corrigé

ESC Toulouse 2008
D. Herlemont Mast`ere BIF
Examen Gestion de portefeuille
Dur´ee: 2 heures
Les documents et Calculatrices sont autoris´es.
1.9 pt On consid`ere deux actifs dont les caract´eristiques sont les suivantes:
Esp´erances des rendements r1= 0.08, r2= 0.11
matrice de variance-covariance =
V= 10−21 0.5
0.5 3 
1. Quel est le portefeuille optimal d’un investisseur qui souhaite une rentabilit´e ´egale `a
8.3%. Quelle est la variance de sa rentabilit´e
2. Calculer les proportions du portefeuille de variance minimale. Outre le fait qu’il s’agit
du portefeuille de risque minimal, que peut on dire de plus sur ce portefeuille ...
3. On suppose maintenant qu’il existe un actif sans risque dont la rentabilit´e est de 6%.
Que devient le portefeuille optimal pour une rentabilit´e de 8.5%
4. D´eterminer les caract´eristiques du portefeuille de march´e:
(a) les proportions optimales,
(b) sa rentabilit´e, sa volatilit´e et son ratio de Sharpe.
(c) En d´eduire l’aversion pour le risque implicite du march´e.
Corrig´e:
Soit xla proportion investie dans l’actif 1, et donc 1 −xinvestie dans l’actif 2. Il faut donc
trouver xtel que 0.08x+ 0.11(1 −x)=8.3%, soit x= 0.9.
La variance de ce portefeuille est
σ2= (0.9 0.1)10−21 0.5
0.5 3  0.9 1= 9.3×10−3
Le portefeuille de variance minimale est obtenu pour xqui minimise la variance σ2(x) =
10−2(x2+ 2x(1 −x)∗0.5 + (1 −x)2∗3 = 10−2(3x2−5x+ 3). Soit x= 5/6, en annulant la d´eriv´ee
par rapport a x.
Notons x1et x2les proportions investies dans les actifs risqu´es. La rentabilit´e du portefeuille
est
rp= 0.08x1+ 0.11x2+ 0.06(1 −x1−x2) (1)
= 0.06 + 0.02x1+ 0.05x2(2)
La contrainte sur la rentabilit´e s’´ecrit
0.02x1+ 0.05x2= 2.5% (3)
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On doit minimiser la variance
σ2
p= 10−2(x2 1+x1x2+ 3x2 2) (4)
Le lagrangien du probl`eme est
L(x1, x2, λ) = 10−2(x2
1+x1x2+ 3x2 2) + λ(0.025 −0.02x1−0.05x2) (5)
Les conditions du premier ordre conduisent `a
2x1+x2−2λ= 0 (6)
x1+ 6x2−5λ= 0 (7)
2x1+ 5x2= 2.5 (8)
d’ou la solution x1= 0.324 et x2= 0.37
Le portefeuille de march´e est le portefeuille tangeant, proportionnel `a
π∝V−1(r−r0) (9)
L’inverse de la matrice de variance-covariance est
109.09 -18.18
-18.18 36.36
Le portefeuille logarithmique πlog =V−1(r−r0) est
1.27
1.45
Tout portefeuille optimal avec un actif sans risque est proportionnel `a ce portefeuille. De la
forme
π=1
γV−1(r−r0) (10)
En particulier le portefeuille tangeant est obtenu en normalisant les somme des poids `a 1:
0.47
0.53
et donc pour γtg =πlog,1+πlog,2= 1TV−1(r−r0) = 2.73 qui est donc l’aversion au risque
implicite du portefeuille de march´e.
Le ratio de sharpe est S=p(r−r0)TV−1(r−r0)=0.190
2.3 pt Attribution des performances On consid`ere un portefeuille et son benchmark dont les
caract´eristiques sont les suivantes
Portefeuille Benchmark
x Poids Return Poids Return
Actions 0.6 7 0.5 6
Obligations 0.1 4 0.3 3
Il s’agit de performance annuelle. Le cash est valoris´e au taux sans risque de 2%
Calculer les performances du portefeuille et celles du benchmark.
D´ecomposer la sur performance du portefeuille vis a vis a du benchmark en terme d’allocation
d’actifs (”market timing”) et de s´election d’actifs (”asset picking”) pour chaque classe d’actifs
(actions et obligations).
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Corrig´e: r´eponse C
La performance globale du portefeuille est de 5.2
La performance du benchmark est de 4.3
La sur performance du portefeuille est de 0.9
Elle se d´ecompose comme suit:
Portefeuille Benchmark Ponderations Benchmark Contribution
Poids Poids Exc`es Return Performance
Actions 0.6 0.5 0.1 6 0.6
Obligation 0.1 0.3 -0.2 3 -0.6
Cash 0.3 0.2 0.1 2 0.2
Soit une contribution attribu´ee `a l’allocation d’actifs (market timing) de : 0.2
Portefeuille Benchmark Return Poids Contribution
Return Return Exc`es portefeuille Performance
Actions 7 6 1 0.6 0.6
Obligation 4 3 1 0.1 0.1
Cash 2 2 0 0.3 0
Soit une contribution attribu´ee `a la s´election d’actifs (asset picking) de : 0.7
3.3 pt La volatilit´e du portefeuille est de 0.2, celle du benchmark de 0.25, la corr´elation du portefeuille
avec le benchmark de 0.8. Calculer
Le beta du portefeuille avec le benchmark
l’erreur de tracking
le ratio d’information
Corrig´e: Le b´eta est:
β=cov(Rp, Rb)
σ2
b
=ρσp
σb
= 0.64 (11)
L’erreur de tracking est
e=qvariance(Rp−Rb) = qσ2
p+σ2
b−2ρσp∗σb= 0.15 (12)
Le ratio d’information est
I=Rp−Rb
e= 0.06 (13)
4.2 pt Quelle est la diff´erence entre un portefeuille dit ”Dollar” neutre et un portefeuille ”beta” neutre.
Peut on construire des portefeuilles qui soient `a la fois ”Dollar” et ”Beta” neutres.
Corrig´e: Soient πiles proportions investies dans les actifs risqu´e pour i= 1, n, et π0la
proportion dans l’actif sans risque. Quelle que soit la strat´egie on a Pi=0,n πi= 1
Un portefeuille dollar neutre a une exposition nulle en valeur nette. Autrement dit, Pi=1,n πi=
0 et donc π0= 1
Un portefeuille beta neutre a une exposition nulle en beta. Autrement dit, Pi=1,n βiπi= 0
Il est possible d’imposer les deux contraintes `a la fois, pourvu que les actifs soient en nombre
suffisants.
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5.3 pt On consid`ere un fonds alternatif dont les valeurs (NAV) mensuelles sont les suivantes (en
million d’euros):
Janvier F´evier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. D´ec.
100 102 101 99 97 99 101 103 102 99 101 100
Quel est la perte maximale historique (maximum drawdown) sur l’ann´ee.
calculer les High Water Mark mensuels.
La commission de sur-performance est de 20%, calculer les commissions mensuelles et totale
sur l’ann´ee.
Quels sont les effets n´egatifs de la commission de sur-performance. Citer des m´ethodes afin
de limiter ces effets.
Corrig´e: La perte maximale historique est la perte qu’aurait subie un investisseur malachanceux,
qui serait rentr´e `a un plus haut et sorti `a un plus bas.
Le Maximum Drawdown est la perte maximale historique depuis ”pic” vers un ”creux” (peak
to valley). De mani`ere formelle, soit V(t) la valeur de l’actif au temps t,M(t) le maximum depuis
t= 0
M(t) = max
0≤s≤tV(s)
Le drawdown courant D(t) est d´efini par D(t) = M(t)/V (t) et le maximum drawdown et MDD(t) =
max0≤s≤tD(s)
Si on mesure le drawdown en %, Dp(t) = (M(t)−V(t))/M(t) et MDDp(t) = max0≤s≤tDp(s)
En terme de P&L, on peut avoir une autre d´efinition: D(t) = M(t)−V(t) et MDD(t) =
max0≤s≤tD(s)
Le MDD est 4.9%.
En terme de NAV, le MDD est 5 Millions d euros.
Le High Water Mark est le maximum cumul´e et la commission de sur perfornance est calcul´ee
sur la diff´erence entre deux high water mark (M(t)−M(t−1)) ∗20%. Le tableau ci dessous
indique les high water mark et la comission en milliers d’euros
Janvier F´evier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. D´ec.
HWM 100 102 102 102 102 102 102 103 103 103 103 103
Commission 40 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0
Le total de la commission de sur performance est 60 K euros.
la r´emun´eration a la performance peut conduire le g´erant a prendre trop de risques lorsque le
fond se trouve ´eloign´e de son plus haut. Afin de r´eduire cet effet on peut demander au gestionnaire
d’investir une part significative de sa propre richesse. Ce faisant, le gestionnaire se comportera
comme un investisseur.
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