Droites remarquables dans les triangles
F.Gaudon
16 f´evrier 2005
Table des mati`eres
1 Diff´erentes droites 2
1.1 M´ediatrices ............................ 2
1.2 Hauteurs.............................. 4
1.3 M´edianes ............................. 6
1.4 Bissectrices ............................ 8
2 Applications 10
3 Cas des triangles particuliers 11
1
1 Diff´erentes droites
1.1 M´ediatrices
D´efinition :
La m´ediatrice d’un segment est la droite perpendiculaire `a ce segment et
passant par son milieu.
Propri´et´es :
Les m´ediatrices des cˆot´es d’un triangle se coupent en un mˆeme point.
On dit qu’elles sont concourantes.
Ce point est le centre du cercle passant par les sommets du triangle et
appel´e cercle circonscrit au triangle.
2
Preuve :
Soit ABC un triangle non aplati et soient (d1), (d2) et (d3) les m´ediatrices
respectives des cˆot´es [AB], [BC] et [AC].
Puisque le triangle n’est pas aplati, les droites (d1) et (d2) se coupent en un
point O. Il s’agit de montrer que le point Oest aussi sur (d3).
On sait que Oest sur la m´ediatrice (d1) de [AB]. D’apr`es la propri´et´e : ”si
un point appartient `a la m´ediatrice d’un segment alors il est `a ´egale
distance des extr´emit´es du segment” on en d´eduit que OA =OB.
De mˆeme, Oest sur la m´ediatrice (d2) de [BC] donc OB =OC.
OA =OB et OB =OC donc OA =OC. D’apr`es la propri´et´e : ”si un point
est situ´e `a ´egale distance des extr´emit´es d’un segment alors il appartient `a
la m´ediatrice de ce segment”, on en d´eduit que Oappartient `a la m´ediatrice
(d3) du segment [AC], ce qu’il fallait d´emontrer.
3
1.2 Hauteurs
D´efinition :
Dans un triangle, les hauteurs sont les droites passant par un sommet et
perpendiculaires au cˆot´e oppos´e.
Propri´et´e :
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appel´e ortho-
centre du triangle.
Preuve :
Soit ABC un triangle non aplati. Soit (dA) la hauteur issue de A, (dB) la
hauteur issue de Bet (dC) la hauteur issue de C. Soient (d0
C) la droite
parall`ele `a la droite (AB) et passant par le point C, (d0
A) la droite parall`ele
4
`a la droite (BC) passant par le point Aet (d0
B) la droite parall`ele `a (AC)
passant par le point B.
(d0
A) et (d0
B) se coupent en un point C0, (d0
B) et (d0
C) se coupent en au point
A0et (d0
A) et (D0
C) se coupent en un point B0.
On va d’abord montrer que (dB) est la m´ediatrice du segment [A0C0] :
On sait que (A0C) et (AB) sont parall`eles et que (A0B) et (AC) sont
parall`eles. D’apr`es la propri´et´e : ”si un quadrilat`ere a ses cˆot´es parall`eles
deux `a deux alors c’est un parall´elogramme”, on en d´eduit que ABA0Cest
un parall´elogramme. On sait donc que ABA0Cest un parall´elogramme d’o`u
d’apr`es la propri´et´e : ”si un quadrilat`ere est un parall´elogramme, alors ses
ot´es oppos´es sont ´egaux et parall`eles” on en d´eduit que A0B=AC et que
(AC) et (A0B) sont parall`eles.
On montre de mˆeme en utilisant le parall´elogramme ACBC0que
BC0=AC.
A0B=AC et BC0=AC donc A0B=BC0d’o`u Best le milieu de [A0C0].
On sait que la hauteur (dB) est perpendiculaire au cˆot´e (AC) et que (AC)
et (A0B) sont parall`eles donc d’apr`es la propri´et´e : ”si deux droites sont
parall`eles, toute droite perpendiculaire `a l’une est perpendiculaire `a
l’autre”, les droites (dB) et (A0C0) sont perpendiculaires.
Finalement, (dB) coupe [A0C0] perpendiculairement en son milieu Bdonc
c’est la m´ediatrice de [A0C0].
De mˆeme, on montre que (dA) est la m´ediatrice de [B0C0] et que (dC) est la
m´ediatrice de [A0B0].Les m´ediatrices d’un triangle sont concourantes donc
les droites (dA), (dB) et (dC) sont concourantes.
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