Modèle mathématique.

3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G4 – cahier élève Page 1 sur 9
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/
Ch.G4 : Angles et polygones
1 ANGLE INSCRIT ex. 1 et 2
DÉFINITIONS 1
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le
cercle en des points distincts du sommet.
La portion de cercle comprise entre les deux côtés de l'angle s'appelle l'arc de cercle intercepté.
Exemple 1 :
Donne le nom des arcs de cercle interceptés par les angles inscrits dans le cercle
ci-contre.
Solution :
L'angle inscrit REO intercepte le petit arc de cercle
RO.
L'angle inscrit SEC intercepte le petit arc de cercle
SC.
L'angle inscrit SAC intercepte le grand arc de cercle
SC.
R
OSA
C
E
Exemple 2 :
Les angles UNE ; AVE et ANS sont-ils des angles inscrits dans le cercle ( ) ?
Si oui, donne le nom de l'arc intercepté.
Solution :
 Le sommet de l'angle UNE appartient au cercle et ses côtés recoupent le cercle en U
et E : l'angle UNE est un angle inscrit dans le cercle ( ). Il intercepte l'arc
UE.
A
N
E
U
S
V
A
N
E
U
S
V
 Le sommet de l'angle AVE n'est pas un point du cercle : l'angle AVE n'est pas un angle inscrit dans le
cercle ( ).
 Le côté [NS) de l'angle ANS ne coupe le cercle qu'en N : l'angle ANS n'est pas un angle inscrit dans le
cercle ( ).
Exercice n°1 page 241
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre O. Les points B, O,
D et H sont alignés.
Les angles cités ci-après sont-ils des angles inscrits dans le cercle ( ) ?
Justifie chaque réponse.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
a) BOA
b) ECG
c) AGD
d) BCH
e) GFE
f) BEA
Rappel de la définition :
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle
en des points distincts du sommet.
O ( ) BOA ( )
C ECG ( ) [CE) [CG) E
G EG ECG ( )
G ( ) [GA) [GD) A D
AD AGD ( )
[CH) ( ) BCH ( )
F ( ) GFE ( )
E ( ) [EB) [EA) B A
BA BEA ( )

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Exercice n°3 page 241
Reproduis la figure ci-contre. Trace et cite tous les angles inscrits interceptant l'arc vert
RC
RC et tous les angles inscrits qui interceptent l'arc rouge
SF.
FO
N
C
E
A
S
R
RNC ROC RFC RSC RAC ( ) RC
Remarque : l'angle REC n'intercepte pas l'arc vert RC , car cet arc n'est pas entre les deux côtés de l'angle. L'angle REC
intercepte le grand arc RC , tout ce qui n'est pas vert.
SAF SRF SEF SCF SNF SOF ( ) SF
PROPRIÉTÉ 1
Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et s'ils interceptent le même arc alors ils ont la même
mesure.
Exemple 3 :
Sur la figure ci-contre, l'angle OTE mesure 67°.
Détermine la mesure de l'angle OLE.
Solution :
Les angles OTE et OLE sont inscrits dans le cercle ( ).
Ils interceptent tous les deux l'arc
OE. Donc ils ont la même mesure.
L'angle OTE mesure 67°, donc l'angle OLE mesure 67°.
L
O
E
T
Exercice du cours n°1 page 240
Sur la figure ci-contre, les angles ASO et ATO ont-ils la même mesure ?
A
T
S
O
( )
ASO ATO
AO
Exercice du cours n°2 page 240
Sur la figure ci-contre, les angles LAS et LES ont-ils la même mesure ?
A
L
S
E
LAS LES
LAS A E
LES E

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Exercice n°5 page 241
La figure ci-contre représente un cercle ( ).
Détermine la mesure de l'angle LAO. Justifie ta réponse.
HO
AL
27°
Rappel de la propriété :
Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et s'ils interceptent le même arc alors ils ont la même mesure.
LAO LHO ( )
LHO = 27° LAO = 27°
Exercice n°8 page 242
Sur la figure ci-contre, les droites (NC) et (AE) se coupent en I, point
d'intersection des cercles (1) et (2).
Explique pourquoi NSE = ARC.
A
RC
I
N
E
S
( 2)
( 1)
NSE NIE ( 2) NE
NIE AIC (NC) (AE) I
AIC ARC ( 1) AC
NSE = ARC
Exercice n°9 page 242
Sur la figure ci-contre, les droites (NR) et (AE) sont parallèles.
Les cercles (1) et (2) se coupent en R et A.
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle NCA.
C
A
N
RE
S
40°
( 2)
( 1)
RSE RAE ( 2) EC
RAE NRA (RA) (NR) (AE)

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(NR) (AE)
NRA NCA ( 1) NA
RSE = NCA
RSE = 40° NCA = 40°
2 ANGLE AU CENTRE ex. 3
DÉFINITIONS 2
Un angle au centre du cercle ( ) est un angle dont le sommet est le centre du cercle ( ).
La portion de cercle comprise entre les deux côtés de l'angle s'appelle l'arc de cercle intercepté.
Exemple 4 :
Sur la figure ci-contre, I est le centre du cercle.
Quel est l'angle au centre associé à l'angle inscrit MER ?
Solution :
L'angle au centre associé à l'angle inscrit MER est l'angle MIR.
Ces deux angles interceptent le même arc.
E
R
M
I
PROPRIÉTÉ 2
Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre (son sommet est le centre du cercle) interceptent le
même arc de cercle, alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit.
Exemple 5 :
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre O.
L'angle CIL mesure 76°. Détermine la mesure de l'angle COL.
Solution :
Dans le cercle ( ), l'angle inscrit CIL et l'angle au centre COL interceptent le même arc
CL.
Donc l'angle au centre COL mesure le double de l'angle inscrit CIL.
COL = 2 × CIL = 2 × 76° = 152°.
L'angle au centre COL mesure 152°.
I
L
O
C
Exercice du cours n°3 page 240
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre D.
L'angle ODE mesure 122°.
Détermine la mesure de l'angle OLE.
L
E
D
O
OLE ODE OE
ODE OLE
OLE = ODE
2 = 122° 2 = 61°
OLE 61°
Exercice n°2 page 241
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre C.
Les angles cités ci-après sont-ils des angles au centre dans ce cercle ?
M
H
U
S
Z
C
a) SMZ
b) ZCS
c) MCH
d) SUC
e) ZHS
f) HCU

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Rappel de la définition :
Un angle au centre dans un cercle est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
M ( ) SMZ ( )
C ( ) ZCS ( )
C ( ) MCH ( )
U ( ) SUC ( )
H ( ) ZHS ( )
C ( ) HCU ( )
Exercice n°6 page 241
La figure ci-contre représente un cercle de centre I.
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle MIR.
E
R
M
78°
I
Rappel de la propriété :
Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre de ce même cercle interceptent le même arc de cercle, alors
l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit.
MIR ( ) MER
MR MIR MER
MER = 78° MIR = 2 × 78° = 156°
Exercice n°7 page 242
La figure ci-contre représente un cercle ( ) de centre S.
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle NOA.
C
A
N
O
E
S
46°
CSA ( ) CEA
CA CSA CEA
CEA = 46°
CSA = 2 × 46° = 92°
C S N CSA NSA
NSA = 180° – CSA = 180° – 92° = 88°
NSA ( ) NOA