2 ∂z

1 ∂uy
̇ yz =
2 ∂z
Ce qui revient à supposer
 ' xx ,  ' xy ,  ' yy ,  ' zz ≪ ' xz ,  ' yz
 x = y = z
Conséquences (1)
équation d'équilibre quasi-statique :
∂  x ∂  xz

=0
∂x
∂z
 x = y = z = g S − z 
∂  y ∂  yz

=0
∂y
∂z
∂S
S−z
 xz =− g
∂x
∂S
S−z
 yz =− g
∂y
∂z
= g
∂z
(S = altitude de la surface)
Cission efficace :
2
2
2
 = g  S − z 
    
2
∂S
∂S

∂x
∂y
2
2
= =pente max
Conséquences (2)
∂ ux
n
n n−1 ∂ S
=−BT  g  S − z  
∂z
∂x
∂ uy
n
n n−1 ∂ S
=−B T  g  S − z  
∂z
∂y
Avec une loi de Glen :
En intégrant :
z
∂S
n n−1
n
u x  z =u xb −
 g   ∫B B T  z ' S − z '  dz '
∂x
z
∂S
n n−1
u y  z =u xb −
 g   ∫B B T  z '  S − z ' n dz '
∂y
Conséquence : vitesse horizontale par déformation
indépendante de la profondeur et parallèle à la direction de plus
grande pente de surf. :
n
u h  z − u hb =− g  
n
z
∫B


BT  z ' S − z '  dz '
∥∥
∂S ∂S

,
=
∂x ∂y
n


Applications
En isotherme :
n


n1
n1 
 H − S −z  
u  z =u b − g 
n1
∥∥
n
Vitesses en surface, pour n=3 :
∥u s− u b∥=   g  
3
S
3
B
T

z
dz ¿
∫
B
Vitesses en surface, pour n=3 et en isotherme :
3
4
3
b
∥u s− u b∥=   g   B 0 H /4= B0  H /4
car :
b = g  H
Valeurs numériques :
−3
−1
3,
B 0=0.2 bar an , =0.001, H =3000 m , =920 kg/m g =9.8 m/s
 b=0.27 bar ,∥u s −ub∥=3 m/an
2
CM pour ice-shelf et ice-stream (1)
●
Equations d’équilibre quasi-statique
●
Loi de déformation
●
Couche mince avec des conditions à la base différentes de celles de la
glace posée
–
–
●
Pas de cisaillement tangentiel à la base
Pression de l’eau donnée par la force d’archimède
Résultats
–
–
Ordre 0 : les vitesses sont indépendantes de la profondeur
Ordre 1 :
L, opérateur elliptique
L U = ρ g H ∇S
CM pour ice-shelf et ice-stream (2)
Le frottement basal est nul pour les ice-shelves,
imposé pour les ice-streams :
frottement proportionnel à la vitesse basal.
β peut dépendre de la morphologie du socle et de la
présence d'eau.