travaux diriges de physique - TD de Physique pour la filère PC (IPEIN)

1
I.P.E.I.N.
Filière SP
Exercice n°1
Soit un atome d'hydrogène dans l'hypothèse simplifiée du modèle de Bohr.
1) Ecrire les forces qui agissent sur l'électron gravitant autour du noyau si on applique un champ électrique
constant
0
E perpendiculaire au plan de l'orbite.
2) Calculer l'ordre de grandeur du champ électrique centripète dû au rayon en l'absence de champ extérieur,
connaissant le premier rayon de Bohr : r
0
= 0,529 Å qui correspond à l'état fondamental de l'atome
d'hydrogène.
3) En remarquant que les champs appliqués sont en général négligeables devant celui trouvé plus haut,
montrer qu'il en résulte un moment dipolaire que l'on calculera. En déduire la polarisabilité d'un atome.
Application numérique.
Exercice n°2
Un modèle d'atome pour le calcul de la polarisabilité électronique des atomes est le suivant : le noyau est un
point chargé de charge Ze (charge positive où Z est le numéro atomique et e la charge élémentaire) situé au
centre d'une sphère de rayon r dans laquelle une charge -Ze est distribuée uniformément en volume. Quand on
applique un champ électrique
E
, on admet que la distribution des charges négatives n'est pas modifiée et que
le noyau est déplacé d'une distance d à partir de sa position d'équilibre, jusqu'à ce que la force électrostatique
due au champ électrique soit compensée par la force de rappel provenant de l'action des charges négatives.
1) Ecrire l'expression de la force de rappel et en déduire le moment p
e
du dipôle induit en fonction de r et
E
.
2) Déduire de p
e
la polarisabilité électronique α
e
de l'atome envisagé.
3) Prenant r=1 Å, donner un ordre de grandeur de α
e
puis calculer d pour E = 300 V/cm avec Z =
1.Comparer d à r.
Exercice n°3
Soit un milieu cristallin diélectrique à polarisation permanente. Les dipôles ont, exclusivement, une
orientation parallèle ou antiparallèle au champ appliqué
E
. Il y a N dipôles par unité de volume et chaque
dipôle a un moment
permanent p . Les probabilités de passage du niveau d'énergie W
1
au niveau W
2
(et réciproquement de W
2
à
W
1
), par suite de l'agitation thermique, sont égales à π
12
et π
21
.
1) Donner l'équation d'évolution des populations n
1
et n
2
des niveaux W
1
et W
2
. Ecrire que le système est en
équilibre et que n
1
et n
2
obéissent à la loi de distribution de Boltzmann. En déduire π
12
et π
21
en fonction de
x= pE
0
/ kT
2) Donner l'évolution du vecteur polarisation en fonction du temps si on applique, à l'instant t = 0, un champ
électrique continu uEE
0
= . Les moments permanents sont en général tels que x<< l. On confondra par
ailleurs champ local et champ appliqué.
3) Quelle forme peut-on donner en régime permanent à la polarisabilité si
E
est une fonction sinusoïdale du
temps. En déduire ε
r
que l'on donnera sous la forme : ε
r
= ε ' - jε''.
Exercice n°4
On place une sphère pleine, de centre O, de rayon R, conductrice, neutre et isolée dans un champ uniforme
0
E
1°) Donner sans calcul une idée sur la répartition de charges induites à la surface de la sphère .Quel est le
champ
1
E crée par cette répartition en tout point de la sphère ?
2°) A la répartition défini ci-dessus correspond une densité surfacique θσ=σ cos)P(
0
.Montrer que
000
E3ε=σ
TRAVAUX DIRIGES DE
PHYSIQUE
Electromagnétisme dans un diélectrique L.H.I.

2
3°) Montrer que cette répartition est équivalente à un dipôle électrique placé en O et de moment p que l’on
déterminera.
Exercice n°5
Soit un ensemble de N sphères par unité de volume, de rayon r, métallique, parfaitement conductrices. On
suppose toute interaction négligeable.
1) Calculer la polarisabilité d'une sphère
2) En déduire la constante diélectrique du milieu ε
r
si l'on adopte ce modèle pour l'hydrogène atomique
gazeux dans les conditions normales.
3) Que devient ε
r
si on adopte ce modèle pour un solide : on suppose que les molécules sont de forme
sphérique et sont jointives (sans contact électrique) et disposées aux nœuds d'un réseau cubique simple.
Exercice n°6
On suppose que le champ local induit dans chaque molécule du solide un dipôle de moment:
Loc
Ep α= où α
est la polarisabilité totale du constituant. On considère un diélectrique solide à structure cubique et à
molécules non polaires. La polarisabilité est supposée donnée par α = 4πε
0
a
3
où a représente le rayon
moléculaire moyen.
1) Quel est, dans ce cas, le champ local?
2) Calculer, en fonction de a et de la permittivité relative ε
r
, le nombre de molécules par unité de volume du
diélectrique.
3) Le diélectrique a pour masse moléculaire M et pour masse spécifique ρ. Calculer la valeur du rayon
moléculaire moyen.
4) Application numérique : ε
r
= 6,4 ; M = 459 grammes ; ρ = 1,66 g/cm
3
.
Exercice n°7 Diamagnétisme
On considère un électron de masse m, de charge e décrivant avec la vitesse angulaire ω une orbite circulaire
de rayon r autour du noyau.
1) Exprimer le moment magnétique
M
correspondant, ainsi que le moment cinétique N de cet électron et
donner l'expression du rapport gyromagnétique γ.
Ce système est placé dans un champ magnétique uniforme
B
faisant un angle (π/2 - θ) avec la direction de N .
2) Montrer en utilisant le théorème du moment cinétique que le système va suivre un mouvement de
précession par rapport à la direction de
B
avec une vitesse angulaire ω
p
que l'on calculera.
3) En déduire le moment cinétique induit par un tel mouvement ainsi que le moment magnétique
correspondant.
4) Si cet atome possède Z électrons circulant sur des orbites circulaires de rayon moyen R et dont les plans
sont répartis de façon isotrope dans l'espace, donner l'expression du moment magnétique.
5) Le matériau possédant n atomes par unité de volume, en déduire l'expression de la susceptibilité
diamagnétique.
Exercice n°8 : Paramagnétisme
Une substance paramagnétique contenant N dipôles identiques, de moment
M
, par unité de volume est placée
dans un champ magnétique uniforme
B
. Les dipôles ne peuvent s'orienter que parallèlement ou
antiparallèlement au champ. L'énergie d'interaction dipolaire est supposée négligeable.
1) Donner l'énergie magnétostatique des dipôles
2) Donner à l'équilibre thermodynamique, pour une température T, la densité des populations des deux
niveaux d'énergie magnétique susceptibles d'être occupés par ces dipôles en supposant qu'ils obéissent à la
statistique de Maxwell-Boltzmann.
3) En déduire l'aimantation I de la substance paramagnétique et sa variation en fonction de
B
4) Dans le domaine de validité de la loi de Curie, donner l'expression de la susceptibilité de la substance
considérée.