
`a la droite (BC) passant par le point Aet (d0
B) la droite parall`ele `a (AC)
passant par le point B.
(d0
A) et (d0
B) se coupent en un point C0, (d0
B) et (d0
C) se coupent en au point
A0et (d0
A) et (D0
C) se coupent en un point B0.
On va d’abord montrer que (dB) est la m´ediatrice du segment [A0C0] :
On sait que (A0C) et (AB) sont parall`eles et que (A0B) et (AC) sont
parall`eles. D’apr`es la propri´et´e : ”si un quadrilat`ere a ses cˆot´es parall`eles
deux `a deux alors c’est un parall´elogramme”, on en d´eduit que ABA0Cest
un parall´elogramme. On sait donc que ABA0Cest un parall´elogramme d’o`u
d’apr`es la propri´et´e : ”si un quadrilat`ere est un parall´elogramme, alors ses
cˆot´es oppos´es sont ´egaux et parall`eles” on en d´eduit que A0B=AC et que
(AC) et (A0B) sont parall`eles.
On montre de mˆeme en utilisant le parall´elogramme ACBC0que
BC0=AC.
A0B=AC et BC0=AC donc A0B=BC0d’o`u Best le milieu de [A0C0].
On sait que la hauteur (dB) est perpendiculaire au cˆot´e (AC) et que (AC)
et (A0B) sont parall`eles donc d’apr`es la propri´et´e : ”si deux droites sont
parall`eles, toute droite perpendiculaire `a l’une est perpendiculaire `a
l’autre”, les droites (dB) et (A0C0) sont perpendiculaires.
Finalement, (dB) coupe [A0C0] perpendiculairement en son milieu Bdonc
c’est la m´ediatrice de [A0C0].
De mˆeme, on montre que (dA) est la m´ediatrice de [B0C0] et que (dC) est la
m´ediatrice de [A0B0].Les m´ediatrices d’un triangle sont concourantes donc
les droites (dA), (dB) et (dC) sont concourantes.
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