Modèle mathématique.

3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G4 – cahier élève
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Ch.G4 : Angles et polygones
1 ANGLE INSCRIT
ex. 1 et 2
DÉFINITIONS 1
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le
cercle en des points distincts du sommet.
La portion de cercle comprise entre les deux côtés de l'angle s'appelle l'arc de cercle intercepté.
Exemple 1 :
E
Donne le nom des arcs de cercle interceptés par les angles inscrits dans le cercle
ci-contre.
R
Solution :
L'angle inscrit REO intercepte le petit arc de cercle RO.
O
L'angle inscrit SEC intercepte le petit arc de cercle SC.
C
S
L'angle inscrit SAC intercepte le grand arc de cercle SC.
A
Exemple 2 :
U
Les angles UNE ; AVE et ANS sont-ils des angles inscrits dans le cercle ( ) ?
Si oui, donne le nom de l'arc intercepté.
Solution :

N
Le sommet de l'angle UNE appartient au cercle et ses côtés recoupent le cercle en U

V
A
et E : l'angle UNE est un angle inscrit dans le cercle ( ). Il intercepte l'arc UE.
S
E
Le sommet de l'angle AVE n'est pas un point du cercle : l'angle AVE n'est pas un angle inscrit dans le
cercle ( ).

Le côté [NS) de l'angle ANS ne coupe le cercle qu'en N : l'angle ANS n'est pas un angle inscrit dans le
cercle ( ).
Exercice n°1 page 241
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre O. Les points B, O,
G
A
D et H sont alignés.
Les angles cités ci-après sont-ils des angles inscrits dans le cercle ( ) ?
Justifie chaque réponse.
a) BOA
c) AGD
e) GFE
b) ECG
d) BCH
f)
O
B
D
H
F
BEA
E
C
Rappel de la définition :
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle
en des points distincts du sommet.
O
( )
C
ECG
G
EG
G
AD
E
[CE)
ECG
[CG)
E
( )
AGD
F
( )
( )
( )
[CH)
BA
BOA
[GA)
[GD)
A
D
( )
( )
BCH
( )
( )
GFE
( )
( )
BEA
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
[EB)
[EA)
B
A
( )
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Exercice n°3 page 241
E
Reproduis la figure ci-contre. Trace et cite tous les angles inscrits interceptant l'arc vert RC
RC et tous les angles inscrits qui interceptent l'arc rouge SF .
R
C
N
A
F
S
RNC ROC RFC RSC
RAC
( )
O
RC
Remarque : l'angle REC n'intercepte pas l'arc vert RC, car cet arc n'est pas entre les deux côtés de l'angle. L'angle REC
intercepte le grand arc RC, tout ce qui n'est pas vert.
SAF SRF SEF SCF SNF
SOF
( )
SF
PROPRIÉTÉ 1
Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et s'ils interceptent le même arc alors ils ont la même
mesure.
Exemple 3 :
O
Sur la figure ci-contre, l'angle OTE mesure 67°.
Détermine la mesure de l'angle OLE.
Solution :
L
Les angles OTE et OLE sont inscrits dans le cercle ( ).
E
Ils interceptent tous les deux l'arc OE. Donc ils ont la même mesure.
T
L'angle OTE mesure 67°, donc l'angle OLE mesure 67°.
Exercice du cours n°1 page 240
S
Sur la figure ci-contre, les angles ASO et ATO ont-ils la même mesure ?
T
( )
A
O
ASO
ATO
AO
Exercice du cours n°2 page 240
Sur la figure ci-contre, les angles LAS et LES ont-ils la même mesure ?
L
A
S
E
LAS
LES
LAS
A
LES
E
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E
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Exercice n°5 page 241
La figure ci-contre représente un cercle ( ).
H
Détermine la mesure de l'angle LAO . Justifie ta réponse.
27
O
°
L
A
Rappel de la propriété :
Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et s'ils interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.
LAO
LHO
( )
LHO = 27°
LAO = 27°
Exercice n°8 page 242
Sur la figure ci-contre, les droites (NC) et (AE) se coupent en I, point
d'intersection des cercles (
1
) et (
2
E
).
Explique pourquoi NSE = ARC .
N
S
(
2
)
I
(
R
1
)
C
A
NSE
NIE
NIE
AIC
(
(NC)
AIC
2
)
NE
(AE)
ARC
I
(
1
)
AC
NSE = ARC
Exercice n°9 page 242
Sur la figure ci-contre, les droites (NR) et (AE) sont parallèles.
Les cercles (
1
) et (
2
N
) se coupent en R et A.
(
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle NCA .
1
)
A
C
°
40
R
(
RSE
RAE
RAE
NRA
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(
2
)
2
)
S
E
EC
(RA)
(NR)
(AE)
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(NR)
NRA
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(AE)
NCA
(
1
)
NA
RSE = NCA
RSE = 40°
NCA = 40°
2 ANGLE AU CENTRE
ex. 3
DÉFINITIONS 2
Un angle au centre du cercle ( ) est un angle dont le sommet est le centre du cercle ( ).
La portion de cercle comprise entre les deux côtés de l'angle s'appelle l'arc de cercle intercepté.
Exemple 4 :
Sur la figure ci-contre, I est le centre du cercle.
E
Quel est l'angle au centre associé à l'angle inscrit MER ?
Solution :
R
L'angle au centre associé à l'angle inscrit MER est l'angle MIR .
Ces deux angles interceptent le même arc.
I
M
PROPRIÉTÉ 2
Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre (son sommet est le centre du cercle) interceptent le
même arc de cercle, alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit.
Exemple 5 :
I
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre O.
L'angle CIL mesure 76°. Détermine la mesure de l'angle COL.
Solution :
O
Dans le cercle ( ), l'angle inscrit CIL et l'angle au centre COL interceptent le même arc CL.
L
C
Donc l'angle au centre COL mesure le double de l'angle inscrit CIL.
COL = 2 × CIL = 2 × 76° = 152°.
L'angle au centre COL mesure 152°.
Exercice du cours n°3 page 240
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre D.
L'angle ODE mesure 122°.
Détermine la mesure de l'angle OLE .
OLE
ODE
OLE =
O
E
D
L
ODE
OE
OLE
ODE 122°
=
= 61°
2
2
OLE
61°
Exercice n°2 page 241
M
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre C.
Les angles cités ci-après sont-ils des angles au centre dans ce cercle ?
a) SMZ
c) MCH
e) ZHS
b) ZCS
d) SUC
f) HCU
H
C
S
Z
U
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Rappel de la définition :
Un angle au centre dans un cercle est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
M
( )
SMZ
C
( )
ZCS
C
( )
MCH
( )
( )
( )
U
( )
SUC
( )
H
( )
ZHS
( )
C
( )
HCU
( )
Exercice n°6 page 241
La figure ci-contre représente un cercle de centre I.
E
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle MIR .
78°
R
I
M
Rappel de la propriété :
Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre de ce même cercle interceptent le même arc de cercle, alors
l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit.
MIR
( ) MER
MR
MIR
MER = 78°
MER
MIR = 2 × 78° = 156°
Exercice n°7 page 242
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre S.
E
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle NOA .
46 °
O
N
S
C
A
CSA
( ) CEA
CA
CSA
CEA
CEA = 46°
CSA = 2 × 46° = 92°
C S
N
CSA
NSA
NSA = 180° – CSA = 180° – 92° = 88°
NSA
( ) NOA
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NOA
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NSA
NSA 88°
=
= 44°
2
2
Exercice n°10 page 242
Sur la figure ci-contre, les droites (EB) et (CN) se coupent en R, point
d'intersection des cercles ( 1) et ( 2). Le point O est le centre du
NOA =
cercle (
1
N
(
)
1
).
Calcule la mesure de l'angle NOB .
Justifie ta démarche.
E
O
R
B
62°
C

ERC
EAC
(
2
(
2
A
)
)
EC
ERC = EAC = 62°

ERC


NRB
ERC = EAC
ERC = NRB
ERC = NRB
NRB
(
NB
1
NRB = EAC = 62°
)
O
NOB
NOB = 2 NRB = 2 × 62° = 124°
3 POLYGONES RÉGULIERS
ex. 4 et 5
DÉFINITION 3
Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure.
Exemple 6 :
B
Quelle est la mesure des angles d'un hexagone régulier ?
C
Solution :
ABCDEF est un hexagone de centre O inscrit dans le cercle ( ) de centre O. Tous
ses côtés sont donc égaux au rayon du cercle.
Les triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEF et OFA sont équilatéraux donc leurs
angles sont tous égaux à 60°. On en déduit donc que tous les angles d'un
hexagone sont égaux à 60°  2 = 120°.
( )
A
O
D
120°
F
E
DÉFINITION 3
Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle. Tous les angles au centre déterminés par deux
sommets consécutifs du polygone ont la même mesure.
Exemple 7 :
Construis un cercle de centre O. Inscris un pentagone ABCDE dans ce cercle.
Solution :
Un pentagone a cinq côtés. Les angles au centre déterminés par deux sommets consécutifs du polygone sont
tous égaux à 72° (360° : 5 = 72°).
B
C
A
O
D
E
On construit le cercle et l'un de ses
rayons [OA] et un autre rayon
[OB] tel que AOB = 72°.
On trace un autre rayon [OC] tel
que BOC = 72°.
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Ainsi de suite jusqu'à obtenir le
pentagone ABCDE.
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Exercice du cours n°4 page 240
Quel est le nom du triangle et du quadrilatère régulier ?


Exercice du cours n°5 page 240
Trace un cercle de centre O et de rayon 4 cm. Inscris-y un triangle équilatéral.
B
120°
360° : 3 = 120°
@options;
repereortho(310,270,30,1,1){ 0 ,
moyen , noir , num1 ,i};
120°
@figure;
O = point( -0.6 , 0.6 ) { noir };
A = point( 1.8 , 0.6 ) { noir };
ceOA = cercle( O , A ) { noir };
sOA = segment( O , A ) { noir };
dOA = droite( O , A ) { i };
rOdOA = droiteangle( O , dOA ,
120 ) { i };
B = intersection( rOdOA , ceOA ,
1 ) { noir };
rOdOA1 = droiteangle( O ,
dOA , 240 ) { i };
C = intersection( rOdOA1 ,
ceOA , 1 ) { noir };
sAB = segment( A , B )
{ rouge };
sBC = segment( B , C )
{ rouge };
sCA = segment( C , A )
{ rouge };
sOB = segment( O , B ) { noir };
sOC = segment( O , C ) { noir };
texte1 = texte( -0.6 , 1.4 ,"120°")
{ noir , dec2 };
texte11 = texte( -1.8 ,
0.9 ,"120°") { noir , dec2 };
[OA]
[OB]
[OC]
120°
A
O
AOB = 120°
BOC = 120°
A
C
C
ABC
Exercice n°12 page 242
Les polygones ci-dessous sont-ils réguliers ? Justifie tes réponses.
a)
b)
c)
d)
Rappel de la définition :
Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure.
a
b
b
c
d
d
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Exercice n°14 page 243 À partir d'un hexagone
HEXAGO est un hexagone régulier inscrit dans un cercle ( ) de centre C.
G
A
a) Quelle est la mesure de l'angle HCE ? Justifie ta réponse.
( )
O
C
X
H
E
Rappel de la propriété :
Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle. Tous les angles au centre déterminés par deux sommets
consécutifs du polygone ont la même mesure.
HEXAGO
( )
HCE = 360° : 6 = 60°
b) Détermine la mesure de l'angle HEC . Justifie.
HC = EC
HCE
C
HCE = 60°
HCE
c) Déduis-en la nature du triangle HCE.
HEC = 60°
HCE
d) Cela justifie une méthode de construction de l'hexagone déjà vue, laquelle ?
e) Exprime le périmètre de l'hexagone régulier en fonction du rayon r du cercle.
P(hexagone régulier) = 6r
Exercice n°17 page 243
PENTA est un pentagone régulier de centre O tel que OA = 4 cm.
a) Calcule la mesure de l'angle POE.
PENTA
O
O
POE = 360° : 5 = 72°
b) Utilise cette mesure pour construire le pentagone à l'aide du rapporteur.
b) Remarque : Il existe des constructions qui n'utilisent que la règle et le compas : voir dans les compléments
c) Quelle est la nature du triangle POE ?
P
E
PENTA
PO = EO
POE
O
O
POE ≠ 60°
POE
d) Place O' le milieu du côté [PE]. Déduis-en la nature du triangle POO'.
PO = EO
O
O'
[PE]
[PE]
O'
(OO' )
[PE]
[PE]
(OO' )
POO'
(PE)
PO' O
O'
e) Détermine la mesure de chacun des angles du triangle POO'.
PO' O = 90°
(OO' )
POO' = EOO'
[PE]
(OO' )
POE = 72°
P
E
(OO' )
POE
POO' = 72° : 2 = 36°
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POO'
O'
POO'
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OPO'
OPO' = 90° – POO' = 90° – 36° = 54°
f) Calcule la longueur PO' et déduis-en la longueur PE. Tu donneras pour chacune la valeur exacte puis la valeur
arrondie au centième.
POO'
O'
PO = 4 cm
PO' = PO × sin(POO')
POO' = 36°
PO' = 4 × sin(36°) cm
PO'  2,35 cm
O'
[PE] PE = 2 × PO'
PE = 8 × sin(36°) cm
PE  4,70 cm
g) Détermine le périmètre du pentagone. Tu donneras la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
PENTA
PE
P(PENTA) = 5 × PE = 40 × sin(36°) cm
P(PENTA)  23,51 cm
h) Détermine la longueur OO'. Déduis-en l'aire du triangle POE puis l'aire du pentagone. Tu donneras pour chacune la
valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
POO'
O'
OO' = PO × sin(OPO')
OO' = 4 × sin(54°) cm
OO'  3,2 cm
POE
A(POE) = OO' × PE : 2
A(POE) = 4 × sin(54°) × 8 × sin(36°) : 2 cm2
A(POE) = 16 × sin(54°) × sin(36°) cm2
A(POE)  7,6 cm2
PENTA
A(PENTA) = 5 × A(POE)
POE
A(PENTA) = 5 × 16 × sin(54°) × sin(36°) cm2
A(PENTA) = 80 × sin(54°) × sin(36°) cm2
A(PENTA)  38,0 cm2
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