Ensembles de nombres

Ensembles de nombres
Rappel :
Ne pas confondre chiffres et nombres, les chiffres sont des symboles qui permettent d’écrire les
nombres
I – Les Entiers naturels :
L’ensemble des entiers naturels noté ℕ est l’ensemble des nombres obtenus par addition à partir
de 0 et 1
Les entiers naturels sont des nombres qui permettent de compter des choses dans la nature.
ℕ!= 𝟎;𝟏;𝟐…;𝒏;𝒏+𝟏;…. 3∈ℕ mais -5 ∉ℕ
Toutes les additions et toutes les multiplications sont possibles dans cet ensemble.
II – Les entiers relatifs :
L’ensemble des entiers relatifs noté ℤ est l’ensemble des entiers naturels et de leurs opposés.
ℤ = …;−𝟐;−𝟏;𝟎;𝟏;𝟐;…
Toutes les additions, les soustractions et les multiplications sont possibles dans cet ensemble.
Rappels :
Deux nombres opposés sont deux nombres dont la somme est 0.
Soustraire un nombre c’est ajouter son opposé, on peut donc utiliser le mot somme pour parler
des additions ou des soustractions.
III – Les nombres décimaux :
L’ensemble des nombres décimaux noté ID est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec
un nombre fini de chiffres après la virgule.
Autre définition : C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction
dont le dénominateur est une puissance de 10.
Pour aller plus loin :
𝑥∈𝔻!𝑠𝑖!𝑒𝑡!𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡!𝑠𝑖!𝑥=
𝑎
10!!𝑎𝑣𝑒𝑐!𝑎∈ℤ!𝑒𝑡!𝑛∈ℕ
Certaines divisions impossibles dans ℤ sont possible dans 𝔻 mais pas encore toutes.
IV – Les nombres rationnels :
L’ensemble des nombres rationnels, noté ℚ est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire
sous forme d’une fraction, c’est à dire du quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul.
Pour aller plus loin :
𝑥∈ℚ!𝑠𝑖!𝑒𝑡!𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡!𝑠𝑖!𝑥=
𝑎
𝑏!𝑎𝑣𝑒𝑐!𝑎∈ℤ!𝑒𝑡!𝑏∈ℕ∗,ℕ∗!𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑒!ℕ!𝑝𝑟𝑖𝑣é!𝑑𝑒!0.
Rappel :
On appelle nombres inverses deux nombres dont le produit est égal à 1 et diviser par un nombre
c’est multiplier par son inverse.
Toutes les additions, les soustractions, les multiplications et toutes les divisions sont possibles
dans cet ensemble mais il existe des mesures qui ne peuvent être quantifiée dans cet ensemble,
par exemple la longueur de la diagonale d’un carré de coté 1 ou le périmètre d’un cercle de rayon
r.

V – Les nombres réels :
L’ensemble des nombres réels noté ℝ est l’ensemble des nombres qui permettent de mesurer tout ce qui
est « réel » et de faire toutes les additions, les soustractions, les multiplications et toutes les
divisions.
Compléter avec les noms des ensembles
L’ensemble des réels contient tous les autres ensembles de nombres.
…
…
…
…
…….....

Irrationalité de 2, raisonnement par l’absurde :
Supposons que 2 est un nombre rationnel donc qu’il existe deux nombres entiers a et b,
premiers entre eux (pas d’autre diviseur commun que 1), tels que :
2 = a
b .
donc si on met au carré on a 2 = a²
b²
donc a² = 2b² et donc a² est un nombre pair.
On se pose la question : si a² est un nombre pair a est-il un nombre pair ?
Un nombre pair peut s’écrire a = 2n donc son carré est a2 = 4n2 est un nombre
pair.
Un nombre impair peut s’écrire a = 2n+1
donc son carré a2 = (2n+1)2 = 4n2 + 4n + 1 est un nombre impair
conclusion si a2 est pair, a est pair et réciproquement.
Donc a est un nombre pair et on peut écrire a = 2p et a² =4p²
Si on rapproche les deux égalités encadrées on en déduit que :
2b²=4p² et b²=2p²
donc b² est un nombre pair et donc b est un nombre pair.
La supposition 2 est un nombre rationnel signifie (équivaut à) qu’il existe deux
nombres entiers tels que 2 = a
b , avec a et b, premiers entre eux
cette hypothèse a pour conséquence :
a est un nombre pair et b est un nombre pair.
Il y a donc contradiction entre les deux affirmations (c’est absurde) et
donc 2ne peut pas être un nombre rationnel.
Il existe donc des nombres qui ne sont pas rationnels (autre exemple : π).