Lycée François Arago Perpignan M.P.S.I. 2012-2013 Optique géométrique Chapitre 2 : Stigmatisme et aplanétisme Conditions de Gauss Le but d’un instrument optique consiste à former d’un objet une image ressemblante. Nous allons étudier quelles propriétés un instrument doit alors vérifier. Objectifs : • Savoirs : – connaitre les propriétés de stigmatisme rigoureux et d’aplanétisme rigoureux du miroir plan ; – connaitre les couples de points rigoureusement stigmatiques dans le cas des miroirs sphériques ; – connaitre les conditions de l’approximation de Gauss et leur intérêt (stigmatisme et aplanétisme approchés) ; – pouvoir indiquer quelques défauts des images lorsque celles-ci sont formées en dehors des conditions de Gauss : aberrations géométriques, aberrations chromatiques . . . • Savoirs faire : – savoir construire l’image d’un objet quelconque par un miroir plan ; – savoir comment éclairer les systèmes optiques pour former des images de qualité (i.e. pour réaliser le stigmatisme approché). 1 Vocabulaire de l’optique géométrique n=1 L’œil étant un récepteur de lumière, c’est à lui que l’on fait référence pour caractériser un objet ou une image. Image vue par l’œil n = 4/3 Lorsque l’œil voit une image, il reçoit des rayons semblant provenir de cette image. L’œil voit une image située au point d’intersection des rayons qui l’atteignent. Objet réel Figure 1 S. Bénet 1 1.1 Illustration sur un miroir plan 1.1.1 Objet ponctuel réel et image pontuelle virtuelle à distance finie Objet réel : la bougie constitue une source primaire quasi ponctuelle à distance finie. Les rayons issus de l’objet, se propagent dans le sens de propagation de la lumière incidente, se dirigeant vers le miroir. Ceci définit les caractéristiques d’un objet réel ; l’œil peut voir directement un objet réel. Image virtuelle : les rayons issus de la bougie sont réfléchis par le miroir et semblent provenir d’un point A! (image quasi ponctuelle à distance finie). Les rayons se propageant dans le sens de propagation de la lumière réfléchie semblent provenir d’un point A! placé derrière le miroir : cette image est virtuelle pour le miroir et ne peut pas être observée sur un écran. 1.1.2 Objet réel Image virtuelle Miroir plan Figure 2 – Exemple illustrant la notion d’objet pontuel réel et d’image ponctuelle virtuelle à distance finie Objet pontuel virtuel et image ponctuelle réelle à distance finie Objet virtuel : On considère un faisceau convergent de lumière émis par une source étendue. Les rayons lumineux émis par cette source se dirigent tous vers un point A. Ce point A peut être mis en évidence à l’aide d’un écran car il s’agit d’une image réelle qui peut jouer le rôle d’objet réel secondaire. On place un miroir sur le trajet du faisceau de lumière. On ne voit plus rien sur l’écran bien que les rayons incidents soient inchangés. L’interposition du miroir a rendu virtuel l’objet source secondaire. Les rayons incidents sur le miroir (dans le sens de propagation de la lumière) ne sont pas issus d’un point mais semblent se propager vers un point A : A est un objet source virtuel pour le miroir. Miroir plan Objet virtuel Image réelle Figure 3 – Exemple illustrant la notion d’objet pontuel virtuel et d’image ponctuelle réelle à distance finie Image réelle : tous les rayons réfléchis par le miroir se dirigent vers A! qui est une image réelle. 1.2 Généralisation Les notions d’objets et d’images, réels ou virtuels sont conditionnés par la position relative du système optique et le sens de propagation de la lumière. 1.2.1 Système optique On appelle système optique l’ensemble d’un certain nombre de milieux homogènes transparents isotropes séparés par des surfaces réfractantes (dioptres) ou réfléchissantes (miroirs) de formes simples. Un système optique centré est un système optique possèdant un axe de symétrie de révolution ∆ appelé axe optique (a.o.). Il existe deux catégories de systèmes optiques pour lesquels il est important de préciser le sens positif de propagation de la lumière : • Système par transmission ou système dioptrique constitué uniquement de dioptres (surface réfractante). La lumière émergente est de la lumière transmise ou réfractée. S. Bénet Sens de propagation de la lumière incidente Système Sens de propagation de la lumière émergente optique Figure 4 – Système par transmission ou système dioptrique 2/10 • Système par réflexion ou système catadioptrique constitué de dioptres et de miroirs (surface réfléchissante). La lumière émergente est de la lumière réfléchie. Sens de propagation de la lumière incidente Sens de propagation de la lumière émergente Système optique Figure 5 – Système par réflexion ou système catadioptrique 1.2.2 Nature des objets Quelque soit le système optique considéré, un objet est situé à l’intersection des rayons incidents ou de leurs prolongements. Un objet n’est visible par l’œil que : • s’il émet spontanément de la lumière (source primaire : flamme, étoile, • ou s’il diffuse de la lumière (source secondaire) Cet objet pourra être : • ponctuel ou étendu – Un objet est ponctuel (point A) si ses dimensions sont infiniment petites par rapport à la distance d’observation. – Un objet est étendu (ensemble de points indépendants les uns des autres) si les dimensions sont finies. • à distance finie ou infinie – Un objet ponctuel est situé à l’infini lorsque le faisceau de lumière issu de ce point et reçu par le système optique est constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée. B∞ Système optique A∞ a.o. α Système optique a.o. centré centré Figure 6 – Objet ponctuel situé à l’infini dans la direction de l’a.o. Figure 7 – Objet ponctuel situé à l’infini dans la direction α par rapport à l’a.o. – Un objet ponctuel est situé à distance finie lorsque le faisceau de lumière issu de ce point n’est pas constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée. • virtuel ou réel – Un objet ponctuel réel est situé avant la face d’entrée du système optique, à l’intersection des rayons incidents. – Un objet ponctuel virtuel est situé après la face d’entrée du système optique, à l’intersection du prolongement des rayons incidents. A Système optique a.o. centré Système A a.o. optique centré Figure 8 – Objet ponctuel réel situé à distance finie sur l’a.o. S. Bénet Figure 9 – Objet ponctuel virtuel situé à distance finie sur l’a.o. 3/10 1.2.3 Nature des images Quelque soit le système optique considéré, une image est située à l’intersection des rayons émergents ou de leurs prolongements. L’image pourra être : • ponctuelle ou étendue – Une image est ponctuelle (point A! ) si ses dimensions sont inférieures au pouvoir de résolution du récepteur (cellules rétiniennes quelques µm, grains de sel d’argent 1 à 100 µm). – Une image est étendue (constituée de points images indépendants) dans le cas contraire. • à distance finie ou infinie – Une image ponctuelle est située à l’infini lorsque le faisceau de lumière émergent du système optique est constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée. " B∞ Système optique A"∞ a.o. centré Système optique α" a.o. centré Figure 10 – Image ponctuelle située à l’infini dans la direction de l’a.o. Figure 11 – Image ponctuelle située à l’infini dans la direction α! par rapport à l’a.o. – Une image ponctuelle est située à distance finie lorsque le faisceau de lumière émergent du système optique n’est pas constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée. • virtuelle ou réelle – Une image ponctuelle réelle est située après la face de sortie du système optique, à l’intersection des rayons émergents. Elle peut être oberservée sur un écran. – Une image ponctuelle virtuelle est située avant la face de sortie du système optique, à l’intersection du prolongement des rayons émergents. Elle n’est pas observable sur un écran. Système optique A" a.o. Système A" a.o. optique centré centré Figure 12 – Image ponctuelle réelle située à distance finie sur l’a.o. 1.2.4 Figure 13 – Image ponctuelle virtuelle située à distance finie sur l’a.o. Résumé Dans le cas d’un miroir les faces d’entrée et de sortie sont confondues. Il faut prendre garde au fait que les directions incidente et réfléchie sont opposées. Espace Image Virtuelle Face d’entrée du S.O. Sens de la lumière incidente Espace Image Réelle S.O. en Sens Transmission de la lumière transmise (dioptrique) Espace Objet Réel Face de sortie du S.O. Espace Objet Virtuel Figure 14 – Système optique dioptrique S. Bénet Espace Image Réelle Sens de la lumière transmise Sens de la lumière incidente Espace Image Virtuelle Face d’entrée du S.O. S.O. en Réflexion (catadioptrique) Face de sortie du S.O. Espace Objet Réel Espace Objet Virtuel Figure 15 – Système optique catadioptrique 4/10 2 Stigmatisme et aplanétisme rigoureux 2.1 Définitions du stigmatisme rigoureux et de l’aplanétisme rigoureux • On dit qu’un système optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A! ) si tout rayon passant par A émerge du système optique en passant par A! . ! SO A! est l’image de A par le système optique Schéma de conjugaison : A −→ A! ! A et A sont deux points conjugués • On dit qu’un système optique centré est rigoureusement aplanétique si pour tout objet étendu AB plan et perpendiculaire à l’axe optique son image A! B ! est plane et perpendiculaire à l’axe optique. 2.2 Stigmatisme et aplanétisme rigoureux du miroir plan • Un miroir plan est une surface plane recouverte d’un mince dépôt métallique réfléchissant. A! A • Mise en évidence du stigmatisme et de l’aplanétisme rigoureux du miroir plan à partir d’une simulation numérique : On constate que l’image A! B ! d’un objet AB est le symétrique de cet objet par rapport au miroir plan. B! B Le miroir plan vérifie la propriété de stigmatisme rigoureux pour tout point de l’espace et la propriété d’aplanétisme rigoureux. Figure 16 – Simulation numérique sur le miroir plan • Soient deux points A et A! conjugués par le miroir plan : Mp A −→ A! La relation de conjugaison s’écrit : A H A! HA! + HA = 0 Figure 17 – Contruction de l’image A! de A en introduisant H le projeté orthogonal de A sur le miroir plan. par un miroir plan On a HA! > 0 et HA < 0 S. Bénet 5/10 3 Stigmatisme et aplanétisme approché. Conditions de Gauss 3.1 Mise en évidence 3.1.1 Cas des miroirs sphériques Miroir sphérique Miroir sphérique S S F C F C Figure 18 – Simulation numérique montrant le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour C Figure 19 – Simulation numérique montrant le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour S La simulation numérique montre que le miroir sphérique est rigoureusement stigmatique pour son centre C : La simulation numérique montre que le miroir sphérique est rigoureusement stigmatique pour son sommet S : M M s C −→ C s S −→ S Miroir sphérique A S F C Figure 20 – Simulation numérique montrant que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel quelconque La simulation numérique montre que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel quelconque. S. Bénet 6/10 Miroir sphérique Miroir sphérique S S F F A! A C Diaphragme Diaphragme Figure 21 – Simulation numérique montrant que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel situé sur l’a.o. A C Figure 22 – Simulation numérique montrant que lorsqu’on ne considère que des rayons peu inclinés par rapport à l’a.o. le miroir sphérique vérifie la propriété de stigmatisme approché pour le couple de points (A, A! ) La simulation numérique montre que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel situé sur l’a.o.. Cependant, si à l’aide d’un diaphragme, on ne considère que les rayons faiblement inclinés par rapport à l’a.o. le miroir sphérique donne une image A! de A. Le miroir sphérique vérifie dans ces conditions la propriété de stigmatisme approché pour le couple de points (A, A! ). La démonstration sera réalisée dans le chapitre O4. Miroir sphérique Miroir sphérique S S F F C Diaphragme Figure 23 – Simulation numérique montrant que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel situé à l’infini dans la direction de l’a.o. C Diaphragme Figure 24 – Simulation numérique montrant que lorsqu’on ne considère que des rayons proches de l’a.o. le miroir sphérique vérifie la propriété de stigmatisme approché pour le couple de points (A∞ , A! ≡ F ) La simulation numérique montre que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel situé à l’infini dans la direction de l’a.o. du miroir sphérique. Cependant, si à l’aide d’un diaphragme, on ne considère que les rayons proches de l’a.o. le miroir sphérique donne une image A! ≡ F de A∞ . Le miroir sphérique vérifie dans ces conditions la propriété de stigmatisme approché pour le couple de points (A∞ , A! ≡ F ). S. Bénet 7/10 3.1.2 Cas des lentilles Lentille sphérique A Figure 25 – Simulation numérique montrant que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel quelconque La simulation numérique montre que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel quelconque. Diaphragme Diaphragme Lentille sphérique Lentille sphérique A A Figure 26 – Simulation numérique montrant que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel situé sur l’a.o. A! Figure 27 – Simulation numérique montrant que lorsqu’on ne considère que des rayons peu inclinés par rapport à l’a.o. la lentille sphérique vérifie la propriété de stigmatisme approché pour le couple de points (A, A! ) La simulation numérique montre que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel situé sur l’a.o.. Cependant, si à l’aide d’un diaphragme, on ne considère que les rayons faiblement inclinés par rapport à l’a.o. la lentille sphérique donne une image A! de A. La lentille sphérique vérifie dans ces conditions la propriété de stigmatisme approché pour le couple de points (A, A! ). Diaphragme Lentille sphérique Diaphragme Lentille sphérique A! Figure 28 – Simulation numérique montrant que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel situé à l’infini dans la direction de l’a.o. S. Bénet Figure 29 – Simulation numérique montrant que lorsqu’on ne considère que des rayons proches de l’a.o. la lentille sphérique vérifie la propriété de stigmatisme approché pour le couple de points (A∞ , A! ≡ F ! ) 8/10 La simulation numérique montre que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel situé à l’infini dans la direction de l’a.o.. Cependant, si à l’aide d’un diaphragme, on ne considère que les rayons proches de l’a.o. la lentille sphérique donne une image A! ≡ F ! de A∞ . La lentille sphérique vérifie dans ces conditions la propriété de stigmatisme approché pour le couple de points (A∞ , A! ≡ F ! ). 3.1.3 Cas du dioptre plan On démontre que le dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel quelconque (c.f. exercice n°1 du TD O2). 3.2 Conditions de l’approximation de Gauss Aucun système optique, excepté le miroir plan, n’est rigoureusement stigmatique pour tout point de l’espace. Cependant, pour les système optiques centrés, on peut obtenir un stigmatisme approché en ne laissant pénétrer dans le système que les rayons paraxiaux, c’est-à-dire proches de l’axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci. Ces conditions, dites de Gauss, se réalisent pratiquement à l’aide d’un diaphragme et en observant des objets petits et/ou éloignés. y y = sin x y 1 2 y=x x (rad) −π −2π 3 π 3 −π 3 1 2π 3 π y = x2 y = 1 − cos x x (rad) −1 −π −2π 3 −π 3 π 3 2π 3 π Dans les conditions de l’approximation de Gauss, les calculs seront réalisés en considérant tous les angles petits (α $ 1 avec α exprimé en radians). On pourra alors écrire : sin α % α 4 ; cos α % 1 ; tan α % α Caractéristiques d’un système optique centré 4.1 Foyers et plans focaux • Les systèmes optiques centrés, utilisés dans les conditions de Gauss, possèdent deux points particuliers : – le foyer principal objet F dont l’image par le système est à l’infini dans la direction de l’axe optique SO F −→ A!∞ – le foyer principal image F ! , image par le système d’un point objet situé à l’infini dans la direction de l’axe optique SO A∞ −→ F ! S. Bénet 9/10 Si ces deux points sont à l’infini, le système est afocal et vérifie SO A∞ −→ A!∞ • Le plan passant par F et perpendiculaire à l’axe optique est le plan focal objet. Le plan passant par F ! et perpendiculaire à l’axe optique est le plan focal image. • D’après la propriété d’aplanétisme : – en dehors de F ! , tout point du plan focal image est appelé foyer image secondaire ϕ! et est l’image d’un point objet situé à l’infini dans une direction différente de celle de l’axe optique SO ! ϕ −→ B∞ – en dehors de F , tout point du plan focal objet est appelé foyer objet secondaire ϕ et son image est un point situé à l’infini dans une direction différente de celle de l’axe optique SO B∞ −→ ϕ! 4.2 Grandissement transversal d’un système optique Soient un objet AB plan et perpendiculaire à l’a.o. et A! B ! son image par le système optique. Le grandissement transversal du système optique est défini par : γ= A! B ! AB Si γ > 0, l’image est droite, c’est-à-dire de même sens que l’objet. Si γ < 0, l’image est renversée. 4.3 Grossissement d’un système optique Le grossissement d’un système optique est défini par : avec # " !" "θ " G = "" "" θ θ! diamètre angulaire sous lequel est vue l’image de l’objet à travers le système optique θ diamètre angulaire sous lequel l’objet est vu à l’œil nu B" B B Système θ A A" A θ" optique a.o. centré Figure 30 – Objet vu à l’œil nu S. Bénet Figure 31 – Objet vu à travers le système optique 10/10