Construction de triangles — Droites remarquables du triangle I

Chapitre 10 5
Construction de triangles
—
Droites remarquables du triangle
I) Triangle
1) Rappels sur les triangles
+Voir fiche «Rappel 02 : Les triangles ».
2) In´egalit´e triangulaire
Propri´et´e (in´egalit´e triangulaire)
Dans un triangle, la longueur de chaque cˆot´e est in-
f´erieure `a la somme des longueurs des deux autres
cˆot´es.
Cela signifie que :
Dans le triangle ABC
A
C
B
AB < AC +CB
AC < AB +BC
BC < BA +AC
Propri´et´e (cons´equence de l’in´egalit´e triangulaire)
Trois longueurs ´etant donn´ees, si la plus grande lon-
gueur est inf´erieure `a la somme des longueurs des deux
autres, alors on peut tracer un triangle dont les cˆot´es
mesurent ces trois longueurs.
Remarque
Dans le cas contraire, le triangle n’est pas construc-
tible.
Application 1
a) Peut-on construire un triangle ROC tel que
RO = 5 cm, OC = 4 cm et RC = 3 cm (Justifier
la r´eponse et construire le triangle si cela est pos-
sible) ?
b) Peut-on construire un triangle EDF tel que
ED = 2 cm, EF = 3,5 cm et DF = 6,7 cm (Jus-
tifier la r´eponse et construire le triangle si cela est
possible) ?
Propri´et´e
Si un point Cappartient au segment [AB] alors
AB =AC +CB.
Propri´et´e (r´eciproque)
Si A,Bet Csont trois points tels que AB =AC +CB
alors le point Cappartient au segment [AB]. A
B
C
II) Droites remarquables du triangle
1) M´ediatrices d’un triangle
a) M´ediatrice d’un segment
+Voir fiche «Rappel 03 : M´ediatrice d’un segment ».

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b) M´ediatrices d’un triangle
D´efinition
Les m´ediatrices d’un triangle sont les m´ediatrices des
trois cˆot´es de ce triangle.
Le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle qui
passe par les trois sommets de ce triangle.
Propri´et´e
Les m´ediatrices d’un triangle sont concourantes
(c’est-`a-dire s´ecantes en un mˆeme point).
Le point de concours des m´ediatrices d’un triangle est
le centre du cercle circonscrit `a ce triangle.
Exemple
Sur la figure ci-contre :
+les m´ediatrices du triangle ABC sont concou-
rantes en O;
+le point Oest le centre du cercle circonscrit au
triangle ABC ; c’est-`a-dire le cercle qui passe par
les sommets A,Bet Cdu triangle ABC.
+Le point Oest ´equidistant des points A,Bet C,
c’est-`a-dire OA =OB =OC.
D´efinition
Sur la figure ci-contre, on dit aussi que le triangle
ABC est inscrit dans le cercle.
A
BC
O
Remarque
Pour trouver le centre du cercle circonscrit d’un tri-
angle, il ne faut tracer que deux des trois m´ediatrices
de ce triangle (car la troisi`eme m´ediatrice passera par
le point d’intersection des deux premi`eres).
Exemple
Si l’on veut trouver le centre du cercle circonscrit au
triangle ABC ci-contre, on trouve le point Od’in-
tersection des m´ediatrices de deux des trois cˆot´es du
triangle (par exemple [AB] et [BC]).
On ne trace pas la m´ediatrice du segment [AC] car
elle passera obligatoirement par le point O.
A
B
C
O
Propri´et´e
Si un triangle a trois angles ai-
gus alors le centre de son cercle
circonscrit est situ´e `a l’int´erieur
de ce triangle.
Propri´et´e
Si un triangle a un angle obtus
alors le centre de son cercle cir-
conscrit est situ´e `a l’ext´erieur de
ce triangle.
Propri´et´e
Si un triangle est rectangle alors
le centre de son cercle circons-
crit est situ´e au milieu de son
hypot´enuse.
A
BC
O
A
B
C
O
A
BC
O

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2) Hauteurs d’un triangle
D´efinition
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe
par un sommet et qui est perpendiculaire au cˆot´e op-
pos´e `a ce sommet.
Exemple et d´efinition
Sur la figure ci-contre :
La droite (d) est :
+la hauteur issue du sommet Cdu triangle
ABC ;
+ou la hauteur relative au cˆot´e [AB] du triangle
ABC.
Le point Ps’appelle le pied de la hauteur.
hauteur
(d)
pied de la hauteur
A
B
C
P
Remarque (hauteurs dans un triangle rectangle)
Si un triangle est rectangle alors ses hauteurs rela-
tives aux cˆot´es de l’angle droit sont confondues avec
les cˆot´es de l’angle droit de ce triangle.
Le pied de ces hauteurs est le sommet de l’angle droit
de ce triangle rectangle.
D
G
F
côté de l’angle
droit
sommet de
l’angle droit
pied de
la hauteur
hauteur relative au côté
[GD]du triangle GDF
Remarque (hauteur dans un triangle ayant un angle obtus)
A
C
B
¬
Tracer la hauteur issue
du sommet Bdu triangle ABC
A
C
B
012345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
On prolonge le côté [AC]
(le côté opposé au sommet B)
A
C
B
®
0123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18
On trace la perpendiculaire à la
droite (AC)passant par B
A
C
B
¯
On prolonge la droite et on code
l’angle droit
hauteur pied de la
hauteur
Le triangle ABC possède un angle obtus (l’angle
’
ACB).
Dans ce cas, la hauteur issue du sommet Bdu triangle ABC se
situe entièrement à l’extérieur de ce triangle.
Le pied de cette hauteur est aussi situé à l’extérieur de ce triangle.
La hauteur issue du sommet Ase situe aussi à l’extérieur du tri-
angle ABC.

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Remarque
Suivant le contexte, l’expression «hauteur d’un triangle »peut d´esigner :
+une droite ;
+ou un segment ;
+ou la longueur d’un segment.
Sur les figures ci-dessous, la hauteur issue du sommet Kdu triangle IJ K est :
+la droite (KH)
I J
K
H
+le segment [KH]
I J
K
H
+de 3cm
3cm
I J
K
H
3) M´edianes d’un triangle
D´efinition
Dans un triangle, une m´ediane est une droite qui passe
par un sommet et par le milieu du cˆot´e oppos´e `a ce
sommet.
Exemple et d´efinition
Sur la figure ci-contre :
La droite (d) est :
+la m´ediane issue du sommet Cdu triangle
ABC ;
+ou la m´ediane relative au cˆot´e [AB] du triangle
ABC.
médiane
(d)
A
B
C
Remarque
Suivant le contexte, l’expression «m´ediane d’un triangle »peut d´esigner :
+une droite ;
+ou un segment ;
+ou la longueur d’un segment.
Sur les figures ci-dessous, la m´ediane issue du sommet Tdu triangle T RS est :
+la droite (T M)
R S
T
M
+le segment [T M]
R S
T
M
+de 3cm
3cm
R S
T
M