DS 8 année 2015-2016

DS Physique n°8 PCSI 2015 – 2016
Conseils :
• Ce devoir comporte 4 problèmes indépendants.
• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré-
daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale
simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé, vérifiez l’homogénéité et la
cohérence (tout résultat non homogène sera sanctionné).
Les résultats non encadrés ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correc-
teur.
• Rédigez les problèmes sur des copies différentes.
•Numérotez vos copies doubles : 1/4, 2/4 .... (si 4 copies). N’oubliez pas de mettre votre
Nom sur chacune des copies.
• L’usage des calculatrices est autorisé.
I. VITESSE DE LIBÉRATION D’UN VAISSEAU SPATIAL
Un vaisseau spatial de masse mest initialement sur une orbite circulaire de rayon r0décrite à
la vitesse v0, autour d’une planète de masse Met de rayon R.
1. (a) Déterminer la vitesse v0en fonction de G,Met r0.Q1
(b) On allume le moteur pendant un temps court, de sorte que la vitesse varie mais pas
la distance au centre de l’astre. Évaluer la nouvelle vitesse v1du vaisseau pour qu’il
échappe au champ gravitationnel de l’astre en fonction de v0.Q2
Le commandant de bord dispose en fait d’un « budget de vitesse » égal à 4v0: cela signifie
que la quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en
une ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations de vitesses
n’excède pas 4v0. Il dispose de deux options.
2. Option 1 : le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse
initiale à 5v0. Évaluer sa vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de v0.Q3
3. Option 2 : on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de v0àv0
2en un temps
très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction.
(a) Montrer que la nouvelle trajectoire est un état lié.Q4
(b) On admet que cette trajectoire est une ellipse. Déterminer le demi-grand axe a. MontrerQ5
que les distances rAdu centre Oà l’apogée et rPdu centre Oau périgée sont : rA=r0et
rP=1
7r0.
(c) Déterminer les normes des vitesses vAet vP, respectivement à l’apogée et au périgée enQ6
fonction de v0.
(d) Quelle condition doit vérifier rPpour que le vaisseau ne s’écrase pas ?Q7
(e) En déduire qu’on n’aura pas écrasement du vaisseau sur l’astre si vA> v2=v0q2R
R+r0.Q8
4. On utilise ensuite le reste du « budget vitesse » au passage au périgée pour augmenter au
maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminerQ9
la nouvelle vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de v0.
5. Comparer les deux options, et commenter.Q10
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II. OUVERTURE D’UN CLAPET DE SÉCUTRITÉ
x
z
y
P0
b
h
O
a
P0
On considère un clapet de sécurité rectangulaire de largeur l(dans la direction ~uy) et de hauteur
aarticulé autour d’un axe fixe horizontal ∆ = (O, ~uy)où Oest un point situé à une hauteur bdu
fond. Le niveau du liquide, de masse volumique ρ, au dessus du fond du bassin est noté h. La
pression atmosphérique de l’air, noté P0, est supposé homogène.
1. Rappeler la relation fondamentale de la statique des fluides.Q11
2. En déduire le champ de pression, noté P(z)régnant dans le fluide en fonction de P0,ρ,gQ12
(l’intensité du champ de pesanteur), h,bet z. On prendra l’origine des altitudes en Oen
accord avec le schéma. Vérifier de façon explicite la valeur de la pression sur la surface libre
en contact avec l’atmosphère.
3. On appelle pression effective, notée Peff, au niveau du clapet, la différence entre les pres-
sions existantes de part et d’autre du clapet (côté fluide et côté atmosphère). Montrer queQ13
Peff(z) = p(z)−P0=ρg(h−b−z)
4. Déterminer la résultante élémentaire −→ dFdes forces de pression, exercée sur un élément de
surface dSdu clapet à l’altitude z. Représenter la sur un schéma. On exprimera dSsur leQ14
clapet en coordonnées cartésiennes.
5. Déterminer le moment élémentaire dM∆par rapport à l’axe ∆de la force élémentaire −→ dFQ15
exercée sur un élément de surface dSdu clapet à l’altitude z.
6. Montrer que le moment sur l’axe ∆des forces de pression s’exerçant sur toute la surface du
clapet peut se mettre sous la forme suivanteQ16
M∆(pression) = ρgl "(h−b)(a−b)2
2−(a−b)3 3−(h−b)b2 2−b3 3#
7. Les forces s’exerçant sur le clapet sont les forces de pression, la force de la liaison entre l’axe
et le clapet ainsi que la force de réaction de la partie fixe inférieure sur le clapet, notée ~ R. La
liaison avec l’axe étant supposée idéale son moment projeté sur ∆vaut zéro.
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(a) Tant qu’il y a contact, quels sont la direction et le sens de ~ R? En déduire le signe de
M∆(~ R).Q17
(b) On rappelle que l’équilibre du clapet se traduit par M∆(~ R)+M∆(pression)+M∆(liaison) =
0. En déduire le signe de M∆(pression)tant que le clapet est fermé.Q18
8. On désire que le clapet ne s’ouvre pas tant que h < 10 aet s’ouvre pour h>10 a. De quelle
équation best alors solution ?Q19
9. Résoudre numériquement ou graphiquement cette équation à l’aide de votre calculatrice
en prenant a= 20 cm.Q20
III. CHAUFFAGE D’UN GAZ PARFAIT
Dans tout l’exercice, le gaz parfait est idéal
(γ=Cpm
Cvm =cte), les capacités thermiques des
parois, piston et résistance seront négligées.
On note (EET) un état d’équilibre thermody-
namique. Le compartiment de droite est en
communication avec l’atmosphère ce qui im-
plique que la pression dans le compartiment
de droite est constante et égale à p0.
Une mole de gaz parfait (GP) est contenue
dans le cylindre calorifugé fermée par un pis-
ton calorifugé de section σ= 0,05 m2retenu
par un ressort de raideur k= 25.103N.m−1
et de longueur à vide l0. Il n’y a aucun frotte-
ment. Initialement le gaz parfait est à la tem-
pérature T0= 290 K, à la pression p0= 105Pa,
de coefficient γ= 1,4. La constante des gaz parfaits vaut R= 8,31 J.mol−1.K−1. Une résistance
fournit lentement de l’énergie sous forme de chaleur au gaz parfait de sorte que la transformation
du gaz parfait est une suite d’EET. L’EET final correspond à pF= 2p0et les grandeurs lors de
l’EET final sont indicées par la lettre F.
1. Quelle est la longueur du ressort dans l’état initial ?Q21
2. On note xle déplacement du piston à partir de sa position initiale,
(a) Exprimer la pression pdu gaz parfait en fonction de p0, σ, k et x.Q22
(b) Exprimer le volume Vdu gaz parfait en fonction de V0, le volume initial, de σet de x.Q23
(c) En déduire la pression pen fonction de p0, V, V0, k et σ.Q24
(d) Représenter la courbe pen fonction de V.Q25
(e) Calculer xFdans l’EET final.Q26
Faites l’application numérique.
Q27
(f) Calculer VFet TFde façon littérale puis numérique.
Q28
3. Exprimer le travail élémentaire δW algébriquement reçu par le gaz parfait entre deux ins-
tants proches tet t+dt. En déduire que le travail algébriquement reçu par le gaz est
W=−p0σxF−1
2kx2
F.Q29
Expliquer à quoi correspond chaque terme et donner la valeur numérique de W.
Q30
4. Calculer le transfert thermique Qalgébriquement reçu par le gaz. Donner le résultat sous
forme littérale et numérique.Q31
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IV. MESURE DE L’ENTHALPIE DE VAPORISATION DE L’AZOTE
L’azote liquide est fréquemment employé pour maintenir
des systèmes à basse température. Le changement d’état
étant extrêmement couteux, on peut avec un peu d’azote li-
quide maintenir une température faible pendant un temps
assez long. On se propose dans ce problème de mesurer
l’enthalpie de vaporisation de l’azote liquide et d’en dé-
duire le temps pendant lequel la température peut être im-
posée ainsi (pour un volume d’azote donné). Par abus de
langage, on dira « l’azote » pour parler du « diazote ».
Pour cela, on réalise l’expérience suivante : un récipient ca-
lorifugé (de type bouteille isolante) contenant une masse
d’azote est placée sur une balance monoplateau électro-
nique.
Un thermoplongeur (résistance chauffante), supporté par
une potence, plonge dans le liquide. Il est alimenté par une
alimentation stabilisée. Un voltmètre et un ampèremètre
permettent la mesure de la tension Uaux bornes du ther-
moplongeur, et de l’intensité Iqui le traverse.
On dispose par ailleurs d’un chronomètre.
On alimente le thermoplongeur et on attend l’ébullition. On règle alors Upour avoir une ébul-
lition régulière et lente. À la fin de chaque expérience, il reste de l’azote liquide dans le récipient.
Lorsqu’on déclenche le chronomètre, la balance indique m′= 220,12 g. On arrête le chrono-
mètre lorsque la balance indique m′′ =m′−30,00 g, et on lit le temps técoulé.
1. Définir l’enthalpie massique de changement d’état Lvet donner une unité possible.Q32
2. Avec U1= 6,00 V et I1= 2,083 A, le temps tvaut t1= 6 min 23,4s.
(a) Définir un système et établir un bilan énergétique approprié faisant intervenir l’enthal-
pie massique de vaporisation de l’azote notée Lvet les données de l’énoncé.Q33
(b) Calculer l’enthalpie massique de vaporisation de l’azote.Q34
3. Gaston trouve un diagramme log P−hsous une table et décide de comparer la valeur ob-
tenue par l’expérience avec celle tabulée. Toutefois, il ne comprend pas tout ce qui est écrit :
pouvez vous l’aider à lire le plus précisément possible et en expliquant votre démarche
(refaites un schéma si nécessaire) :
(a) la température d’ébullition de l’azote liquide à pression atmosphérique (P0= 1 bar) ;Q35
(b) l’enthalpie massique de changement d’état à pression atmosphérique ;Q36
(c) les coordonnées P-T du point critique.Q37
(d) est-il possible, à température ambiante, d’augmenter suffisamment la pression pour li-
quéfier l’azote dans l’air ? Justifier à l’aide de l’allure du diagramme P-T de l’azote (non
fourni).Q38
4. La différence entre la valeur obtenue à l’aide du diagramme et celle obtenue à l’aide de
la première expérience est tellement grande qu’il est nécessaire de prendre en compte les
fuites thermiques lié au caractère non parfaitement isolant des parois.
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Pour cela, on réalise une seconde expérience, avec U2= 9,00 V et I2= 2,000 A, le temps t
vaut t2= 4 min 43,7s, pour la même différence de masse m′′ =m′−30,00 g. La puissance
de fuite Pfuite dépendant généralement de la différence de température entre l’intérieur et
l’extérieur du récipient, elle sera considérée identique dans les deux expériences.
(a) Écrire à nouveau le bilan énergétique en tenant compte de Pfuite.Q39
(b) Calculer l’enthalpie massique de vaporisation de l’azote et comparer avec la valeur lue
sur le diagramme.Q40
(c) Calculer la puissance de fuite Pfuite.Q41
(d) En déduire le temps au bout duquel 2L d’azote liquide se seront entièrement évaporés
si on n’alimente pas la résistance chauffante. On donne la masse volumique de l’azote
liquide : µa= 807,0kg/m3.Q42
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