Exemple

Logique et démonstration automatique – H. KANOUI 1
Ecole Supérieure d’Ingénieurs de Luminy
Département Informatique
LOGIQUE FORMELLE
ET
DEMONSTRATION AUTOMATIQUE
Notes de cours
Henry KANOUI
Octobre 2006

Logique et démonstration automatique – H. KANOUI 2
INTRODUCTION
1) décrire les structures du raisonnement déductif : démonstrations rigoureuses, mécanisation
des preuves
2) syntaxe : langage de symboles sans référence au contenu.
définit les énoncés bien formés ou suites de symboles bien agencés ou formules
ex : une grammaire du français définit les phrases correctes
mais qui peuvent ne pas avoir de sens
règles d’inférence qui permettent de déduire de nouvelles formules par un procédé
« mécanique » toujours sans faire référence au sens.
C’est ce qu’on appelle un système formel
3) sémantique : donner un sens aux symboles et par suite aux formules
Une interprétation définit un monde possible dans lequel les formules sont vraies ou fausses
4) lien syntaxe - sémantique
Partant d’un ensemble de formules E, d’une formule f et d’une interprétation I telles que :
- la formule f se déduit de l’ensemble des formules de E
- les formules de E sont toutes vraies par l’interprétation I
Questions :
- est-ce que la formule f est vraie (resp. fausse) dans l’interprétation I ?
- est-ce que la formule f est à la fois vraie et fausse dans l’interprétation I ?

Logique et démonstration automatique – H. KANOUI 3
PLAN DU COURS
Horaires : 20 heures de cours et TD
Bibliographie
- Outils Logiques pour l’Intelligence Artificielle – JP Delahaye – Eyrolles (1986)
- First-Order Logic and Automated Theorem Proving – M. Fitting – Springer (1996)
- Introduction to mathematical logic – E. Mendelson – 4
ème
ed. – Chapman & Hall (1996)
- Gödel, Escher, Bach: les brins d’une guirlande éternelle – D. Hofstadter – InterEditions (1985)
1. Systèmes formels
• Définitions
• Propriétés
• Exemples
2. Calcul propositionnel
• Syntaxe
• Sémantique : notion
d’interprétation et de modèle
• Modèle de Herbrand
• Propriétés et principaux résultats
3. Calcul des prédicats
• Syntaxe
• Substitutions, unification
• Sémantique : interprétations et modèles
• Propriétés et principaux résultats
4. Eléments de démonstration automatique
• Tableaux sémantiques
• Résolution sans variables
• Résolution avec variables
• Stratégies : définitions et propriétés

Logique et démonstration automatique – H. KANOUI 4
SYSTEMES FORMELS
Définition : S = < Σ , F, A , R >
 Σ : alphabet au moins dénombrable
 F ⊂ Σ* : formules bien formées (récursif )
 A ⊂ F : axiomes (récursif)
 R : règles d’inférences : f
1
, f
2
,…, f
n
|-
r
g
Déduction dans un S.F.
Une déduction à partir de h
1
, h
2
,…, h
n
(hypothèses) est une suite finie f
1
, …, f
p
telle que ∀ i :
 f
i
est un axiome
 ou f
i
∈ { h
1
, h
2
,…, h
n
}
 ou il existe f
i0
, f
i1
,…, f
ik
placés avant f
i
et une règle r tels que f
i0
, f
i1
,…, f
ik
|-
r
f
i
On écrit alors : h
1
, h
2
,…, h
n
|-
S
f
p

Logique et démonstration automatique – H. KANOUI 5
Théorème d’un S.F.
t est un théorème de S ssi |-
S
t On écrit : t ∈ T
S
Remarque
 Les manipulations sont purement syntaxiques comme dans tout S.F.
 Même si une interprétation s’impose à l’esprit, tout ce que l’on pense être vrai n’est pas
forcément un théorème
 Il se peut qu’il n’y ait aucune adéquation entre le formalisme, les règles d’inférence et la
vérité
 Par exemple 1+1+1 = 111 ∉ T
S
car 1+1+1 = 111 ∉ F