Calcul manuel, calcul instrumente

Retrouver ce document sur le portail national mathématiques (Éduscol) : http://eduscol.education.fr/maths/
Synthèse des travaux 2011-2013
Quel équilibre entre résolution de problèmes et
apprentissage technique ?
Comment articuler efficacement les apprentissages techniques, qui sont nécessaires, et la résolution
de problèmes, travail central en mathématiques ?
Des problèmes pour donner du sens
« Le problème ouvert s’impose pour donner du sens ou donner à comprendre l’intérêt d’une
stratégie calculatoire nouvelle, ou d’une stratégie que l’on a déjà rencontrée mais que tous ne se
sont peut-être pas encore appropriés. » (Académie de Nantes)
« L'activité "Simplifier Mais
Comment ? " s'inscrit dans
une démarche de
construction de sens :
introduire en troisième la
simplification de calculs avec
des radicaux par la nécessité
(pour valider plusieurs
démarches) et non par la
règle que l'on doit appliquer.
Cette étape nous paraît
indispensable à mener avant ou pendant la mise en place des techniques manuelles, puis
instrumentées. » (Rennes)
Donner du sens aux calculs sur les racines carrées en troisième (académie de Rennes) : voir l'activité
complète

Retrouver ce document sur le portail national mathématiques (Éduscol) : http://eduscol.education.fr/maths/
L'activité « Publicité » permet de travailler les erreurs récurrentes liées aux calculs de pourcentages
(cumul de pourcentages,...) au travers de l'étude d'une publicité.
Voir l'activité « Publicité » (académie de Toulouse)
Un autre exemple (académie de Lille) : « Existe-t-il un nombre x tel que l’on
puisse construire le triangle rectangle vérifiant les conditions indiquées ci-
contre ? »
Problème que l’on peut transformer, au moment de la correction, en : « L’aire
d’un carré de côté x+4 est-elle égale à la somme des aires de deux carrés de
côtés respectifs x et 4 ? » (d’après le document Ressource pour la classe de
seconde)

Retrouver ce document sur le portail national mathématiques (Éduscol) : http://eduscol.education.fr/maths/
Des stratégies diversifiées : vers une méthode « experte » ?
La confrontation des stratégies proposées par les élèves (expertes ou moins expertes) lors de la
résolution d’un problème peut mettre en évidence que des procédures « expertes » se sont
révélées plus efficaces que d’autres procédures.
« De combien faut-il augmenter le côté du carré
ABCD pour qu’il ait le même périmètre que le
triangle BCE ? »
La calculatrice et le tableur vont permettre
d'approcher la solution. L'utilisation de
formules utilisant des références de cellules du
tableur doit faciliter l'écriture d'une équation,
entre autres parce que le rôle de l'inconnue est
joué par une des cellules. Par contre, le tableur ne sera d'aucun secours pour résoudre l'équation.
L'activité motive donc l'introduction d'une méthode « experte » de résolution, puisqu'elle conduit à
des solutions non décimales.
Voir l'activité complète, avec des traces de travaux d’élèves, et des indications sur les exercices
techniques et types de problèmes qui ont suivi cette activité.
La résolution de problèmes met évidemment en œuvre des compétences techniques, qu’il convient à
un moment ou un autre, de mettre en place ou consolider.
Comment organiser la progressivité et la solidité des acquisitions des
compétences techniques au cours de l’année ?
Des apprentissages spiralés
On trouvera notamment sur le document de synthèse de l’académie de La Réunion (pdf - 7,1 Mo) :
 la progression qui a permis de mettre en place progressivement les compétences techniques
nécessaires aux tâches complexes proposées aux élèves et les réinvestissements qui ont été
effectués des compétences mises en évidence à l’issue de chacune de ces tâches complexes ;
 des exemples (fractions et notion de quotient en cinquième, calcul littéral en quatrième, en
troisième et en seconde) de « progression spiralée (à petites touches) liée aux capacités de
calcul afin qu’elles deviennent des automatismes que l’élève devra mobiliser lors de la tâche
complexe. » « On peut entretenir les savoir-faire très régulièrement afin qu’ils deviennent
des automatismes par le biais d’apprentissages parallèles, en fil rouge. » (p. 12 à 14 ; 137 à
143). Le document « Une année de calcul littéral en troisième » présente une progression
spiralée (constituée de thèmes centraux et d'apprentissages parallèles).

Retrouver ce document sur le portail national mathématiques (Éduscol) : http://eduscol.education.fr/maths/
Privilégier les stratégies qui donnent sens
« Pour être efficace, limiter le plus possible le nombre de règles données et éviter de donner des
règles a priori, car une règle n’est pas le moyen de comprendre plus vite. C’est plutôt le moyen
d’aller plus vite… une fois que l’on a compris. » (Académie de Nantes)
Il est parfois préférable de privilégier les stratégies qui donnent sens plutôt que des règles qui font
ensuite uniquement appel à la mémorisation :
Quelques exemples :
 en seconde, retrouver le signe de ax+b en s’appuyant sur la connaissance du sens de
variation de la fonction affine plutôt que mémoriser le tableau de signes (Nantes) ;
 introduction de la dérivée à partir d'une approche qui lie très rapidement cette notion au
sens de variation, avant d'aborder l'aspect technique de calcul de nombre dérivé (document
de synthèse de l'académie de Nantes en 2013, pp. 25 à 27).
Faire résoudre des problèmes ouverts : oui, mais comment organiser la
gestion d’un tel travail ?
L'annexe II du document de synthèse de l'académie de La Réunion en 2012 (pdf - 7,1 Mo) détaille les
différentes phases de mise en œuvre dans une classe de collège.
Calcul manuel, calcul instrumenté : quelle complémentarité ?
« Comment calcul manuel et calcul instrumenté se nourrissent l’un l’autre pour permettre une
meilleure acquisition des compétences de calcul, y compris de calcul manuel » (académie de
Toulouse)
L’usage du calcul instrumenté peut-il contribuer au renforcement des
capacités en calcul manuel ?
Utilisé comme outil de vérification, il permet aux élèves de prendre confiance dans leurs capacités de
calcul et de s'auto-évaluer (cet aspect est fortement développé dans un document de l'académie de
Lille sur le calcul littéral en troisième et seconde). Mais surtout, il peut contribuer à l’intelligence du
calcul (mise en évidence des règles de priorité, de la nature des nombres, des structures …)
« Les élèves devaient, dans un devoir à la maison, factoriser l’expression littérale E = 4x² - 121 +x(2x +
11). Ne voyant pas comment s’y prendre, un élève a utilisé un logiciel de calcul formel pour obtenir la
forme factorisée, puis a factorisé 4x² - 121 toujours avec le logiciel pour enfin comprendre qu’il
devait utiliser une identité remarquable, puis une factorisation avec facteur commun. Ici, le logiciel

Retrouver ce document sur le portail national mathématiques (Éduscol) : http://eduscol.education.fr/maths/
l’a aidé à mener son calcul et l’a certainement aidé à développer une intelligence de calcul pour des
exercices ultérieurs. (Académie de La Réunion)
Quelle place respective (voire évolutive) du calcul manuel et du calcul
instrumenté dans la résolution de problème ? Quels apports d’une
utilisation raisonnée du calcul instrumenté à la résolution de problèmes ?
Dans la plupart des activités proposées sur le thème du passage du numérique au littéral, on observe
une progressivité dans la mise en œuvre des différentes formes de calcul :
 le calcul manuel est mis en œuvre pour effectuer les premiers calculs simples (phase
d’appropriation du problème) ;
 puis, la calculatrice intervient dès que les calculs numériques deviennent un peu plus
compliqués ;
 le tableur est mobilisé ensuite pour les calculs répétitifs, qui aboutissent à une conjecture ;
l’écriture des formules sur le tableur permet également une première approche de
l’algébrisation du problème (exemple : Alice et Bertrand à La Réunion) ;
 puis, vient une phase de preuve, faisant intervenir le calcul algébrique manuel, avec parfois
une contribution du calcul formel pour vérifier les calculs ou les effectuer lorsqu’ils sont jugés
trop compliqués pour l’élève.
Certains problèmes, dans lesquels l’objectif essentiel est de se consacrer essentiellement à
l’ingénierie du calcul, font appel au tableur, par exemple dans des activités faisant intervenir suites
ou dénombrements (Nantes : empilement de boules, pyramide, marche aléatoire) ou à la
programmation
Comptons les points (Nantes)
Poinçonnage (Rennes) : modélisation d’une situation professionnelle (la
découpe d'un disque par une machine à commande numérique) et
réalisation d’un programme sur calculatrice calculant les paramètres à
rentrer dans la machine (un angle) suivant le diamètre de la pièce à
obtenir.
C’est également le cas dans certaines activités qui vont faire appel
essentiellement à un logiciel de calcul formel (Toulouse : choix de la
forme).
Le calcul instrumenté constitue également un outil d’aide à la différenciation dans la résolution de
problèmes, suivant le niveau d’expertise des élèves :