Optique géométrique - MPSI Arago Perpignan

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
Optique géométrique
Chapitre 2 : Stigmatisme et aplanétisme
Conditions de Gauss
Le but d’un instrument optique consiste à former d’un objet une image ressemblante.
Nous allons étudier quelles propriétés un instrument doit alors vérifier.
Objectifs :
•Savoirs:
–connaitre les propriétés de stigmatisme rigoureux et d’aplanétisme rigoureux du miroir
plan ;
–connaitre les couples de points rigoureusement stigmatiques dans le cas des miroirs
sphériques ;
–connaitre les conditions de l’approximation de Gauss et leurintérêt(stigmatismeet
aplanétisme approchés) ;
–pouvoir indiquer quelques défauts des images lorsque celles-ci sont formées en dehors
des conditions de Gauss : aberrations géométriques, aberrations chromatiques . . .
•Savoirsfaire:
–savoir construire l’image d’un objet quelconque par un miroir plan ;
–savoir comment éclairer les systèmes optiques pour former des images de qualité (i.e.
pour réaliser le stigmatisme approché).
1Vocabulairedel’optiquegéométrique
Objet réel
Image vue
par l’œil
n=1
n=4/3
Figure 1
L’œil étant un récepteur de lumière, c’est à lui que l’on fait référence pour carac-
tériser un objet ou une image.
Lorsque l’œil voit une image, il reçoit des rayons semblant provenir de cette image.
L’œil voit une image située au point d’intersection des rayons qui l’atteignent.
S. Bénet 1

1.1 Illustration sur un miroir plan
1.1.1 Objet ponctuel réel et image pontuelle virtuelle à distance finie
Objet réel :labougieconstitueunesourceprimairequasi
ponctuelle à distance finie. Les rayons issus de l’objet,
se propagent dans le sens de propagation de la lumière
incidente, se dirigeant vers le miroir.
Ceci définit les caractéristiques d’un objet réel ; l’œil
peut voir directement un objet réel.
Image virtuelle :lesrayonsissusdelabougiesontré-
fléchis par le miroir et semblent provenir d’un point A!
(image quasi ponctuelle à distance finie).
Les rayons se propageant dans le sens de propagation
de la lumière réfléchie semblent provenir d’un point A!
placé derrière le miroir : cette image est virtuelle pour
le miroir et ne peut pas être observée sur un écran.
Objet réel Image virtuelle
Miroir plan
Figure 2 – Exemple illustrant la notion d’objet pontuel réel
et d’image ponctuelle virtuelle à distance finie
1.1.2 Objet pontuel virtuel et image ponctuelle réelle à distance finie
Objet virtuel :Onconsidèreunfaisceauconvergentde
lumière émis par une source étendue. Les rayons lumi-
neux émis par cette source se dirigent tous vers un point
A.
Ce point Apeut être mis en évidence à l’aide d’un écran
car il s’agit d’une image réelle qui peut jouer le rôle
d’objet réel secondaire.
On place un miroir sur le trajet du faisceau de lumière.
On ne voit plus rien sur l’écran bien que les rayons inci-
dents soient inchangés. L’interposition du miroir a rendu
virtuel l’objet source secondaire. Les rayons incidents sur
le miroir (dans le sens de propagation de la lumière) ne
sont pas issus d’un point mais semblent se propager vers
un point A:Aest un objet source virtuel pour le miroir.
Image réelle :touslesrayonsréfléchisparlemiroirse
dirigent vers A!qui est une image réelle.
Image réelle
Objet virtuel
Miroir plan
Figure 3 – Exemple illustrant la notion d’objet pontuel vir-
tuel et d’image ponctuelle réelle à distance finie
1.2 Généralisation
Les notions d’objets et d’images, réels ou virtuels sont conditionnés par la position relative du système optique et le
sens de propagation de la lumière.
1.2.1 Système optique
On appelle système optique l’ensemble d’un certain nombre de milieux homogènes transparents isotropes séparés par
des surfaces réfractantes (dioptres) ou réfléchissantes (miroirs) de formes simples.
Un système optique centré est un système optique possèdant un axe de symétrie de révolution ∆appelé axe optique
(a.o.).
Il existe deux catégories de systèmes optiques pour lesquelsilestimportantdepréciserlesenspositifdepropagation
de la lumière :
•Système par transmission ou système dioptrique
constitué uniquement de dioptres (surface ré-
fractante).
La lumière émergente est de la lumière trans-
mise ou réfractée.
Sens de propagation
de la lumière incidente Système
optique
Sens de propagation
de la lumière émergente
Figure 4 – Système par transmission ou système dioptrique
S. Bénet 2/10

•Système par réflexion ou système catadioptrique
constitué de dioptres et de miroirs (surface ré-
fléchissante).
La lumière émergente est de la lumière réfléchie.
Sens de propagation de la lumière
incidente Système
optique
Sens de propagation de la lumière
émergente
Figure 5 – Système par réflexion ou système catadioptrique
1.2.2 Nature des objets
Quelque soit le système optique considéré, un objet est situé à l’intersection des rayons incidents ou de leurs prolon-
gements.
Un objet n’est visible par l’œil que :
•s’ilémetspontanémentdelalumière(sourceprimaire:flamme, étoile,
•ous’ildiffusedelalumière(sourcesecondaire)
Cet objet pourra être :
•ponctuelouétendu
–Un objet est ponctuel (point A)sisesdimensionssontinfinimentpetitesparrapportàladistance d’obser-
vation.
–Un objet est étendu (ensemble de points indépendants les uns des autres) si les dimensions sont finies.
•àdistancefinieouinfinie
–Un objet ponctuel est situé à l’infini lorsque le faisceau de lumière issu de ce point et reçu par le système
optique est constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée.
Système
optique
centré
a.o.
A∞
Figure 6 – Objet ponctuel situé à l’infini dans la
direction de l’a.o.
Système
optique
centré
a.o.
α
B∞
Figure 7 – Objet ponctuel situé à l’infini dans la
direction αpar rapport à l’a.o.
–Un objet ponctuel est situé à distance finie lorsque le faisceau de lumière issu de ce point n’est pas constitué
d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée.
•virtuelouréel
–Un objet ponctuel réel est situé avant la face d’entrée du système optique, à l’intersection des rayons incidents.
–Un objet ponctuel virtuel est situé après la face d’entrée du système optique, à l’intersection du prolongement
des rayons incidents.
Système
optique
centré
a.o.
A
Figure 8 – Objet ponctuel réel situé à distance finie
sur l’a.o.
Système
optique
centré
a.o.
A
Figure 9 – Objet ponctuel virtuel situé à distance
finie sur l’a.o.
S. Bénet 3/10

1.2.3 Nature des images
Quelque soit le système optique considéré, une image est située à l’intersection des rayons émergents ou de leurs
prolongements.
L’image pourra être :
•ponctuelleouétendue
–Une image est ponctuelle (point A!)sisesdimensionssontinférieuresaupouvoirderésolutiondurécepteur
(cellules rétiniennes quelques µm,grainsdeseld’argent1à100µm).
–Une image est étendue (constituée de points images indépendants) dans le cas contraire.
•àdistancefinieouinfinie
–Une image ponctuelle est située à l’infini lorsque le faisceau de lumière émergent du système optique est
constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée.
Système
optique
centré
a.o.
A"
∞
Figure 10 – Image ponctuelle située à l’infini dans
la direction de l’a.o.
Système
optique
centré
a.o.
α"
B"
∞
Figure 11 – Image ponctuelle située à l’infini dans
la direction α!par rapport à l’a.o.
–Une image ponctuelle est située à distance finie lorsque le faisceau de lumière émergent du système optique
n’est pas constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée.
•virtuelleouréelle
–Une image ponctuelle réelle est située après la face de sortie du système optique, à l’intersection des rayons
émergents. Elle peut être oberservée sur un écran.
–Une image ponctuelle virtuelle est située avant la face de sortie du système optique, à l’intersection du
prolongement des rayons émergents. Elle n’est pas observable sur un écran.
Système
optique
centré
a.o.
A"
Figure 12 – Image ponctuelle réelle située à dis-
tance finie sur l’a.o.
Système
optique
centré
a.o.
A"
Figure 13 – Image ponctuelle virtuelle située à
distance finie sur l’a.o.
1.2.4 Résumé
Dans le cas d’un miroir les faces d’entrée et de sortie sont confondues. Il faut prendre garde au fait que les directions
incidente et réfléchie sont opposées.
S.O.
en
Transmission
(dioptrique)
Face d’ entrée du S.O.
Espace Image Virtuelle Espace Image Réelle
Face de sortie du S.O.
Espace Objet Réel Espace Objet Virtuel
Sens
de la lumière incidente
Sens
de la lumière transmise
Figure 14 – Système optique dioptrique
S.O.
en
Réflexion
(catadioptrique)
Face d’ entrée du S.O.
Espace Image Réelle Espace Image Virtuelle
Face de sortie du S.O.
Espace Objet Réel Espace Objet Virtuel
Sens
de la lumière incidente
de la lumière transmise
Sens
Figure 15 – Système optique catadioptrique
S. Bénet 4/10

2Stigmatismeetaplanétismerigoureux
2.1 Définitions du stigmatisme rigoureux et de l’aplanétismerigoureux
•Onditqu’unsystème optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A!)sitoutrayon
passant par Aémerge du système optique en passant par A!.
A!est l’image de Apar le système optique
Aet A!sont deux points conjugués !Schéma de conjugaison : ASO
−→ A!
•Onditqu’unsystème optique centré est rigoureusement aplanétique si pour tout objet étendu AB plan et
perpendiculaire à l’axe optique son image A!B!est plane et perpendiculaire à l’axe optique.
2.2 Stigmatisme et aplanétisme rigoureux du miroir plan
•Unmiroirplanestunesurfaceplanerecouverted’unmincedépôt métallique réfléchissant.
A
B
A!
B!
Figure 16 – Simulation numérique sur le mi-
roir plan
•Miseenévidencedustigmatismeetdel’aplanétismerigoureux du
miroir plan à partir d’une simulation numérique :
On constate que l’image A!B!d’un objet AB est le symétrique de
cet objet par rapport au miroir plan.
Le miroir plan vérifie la propriété de stigmatisme rigoureux pour
tout point de l’espace et la propriété d’aplanétisme rigoureux.
AH
A!
Figure 17 – Contruction de l’image A!de A
par un miroir plan
•Soient deux points Aet A!conjugués par le miroir plan :
AMp −→ A!
La relation de conjugaison s’écrit :
HA!+HA =0
en introduisant Hle projeté orthogonal de Asur le miroir plan.
On a HA!>0etHA < 0
S. Bénet 5/10