Simulations numériques en microfluidique.
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Simulations numériques en microuidique. Applications en Chimie et Biologie Paul Vigneaux UMPA - ENS Lyon [email protected] www.umpa.ens-lyon.fr/∼pvigneau/ avec D. Bresch, A. Colin, G. Cristobal, C. Galusinski, E. Oudet 10 Novembre 2009 1ères journées du GdR CALCUL Institut Henri Poincaré, Paris Plan Contexte et Objectifs Quelques Approches numériques pour le suivi d'interface Méthodes pour les interfaces mobiles Méthode Level Set et outils associés Simulation d'écoulements avec tension de surface Modèles et résolution numérique Une condition de stabilité généralisée Applications Microgouttes pour la chimie Dynamique de cellules Conclusions P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Contexte et Objectifs Des microcanaux pour manipuler les uides I Collaboration IMB et LOF, RhodiaCNRS à Bordeaux : I A. Colin, G. Cristobal, C. Galusinski P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Contexte et Objectifs De l'utilisation des gouttes en microuidique −3 s Song and Ismagilov, 2003 Cinétique chimique rapide : 10 P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Contexte et Objectifs Situations proches en biologie Dynamique de cellules dans des canaux sanguins micrométriques ... P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Contexte et Objectifs Situations proches en biologie ... modéliser la motilité cellulaire (vision hydrodynamique) Expériences biophysiques : C. Verdier LSP Grenoble . Collaboration avec D. Bresch et E. Oudet (CNRS et U. de Savoie) P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Contexte et Objectifs Ce dont nous allons parler Simuler numériquement ces écoulements aux petites échelles : I plusieurs milieux I des interfaces mobiles (gouttes, cellules) I sur lesquelles agissent des forces surfaciques I Objectifs : explorer les dynamiques associées P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Contexte et Objectifs La Tension de surface dans le rôle titre I C'est une force à l'interface entre 2 uides I Liée à la courbure de l'interface I donc, prédominante en Microuidique Eet de la tension de surface : Minimiser l'énergie de l'interface surface tension forces "surface" minimization P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Quelques Approches numériques pour le suivi d'interface Méthodes pour les interfaces mobiles Comment simuler des interfaces mobiles ? Approche intuitive Passage du continu au discret (a) (b) P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Quelques Approches numériques pour le suivi d'interface Méthodes pour les interfaces mobiles Approche intuitive (suite) Mise en mouvement de particules I Exemple : Front Tracking (Glimm et Tryggvason) I Suivi lagrangien I implementation ardue P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Next (a) Transport lagrangien (b) "chirurgie" (c) Quelques Approches numériques pour le suivi d'interface Méthodes pour les interfaces mobiles Une autre classe d'approche Capture de l'interface ... ... grâce à un champ φ (global) qui la dénie implicitement Ü I Exemple : méthode Level Set Γ Ω = fonction distance φ (x) Poi "Le φ nt d vel e vu Set " e φ =0 P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Quelques Approches numériques pour le suivi d'interface Méthode Level Set et outils associés Evolution d'une interface avec la méthode Level Set φ (x,t = 2 ) V φ=0 φ=0 P. Vigneaux (UMPA) φ (x,t = 1 ) 0 φ = φ(x,t = 0 ) φ=0 Microuidique Méthode Level Set et outils associés Quelques Approches numériques pour le suivi d'interface Evolution d'une interface avec la méthode Level Set Par résolution de l' équation Level Set (T ) où V φt + V .∇φ = 0 φ(x , t = 0) donné tq Γ(t = 0) = {x |φ(x , t ) = 0} est un vitesse connue. Discrétisation : I espace : schémas WENO5 Ü bonne conservation de la masse I temps : schémas RK 1 à 3 Atouts : I implémentation simple I gestion intrinsèque des changements topologiques P. Vigneaux (UMPA) Next Microuidique Φ( x,y,t=0) Φ( x,y,t=1) Y X Y X Deux fronts separes... ... qui, par changement topologique, forment a un instant ulterieur, une seule courbe materialisee par l’isovaleur ’0’ de Φ Résolution globale de (T ) sans particularisation des points de Γ Quelques Approches numériques pour le suivi d'interface Méthode Level Set et outils associés Quelques outils Level Set I Géométrie de l'interface : normale et courbure ∇φ n = |∇φ| et κ = ∇. n I Redistanciation I Traceur I etc. P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Simulation d'écoulements avec tension de surface Modèles et résolution numérique Modèle mathématique 1/ Hypothèses I uides : I immiscibles I visqueux I newtoniens I homogènes I écoulement incompressible et isotherme I interface ponctuelle I gravité négligeable I coecient de tension de surface constant Caractéristiques fréquentes en Microuidique I Faibles Reynolds, laminarité I Interfaces de forme stationnaire. P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Simulation d'écoulements avec tension de surface Modèles et résolution numérique Modèle mathématique 2/ Navier-Stokes (NS) et formulation Level Set ρ ∂u + u.∇u − ∇.(2η D u) + ∇p = σκδ(φ)n + Finter ∂t ∀(t , x) ∈ R+ × Ω, ∇.u = 0 ∀(t , x) ∈ R × Ω, + (1) (2) ∂φ + u.∇φ = 0 ∀(t , x) ∈ R+ × Ω, ∂t (3) ρ(φ) = ρ1 + (ρ2 − ρ1 )H (φ) (4) η(φ) = η1 + (η2 − η1 )H (φ) (5) Chang et al. (1996), Sussman et al. (1994) P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Simulation d'écoulements avec tension de surface Modèles et résolution numérique Modèle mathématique 3/ Conditions aux limites I ∂Ωinj I ∂Ωout : Dirichlet : Dirichlet ou ( ∂(u.nΩ ) ∂ nΩ u.τΩ I ∂Ωwall = = 0 (6) 0 : glissement et ligne triple ( P. Vigneaux (UMPA) u.τΩ = αus (η) + β Ls (η) ∂(∂un.τΩΩ ) u.nΩ = 0 Microuidique (7) Simulation d'écoulements avec tension de surface Une condition de stabilité généralisée Généralisation ∆tσ = ∆tσ (ρ, η) = 1 2 c2 ση ∆x + I ∆tσ (ρ, 0) = ∆tBKZ I ∆tσ (0, η) = ση ∆x := ∆tSTK r ρ η (c2 ∆x )2 + 4c1 ∆x 3 σ σ à haut Reynolds à Reynolds modéré I donc pour tout régime : ∆tσ = α max(∆tSTK , ∆tBKZ ) 1 ≤ α ≤ 1.62 I C. Galusinski et P. V. - JCP 2008 P. Vigneaux (UMPA) Microuidique (8) Applications Microgouttes pour la chimie Microgouttes - Divers régimes de mélange P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Applications Microgouttes pour la chimie Création de gouttes P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Applications Dynamique de cellules Dynamique de cellules P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Applications Dynamique de cellules Dynamique de cellules P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Applications Dynamique de cellules Dynamique de cellules Attraction et Etalement P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Applications Dynamique de cellules Dynamique de cellules Attraction et Decollement P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Conclusions Conclusions P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Conclusions Conclusions I Développement d'approches mathématiques spéciques pour les écoulements aux petites échelles I Dérivation d'une condition de stabilité généralisée pour des écoulements biuides avec tension de surface I Analyses validées par comparaison aux expériences physiques I Application à l'étude de la I I I dynamique de microgouttes I mise à jour de diérents régimes de mélange I création de gouttes dynamique de cellules (comparez plus avant avec les exp.) Ouvertures. Modèles : de forces, non-newtoniens. P. Vigneaux (UMPA) Microuidique Conclusions References I J. U. Brackbill, D. B. Kothe, and C. Zemach. A continuum method for modeling surface tension. Journal of Computational Physics, 100(2) :335354, 1992. I S. Osher and J. Sethian. Fronts propagating with curvature-dependent speed : algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations. J. Comput. Phys., Vol. 79, 1249, 1988. I M. Sussman, P. Smereka and S. Osher. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase ow. J. Comput. Phys., Vol. 114, 146159, 1994. I S. Osher and R. Fedkiw. Level Set Methods and Dynamic Implicit Interfaces, 1st . Edition, Applied Mathematical Sciences, Vol. 153, Springer, 2003. I C. Galusinski and P. Vigneaux. On stability condition for biuid ows with surface tension : application to microuidics. Lien DOI :10.1016/j.jcp.2008.02.023 P. Vigneaux (UMPA) J. Comput. Phys., 227(12), 6140-6164, Microuidique 2008. Conclusions Merci pour votre attention. P. Vigneaux (UMPA) Microuidique
