Filtrage de signaux parasites

Exercice à rendre le vendredi 22 janvier
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Filtrage de signaux parasites
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des
questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé.
Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider.
Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel et le nom des personnes avec qui
vous avez travaillé doit être indiqué au début de votre copie. Les groupes doivent être raisonnables : pas plus de
trois personnes. Je rappelle aussi qu’un travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d’une personne
recopié plusieurs fois.
Lors d’une acquisition numérique en TP, il peut arriver qu’un signal parasite de fréquence fp = 50 Hz vienne
s’ajouter au signal expérimental. Ce signal parasite est dû au fait que la tension fournie par le réseau EDF est justement harmonique à cette fréquence. Par effet d’antenne, les fils d’alimentation rayonnent une onde électromagnétique
de cette fréquence, qui peut être captée par les fils du système d’acquisition. Dans certains cas, ce signal parasite est
gênant et il est nécessaire de le filtrer.
Vous réfléchirez au choix à la partie A (facile) ou à la partie B (moins facile) pour établir une
fonction de transfert. Les deux filtres sont différents mais conduisent à la même fonction de transfert,
dont l’effet est étudié dans la partie C que tout le monde devra donc traiter.
A - Filtré basé sur un circuit RLC
R
C
e
s
L
filtre
Une solution simple consiste à placer le filtre RLC entre la sortie de l’appareil de
mesure, qui définit la tension d’entrée du filtre e, et l’entrée de la carte d’acquisition,
où se trouve le tension de sortie du filtre s. On suppose que la carte d’acquisition a
une impédance d’entrée infinie : tout se passe comme si le filtre était utilisé en sortie
ouverte, aucun courant ne sort du filtre
A.1 - En raisonnant par équivalence de dipôle, montrer que les signaux haute fréquence et basse fréquence sont transmis par le filtre. En fait, ce filtre a pour effet de
couper une fréquence intermédiaire : il s’agit d’un filtre coupe-bande.
A.2 - Déterminer la fonction de tranfert du filtre. La mettre sous la forme
H(x) =
1 − x2
1 − x2 + j
x
Q
où x = ω/ω0 et Q est le facteur de qualité du circuit.
A.3 - Confirmer que ce filtre est un coupe-bande en montrant qu’il existe une valeur xc telle que l’amplitude du
signal de sortie est nulle.
A.4 - On souhaite réaliser un filtre de fréquence coupée 50 Hz et de facteur de qualité 1/4 en utilisant une résistance
de 1 kW. Déterminer numériquement les valeurs de la capacité et de l’inductance qui conviennent.
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Étienne Thibierge, 13 janvier 2016, www.etienne-thibierge.fr
Exercice à rendre le vendredi 22 janvier : Filtrage de signaux parasites
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
B - Filtre en double T
B.1 - Question préliminaire : théorème de Millman. La loi des nœuds en termes de potentiel et le théorème
de Millman qui en découle consistent à réécrire la loi des nœuds d’une façon permettant de calculer simplement des
tensions. Ils constituent une méthode de résolution très efficace (mais hors du programme) lorsque les circuits ne
présentent pas d’association de dipôle ni de pont diviseur.
Considérons un nœud central auquel sont connectés N dipôles dont les admittances complexes sont notées Yn
et K branches parcourues par un courant Ik . On note V0 le potentiel électrique du nœud central O et Vn ceux des
nœuds externes An , comme représenté sur le schéma ci-dessous.
B.1.a - Monter que la loi des nœuds s’écrit en termes des potentiels
N
X
Yn (Vn − V0 ) +
n=1
K
X
Ik = 0 .
k=0
B.1.b - En déduire le théorème de Millman
V0 =
PN
n=1
PK
Yn Vn + k=1 Ik
.
PN
n=1 Yn
En appliquant le théorème de Millman à quelques nœuds bien choisis, on peut ainsi s’affranchir de fastidieux calculs
de loi des mailles ... la contrepartie étant de fréquentes erreurs, souvent dues à des confusions entre potentiel et
tension.
IK
I2
R/2
I1
O
C
R
AN
A
B
C
R
e
A1
s
2C
A2
Schéma pour la démonstration du théorème de Millman.
Filtre en double T.
On propose de réaliser le filtrage à l’aide du pont en double T représenté ci-dessus, placé entre la sortie de l’appareil
de mesure, qui définit la tension d’entrée du filtre e, et l’entrée de la carte d’acquisition, où se trouve le tension de
sortie du filtre s. Les deux tensions sont mesurées par rapport à la masse. On suppose que la carte d’acquisition a
une impédance d’entrée infinie : tout se passe comme si le filtre était utilisé en sortie ouverte, aucun courant ne sort
du filtre.
B.2 - En raisonnant par équivalence de dipôle, montrer que les signaux haute fréquence et basse fréquence sont
transmis par le filtre. En fait, ce filtre a pour effet de couper une fréquence intermédiaire : il s’agit d’un filtre
coupe-bande.
B.3 - Appliquer le théorème de Millman aux nœuds A, B et au nœud de sortie du filtre. Rappel : la masse impose
par convention un potentiel nul.
B.4 - En déduire la fonction de tranfert du filtre. La mettre sous la forme
H(x) =
1 − x2
1 − x2 + j
x
Q
où x = ω/ωc et Q est le facteur de qualité du circuit, les deux paramètres étant à déterminer.
B.5 - Confirmer que ce filtre est un coupe-bande en montrant qu’il existe une valeur xc telle que l’amplitude du
signal de sortie est nulle.
B.6 - On souhaite réaliser un filtre de fréquence coupée 50 Hz en utilisant une résistance de 1 kW. Déterminer
numériquement la valeur de la capacité qui convient.
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Étienne Thibierge, 13 janvier 2016, www.etienne-thibierge.fr
Exercice à rendre le vendredi 22 janvier : Filtrage de signaux parasites
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
C - Effet du filtre sur un signal expérimental
Les deux filtres étudiés dans les parties précédentes ont la même fonction de transfert. Leur diagramme de Bode
est représenté ci-dessous.
1
−10
ϕ (rad)
GdB (dB)
0
−20
−30
−1
−40
10−2 10−1 100
0
101 102
f (Hz)
103
104
10−2 10−1 100
101 102
f (Hz)
103
104
C.1 - Montrer que le diagramme de Bode donné est cohérent avec la fonction de transfert en démontrant que les
asymptotes très basse fréquence et très haute fréquence correspondent. N’oubliez pas d’analyser aussi la courbe de
phase.
C.2 - Imaginons que le signal expérimental en entrée du filtre soit un signal harmonique e(t) = E0 cos(ωt) de
fréquence f = ω/2π = 1 Hz, auquel se superpose le bruit parasite à 50 Hz. Comment est-il atténué et déphasé par le
filtre ? Donner l’expression du signal de sortie.
C.3 - Même question si la fréquence du signal vaut 100 Hz.
C.4 - Pour des raisons pratiques, il ne faut pas que l’amplitude du signal expérimental que l’on cherche à acquérir
soit divisée par plus que 3 lors du passage dans le filtre. Quelle est la gamme de fréquence pour laquelle ce filtre peut
être utilisé ? Quel paramètre faut-il chercher à modifier pour rendre le filtre utilisable pour une plus large gamme de
fréquence ?
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Étienne Thibierge, 13 janvier 2016, www.etienne-thibierge.fr