Induction

Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Chapitre VIII
Induction électromagnétique
VIII.a.
Cas de Lorentz
Considérons un circuit électrique C(t) filiforme, fermé et se déplaçant, par rapport à un référentiel galiléen
R, dans un champ électrostatique et un champ magnétique stationnaire. Ce circuit peut se déformer mais
sa constitution est constante (c.-à-d. qu’il est toujours constitué des mêmes éléments). Ce cas est dit « de
Lorentz ».
Notons ~
ve la vitesse d’entraînement d’un élément d̄`~ du conducteur par rapport à R. Une charge ponctuelle
se déplaçant dans cet élément à la vitesse ~
v par rapport à R est soumise à la force par unité de charge
~f = E
~+~
~
v × B,
(VIII.1)
~ et B
~ sont les champs électrique et magnétique dans l’élément. Par définition, la « force » électromotrice ※1
où E
de l’ensemble du circuit vaut
I
~f · d̄`.
~
=
(VIII.2)
Notons ~
vr la vitesse de la charge relativement à la portion de conducteur où elle se trouve. Puisque
−−→
~ = −−
E
grad V et que ~
v=~
vr + ~
ve , on a
I
I
I
−−−→
~
~
~
~
~ · d̄`.
=
−grad V · d̄` +
(~
vr × B) · d̄` +
(~
ve × B)
(VIII.3)
H −−−→
H
~ · d̄`~ = 0 car ~
Or grad V · d̄`~ = dV = 0. Par ailleurs, (~
vr × B)
vr est parallèle à d̄`~ dans un circuit filiforme.
On obtient ainsi une autre expression de la f.é.m. totale :
I
~f m · d̄`,
~
=
(VIII.4)
où ~f m est le champ électromoteur. Dans le cas de Lorentz, celui-ci vaut
~f m = ~
~
ve × B.
(VIII.5)
~c · B,
~ · d̄`~ dt = (d̄`~ × ~
~ = (d̄`~ × d~r) · B
~ = −d̄2 S
~
(~
ve × B)
ve dt) · B
(VIII.6)
~ · d̄`~ par dt. On a
Multiplions (~
ve × B)
~c est la surface coupée par cet
où d~r = ~
ve dt est le déplacement de l’élément d̄`~ de circuit pendant dt, d̄2 S
2
2
~c est le flux coupé (cf. § VII.b.3). On a donc
~ · d̄ S
élément et d̄ Φc = B
I
dt = − d̄2 Φc = −d̄Φc ,
(VIII.7)
où d̄Φc est le flux coupé par l’ensemble du circuit. Dans le cas de Lorentz, la f.é.m. a pour expression
=−
d̄Φc
.
dt
(VIII.8)
dΦ
.
dt
(VIII.9)
!
~ est le flux du
~ · d̄S
Le champ magnétique étant stationnaire, on a dΦ = d̄Φc (cf. § VII.b.4), où Φ = S B
champ magnétique à travers une surface S quelconque s’appuyant sur le circuit. On a donc également
=−
1.
. . . qui, en dépit de son nom, a la dimension d’une tension et non d’une force. On l’appelle d’ailleurs parfois « électromotance »
pour éviter la confusion avec une vraie force. Nous utiliserons plutôt l’abréviation f.é.m.
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Dans un conducteur ohmique de conductivité γ, la densité de courant vaut
−−−→
~ + ~f m ),
~ = γ ~f = γ (−grad V + ~
vr × B
d’où l’on déduit que, sur une portion CD de circuit de résistance RCD ,
Z D
Z
−−−→
~
~
~
RCD I =
(−grad V + ~
vr × B + f m ) · d̄` = VC − VD +
C
D
~f m · d̄`.
~
(VIII.10)
(VIII.11)
C
Sur la totalité d’un circuit fermé (C = D), on obtient ainsi
R I = ,
(VIII.12)
où R est la résistance totale. Le champ électromoteur produit donc un courant, ce dont le champ électrostatique
−−−→
−grad V est incapable dans un circuit fermé.
VIII.b.
1.
Cas de Neumann
Changement de référentiel
Reprenons le cas précédent et supposons que la forme du circuit ne change pas, c.-à-d. qu’il se comporte
comme un solide rigide : on peut alors définir un référentiel R0 dans lequel il est fixe (le « référentiel du
circuit »). Supposons en outre que le circuit se déplace à une vitesse uniforme par rapport à R, sans rotation ;
dans ce cas, R0 est également galiléen.
D’après la section précédente, une f.é.m. n’apparaît que si le flux coupé n’est pas nul, c.-à-d., puisque le
circuit ne se déforme, seulement si le champ magnétique n’est pas uniforme. Le circuit « perçoit » alors un
~ soit stationnaire dans le référentiel R.
champ magnétique variable au cours de son déplacement, bien que B
0
0
Plaçons-nous dans le référentiel R du circuit. La vitesse ~
ve du circuit par rapport à R0 étant nulle et le
0
référentiel R étant galiléen, une charge est soumise à la force par unité de charge
~f = E
~ 0 + (~
~0 = E
~0 + ~
~ 0,
vr + ~
ve0 ) × B
vr × B
~ 0 et B
~ 0 sont les champs électrique et magnétique dans R0 . La f.é.m. vaut
où E
I
I
I
I
0
0
~
~
~
~
~
~ 0 · d̄`,
~
~
E
E · d̄` +
(~
vr × B ) · d̄` =
=
f · d̄` =
(VIII.13)
(VIII.14)
~ L’expression de la f.é.m. diffère de celle obtenue précédemment, mais sa valeur doit
car ~
vr est parallèle à d̄`.
être la même car détermine le mouvement des charges mobiles par rapport au conducteur, pas par rapport à
−−→
~ 0 doit donc comporter une autre composante que le champ électrostatique −−
R. Le champ électrique E
grad V 0 .
2.
Équation de Maxwell-Faraday
Considérons maintenant un circuit de forme constante, immobile (donc ~
ve = ~0), dans un champ magnétique variable ; ce cas est dit « de Neumann ». D’après ce qui précède, la f.é.m. totale est donnée par l’expres~0 = E
~ puisque R0 = R.
sion (VIII.14) avec E
Les expériences de Faraday ont montré que la relation
dΦ
dt
=−
reste valable. Or
I
C
~ · d̄`~ =
E
et
dΦ
=
dt
"
S
"
S
−→ ~ ~
rot E · d̄S
~
∂B
~
· d̄S
∂t
(la dérivée et l’intégrale peuvent être permutées car le circuit est fixe), donc
"
"
~
∂B
−→ ~ ~
~
rot E · d̄S = −
· d̄S.
S
S ∂t
Ceci étant vrai pour toute surface, on a
~
∂B
−→ ~
rot E = −
.
∂t
73
(VIII.15)
(VIII.16)
(VIII.17)
(VIII.18)
(VIII.19)
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Cette équation porte le nom d’équation de Maxwell-Faraday. Elle se réduit pour des champs stationnaires
−−→
−→ ~ ~
~ = −−
à rot E
= 0, laquelle équivaut à l’existence d’un potentiel V tel que E
grad V.
~ = 0 est en revanche vraie même pour un champ non stationnaire. Il existe donc un
L’équation div B
→~
~ tel que B
~=−
potentiel vectoriel A
rot A,
d’où
−→ ~
∂ rot A
−→ ~
rot E = −
.
∂t
La dérivée par rapport à t et le rotationnel peuvent être permutés, donc


~ 
−→ ~ ∂A
 = 0.
rotE +
∂t 
(VIII.20)
(VIII.21)
Dans le cas le plus général, il existe donc un potentiel scalaire V (qu’on ne peut plus qualifier d’« électrostatique ») tel que
~
−−→
~ + ∂ A = −−
grad V,
(VIII.22)
E
∂t
soit
~
−−−→
~ = −grad V − ∂A .
E
(VIII.23)
∂t
VIII.c.
1.
Cas général
Champ électromoteur et force électromotrice d’induction
Les cas de Lorentz et de Neumann sont deux manifestations d’un même phénomène physique, l’induction
électromagnétique.
Dans le cas général où le circuit peut se déplacer et se déformer dans un champ magnétique variable, la
force par unité de charge vaut
−−→
~f = −−
~ + ~f m ,
~r × B
grad V + v
(VIII.24)
où
~
~f m = − ∂A + v
~
~e × B
∂t
est le champ ※2 électromoteur d’induction.
La f.é.m. d’induction ※3 totale d’un circuit filiforme fermé vaut
I
~f m · d̄`.
~
=
(VIII.25)
(VIII.26)
~ ne contribue pas à la f.é.m. dans un circuit filiforme ; il est
Comme mentionné précédemment, le terme ~
vr × B
par ailleurs généralement négligeable devant les autres termes de ~f et peut donc souvent être omis dans la
loi d’Ohm locale généralisée, ~ = γ ~f ※4 .
On peut de même définir la f.é.m. d’une portion CD de circuit par
Z D
~f m · d̄`.
~
CD =
(VIII.27)
C
−−→
~
~ en −−
Nous verrons toutefois au § IX.a.2 que la décomposition de E
grad V et −∂A/∂t
n’est pas unique, mais
est fonction de la « jauge » choisie ; la f.é.m. CD et la différence de potentiel VC − VD en dépendent donc aussi
(mais pas leur somme). Pour un circuit fermé, la f.é.m. totale est en revanche bien définie.
2.
3.
4.
Cette désignation est abusive car un champ ne devrait dépendre que de la position et du temps, pas de la vitesse.
Nous précisons « d’induction » car d’autres phénomènes peuvent provoquer l’apparition d’une f.é.m. : les réactions chimiques à
l’anode et à la cathode d’une pile, par exemple.
Ceci n’est en revanche plus vrai dans un plasma ; bien sûr, les notions de circuit et de f.é.m. n’ont alors guère de sens.
Dans l’effet Hall, qui se produit dans des conducteurs non filiformes parcourus par des courants et plongés dans un champ
~
magnétique, il est également essentiel de tenir compte du terme ~
vr × B.
74
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2.
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Loi de Faraday
Montrons que la relation = −dΦ/dt, démontrée dans le cas de Lorentz, obtenue expérimentalement dans
le cas de Neumann et d’où l’on a dérivé la loi de Maxwell-Faraday, reste valable dans le cas général, du moment
que le circuit est fermé et que sa constitution est constante.
Au premier ordre en dt,


"
"
~ 

∂B
~
~


~
~ · d̄S
Φ(t + dt) − Φ(t) =
B(t)
B[t] + ∂t dt · d̄S −
S(t+dt)
S(t)
! "
"
"
−→ ~
∂ rot A
~
~
~
~
~
B[t] · d̄S +
B[t] · d̄S −
dt · d̄S.
(VIII.28)
=
∂t
S(t+dt)
S(t)
S(t+dt)
~ est pris au même instant
Le terme entre parenthèses est l’opposé du flux coupé par le circuit pendant dt, car B
(cf. éq. (VII.35)) :
"
"
I
I
~
~
~
~
~
~
~ · (d̄`~ × ~
B(t) · d̄S −
B(t) · d̄S = −
B(t) · (d̄` × d~r) = −
B(t)
ve dt)
S(t+dt)
S(t)
C(t)
C(t)
I
~
~
= −dt
(~
ve × B[t])
· d̄`.
(VIII.29)
C(t)
D’après le théorème de Stokes, l’autre terme vaut
I
"
~
~
∂A
−→ ∂A
~
~
· d̄S(t) = dt
· d̄`.
dt
rot
∂t
C(t+dt) ∂t
S(t+dt)
On obtient donc
I

Φ(t + dt) − Φ(t) = −dt 
C(t)
~
[~
ve × B(t)]
· d̄`~ −
I
C(t+dt)
soit, en divisant par dt et en prenant la limite quand dt → 0,

I 
~ 

dΦ
∂A
~

 · d̄`.
~
=
−
ve × B(t) −
~
dt
∂t 

~

∂A
· d̄`~,
∂t
(VIII.30)
(VIII.31)
(VIII.32)
D’après les équations (VIII.26) et (VIII.25), on a donc
=−
dΦ
dt
.
(VIII.33)
Cette relation porte le nom de loi de Faraday.
~:
~ plutôt que de A
Il est souvent plus commode d’exprimer le terme dépendant du temps en fonction de B
I
"
~
~
∂A
∂B
~
−
· d̄`~ = −
· d̄S.
(VIII.34)
∂t
∂t
La loi de Faraday ne doit pas être utilisée si le circuit n’est pas fermé, filiforme ou si sa constitution
n’est pas constante (on parle alors de commutation ou de substitution du circuit). Il faut alors revenir à
l’expression (VIII.26) de en fonction du champ électromoteur.
3.
Application : roue de Barlow
La roue de Barlow est un disque conducteur pouvant tourner dans un champ magnétique autour d’un
axe et reliée à un circuit en deux points : un sur l’axe et l’autre par un contact glissant situé à la périphérie
~z l’axe de rotation, ω
~z la vitesse de rotation,
~ = ωu
du disque. Notons O le centre du disque, a son rayon, u
~
~z le champ magnétique, supposé uniforme et stationnaire, et R la résistance du circuit.
B = Bu
Lorsque la roue tourne, une f.é.m. apparaît et un courant d’intensité I = /R parcourt le circuit. Le circuit
H
~ Dans
n’étant pas de constitution constante (le point de contact change), on doit utiliser la relation = ~f m · d̄`.
la roue, I se subdivise en courants d̄I reliant l’axe au contact glissant. Soit d̄`~ une portion de chemin suivie
.
~φ = ρ ω u
~φ
par d̄I et située en un point P de coordonnées cylindriques (ρ, φ). La vitesse de P vaut ~
ve = ρ φ u
※5
~
~
~
et d̄` = dρ uρ + ρ dφ uφ . Quel que soit le chemin, la f.é.m. vaut
I
I
Z a
ω B a2
~
~
~
~
.
(VIII.35)
=
(~
ve × B) · d̄` =
(d̄` × ~
ve ) · B =
ρ dρ ω B =
2
ρ=0
5.
La f.é.m. a un sens ici, bien que le circuit ne soit pas filiforme, car elle a la même valeur quelle que soit la ligne de courant suivie.
~ n’étaient pas parallèles.
~ et B
Ce ne serait pas le cas si ω
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(L’intégrale sur le contour fermé se réduit à une intégrale sur le disque car ~
ve = ~0 hors de celui-ci.)
~
La force de Laplace subie par l’élément d̄` vaut
~ = d̄I d̄`~ × B
~ = −d̄I dρ B u
~φ + d̄I ρ dφ B u
~ρ ,
d̄2 F
(VIII.36)
~
et le moment par rapport à O sur d̄`,
−→
~(O) = −
~ = −ρ dρ d̄I B u
~z .
d̄2 Γ
OP × d̄2 F
(VIII.37)
En intégrant,
~(O) = −
Γ
Z IZ
a
ρ=0
0
~z = −
ρ dρ d̄I B u
I B a2
ω B2 a4
~z = −
~z .
u
u
2
4R
(VIII.38)
~ : il freine donc la rotation de la
Le moment exercé par la force de Laplace sur la roue est de sens opposé à ω
roue. Ce phénomène est utilisé pour aider certains camions à ralentir.
Inversement, en insérant un générateur dans le circuit, on mettrait en mouvement la roue et on obtiendrait
un moteur.
VIII.d.
Inductances
Considérons deux circuits filiformes Cα et Cβ fermés ou quasi-fermés (cas d’une bobine), parcourus par
des courants stationnaires Iα et Iβ . Le flux du champ créé par Iβ à travers Cα vaut ※6
I
"
I
I
d̄`~β
µ0 Iβ
~
~
~
~
· d̄`~α = Lα, β Iβ ,
(VIII.39)
Φα, β =
Bβ (Pα ) · d̄Sα =
Aβ (Pα ) · d̄`α =
Pβ ∈Cβ Pβ Pα
Pα ∈Sα
Pα ∈Cα
Pα ∈Cα 4 π
où
Lα, β
µ0
=
4π
I
d̄`~β · d̄`~α
I
Pα ∈Cα
Pβ ∈Cβ
(formule de Neumann).
Pβ Pα
(VIII.40)
L’expression de Lα, β faisant jouer des rôles symétriques aux points Pα de Cα et aux points Pβ de Cβ ,
Lα, β = Lβ, α .
(VIII.41)
Cette quantité est appelée [coefficient d’]inductance mutuelle entre les deux circuits. Ce coefficient ne dépend
que de la géométrie du système. Son unité dans le système international est le henry (symbole « H »).
Le circuit Cα produit non seulement un flux à travers Cβ , mais également à travers lui-même. L’expression (VIII.40) fait apparaître des quantités infinies quand on prend Cβ = Cα . En raison des termes « 1/Pα Pβ »,
on doit considérer le circuit comme un volume Vα et non plus comme un fil pour exprimer le champ ou le
potentiel. On a
!
"
I
I
$
µ0 ~α (P0 )
~
~
~
~
~
Φα, α =
Bα · d̄S =
Aα · d̄` =
d̄τ · d̄`,
(VIII.42)
0
Sα
Cα
P∈Cα
P0 ∈Vα 4 π P P
où d̄`~ est un élément de longueur autour de P et d̄τ un élément de volume autour de P0 . En permutant les
intégrales, on obtient
!
!
$
I
$
I
µ0
µ0 Iα
1
0
0
~
~
~
~
Φα, α =
α (P ) ·
d̄` d̄τ =
α (P ) ·
d̄` d̄τ
0
0
Iα
P∈Cα 4 π P P
P∈Cα 4 π P P
P0 ∈V
P0 ∈Vα
$α
1
~α d̄τ.
~α · A
(VIII.43)
=
Iα
Vα
~α qu’elle produit sont tous deux proportionnels
La densité de courant ~α dans un circuit filiforme et le potentiel A
à l’intensité Iα parcourant le circuit, donc
Φα, α = Lα, α Iα ,
(VIII.44)
où
Lα, α =
1
Iα2
$
Vα
~α d̄τ
~α · A
(VIII.45)
est une constante appelée inductance propre (ou auto-inductance) de Cα .
Comme
"
"
X
X
~=
~=
~ · d̄S
~ β (P) · d̄S
Φα =
B
B
Φα, β ,
Sα
6.
P∈Sα
β
(VIII.46)
β
Remarquer que l’on utilise dans ce qui suit la loi de Biot et Savart hors du domaine de la magnétostatique ! Les résultats ne sont
donc qu’approchés.
76
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on a
Φα =
X
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Lα, β Iβ ,
(VIII.47)
[Φα ] = [Lα, β ] [Iβ ].
(VIII.48)
β
ou, sous forme matricielle,
[Lα, β ] est la matrice inductance.
On peut de la même manière montrer que
$
$
1
~α (Pβ ) d̄τβ = 1
~β (Pα ) d̄τα .
~β (Pβ ) · A
~α (Pα ) · A
Lα, β =
Iα Iβ
Iα Iβ
Pβ ∈Vβ
Pα ∈Vα
−→ ~
Remplaçons ~α par rot B
α /µ0 dans cette expression. Comme
−→
−→
div(~a × ~b) = ~b · rot ~a − ~a · rot ~b,
on a
Lα, β =
1
µ0 Iα Iβ
1
=
µ0 Iα Iβ
$
$
(VIII.49)
(VIII.50)
−→ ~
~β (Pα ) d̄τα
rot Bα (Pα ) · A
Pα ∈Vα
→~
~ α (Pα ) · −
B
rot A
β (Pα ) d̄τα +
Pα ∈Vα
1
µ0 Iα Iβ
$
~β [Pα ] × B
~ α [Pα ]) d̄τα .
div(A
(VIII.51)
Pα ∈Vα
La densité de courant ~α étant nulle hors de Vα , sur tout volume V0 ⊃ Vα ,
$
$
1
1
~β [Pα ] × B
~
~
~ α [Pα ]) d̄τα ,
Lα, β =
Bα (Pα ) · Bβ (Pα ) d̄τα +
div(A
(VIII.52)
µ0 Iα Iβ
µ0 Iα Iβ
Pα ∈V0
Pα ∈V0
→~
~=−
où l’on a par ailleurs utilisé le fait que B
rot A.
Soit S0 la surface de V0 . D’après le théorème d’Ostrogradski,
$
~
~β [Pα ] × B
~α .
~
~ α [Pα ]) · d̄S
div(Aβ [Pα ] × Bα [Pα ]) d̄τα =
(A
(VIII.53)
Pα ∈V0
Pα ∈S0
~β = O(1/r) et B
~ β = O(1/r2 ), donc en prenant pour S0 une sphère de rayon r, on obtient
Or A
~β [Pα ] × B
~α = 0.
~ α [Pα ]) · d̄S
lim
(A
r→0
Une autre expression de Lα, β est donc
Lα, β =
(VIII.54)
Pα ∈S0
1
µ0 Iα Iβ
$
En particulier,
Lα, α
~ α (Pα ) · B
~ β (Pα ) d̄τα .
B
(VIII.55)
Pα ∈f
1
=
µ0 Iα2
$
Pα ∈f
B2α (Pα ) d̄τα ,
(VIII.56)
donc
Lα B Lα, α > 0.
(VIII.57)
L’expression (VIII.55) possédant les propriétés d’un produit scalaire, le théorème de Cauchy-Schwartz permet
d’affirmer que
q
|Lα, β | 6 Lα Lβ
(VIII.58)
pour i , j. Dans les circuits électriques, les composants dont l’inductance est la plus forte sont les bobines
et l’influence entre celles-ci est généralement négligeable. On a alors Lα, β ≈ 0 pour i , j et
Φα ≈ Lα Iα ,
(VIII.59)
d’où α = −Lα dIα /dt en supposant la bobine rigide.
Dans les transformateurs (voir ci-dessous), on cherche au contraire à avoir un couplage maximal entre les
bobines.
1.
Inductance propre d’un solénoïde
~z et de longueur `
Considérons un solénoïde parcouru par un courant I, constitué de N spires d’axe u
suffisamment grande par rapport à son rayon R pour que l’on puisse admettre que le champ dans l’espace
77
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intérieur a la même valeur que pour un solénoïde infini,
~ int = µ0 N I u
~z ,
B
`
et qu’il est nul à l’extérieur. Le flux à travers chaque spire vaut
(VIII.60)
µ0 N I π R2
.
`
= N Φspire , donc son inductance propre est
~ int · π R2 u
~z =
Φspire = B
Le flux propre à travers le solénoïde vaut donc Φsol
Lsol =
2.
µ0 N2 π R2
.
`
(VIII.61)
(VIII.62)
Transformateurs
Un transformateur est un ensemble de deux bobines fortement couplées. Pour assurer ce couplage, on peut
par exemple les enrouler côte à côte autour d’une même barre de fer doux ※7 . Sans rentrer dans les détails,
ce dernier permet de canaliser le champ magnétique produit par les bobines. Le flux du champ magnétique
est donc quasiment le même à travers une section de l’une ou l’autre bobine. Le couplage entre elles est alors
quasi maximal et L2α, β ≈ Lα Lβ .
En convention générateur et en négligeant leurs résistances, les tensions aux bornes des bobines valent
Uα = −α =
dIβ
dΦα
dIα
= Lα
+ Lα, β
,
dt
dt
dt
(VIII.63)
où j , i. On en déduit que
Uα =
Lα, β
Lβ
Lα Lβ − L2α, β dIα
Lα, β
Uβ +
≈
Uβ =
Lβ
dt
Lβ
s
Lα
Uβ
Lβ
(VIII.64)
puisque le couplage est maximal. En assimilant les bobines à des solénoïdes, on obtient
Uα =
Nα
Uβ .
Nβ
(VIII.65)
Le dispositif permet donc, en jouant sur le rapport Nα /Nβ , de transformer la tension Uβ en tension Uα .
VIII.e.
Loi de Lenz
Orientons un circuit C fermé. Lorsque le flux Φext à travers ce circuit du champ magnétique créé par des
sources extérieures à C varie, une f.é.m. apparaît. Celle-ci crée dans le circuit un courant induit
I=
1 dΦext
=−
,
R
R dt
(VIII.66)
où R > 0 est la résistance totale du circuit. Le sens du courant induit est donc opposé au sens de variation
de Φext . Ce courant induit produit un champ magnétique dont le flux Φind à travers le circuit vaut
Φind = L I = −
L dΦext
,
R dt
(VIII.67)
où L est l’inductance propre de C. Celle-ci étant positive, on obtient la “loi” de Lenz :
Le courant induit produit des effets qui s’opposent aux causes qui lui ont donné naissance.
De manière plus explicite, Φind est de signe opposé à la variation de Φext .
VIII.f.
Énergie magnétique
On a vu au § V.f.2.b qu’une bobine d’inductance Lk parcourue par un courant d’intensité Ik emmagasine
une énergie
1
1
Ek =
Lk Ik2 =
Φ k Ik .
(VIII.68)
2
2
Vu (VIII.56), on obtient que
$
$
~k
B2k
~k · A
Ek =
d̄τ =
d̄τ.
(VIII.69)
2
f 2 µ0
courants
7.
On peut aussi les imbriquer. Le fer doux n’est alors pas nécessaire.
78
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Cette énergie porte le nom d’énergie magnétique. L’existence d’une énergie magnétique n’est pas contradictoire
avec l’absence de travail des forces magnétiques : elle provient du champ électrique induit par la variation
~ k quand l’intensité passe de 0 à Ik .
du champ B
Nous admettrons que le résultat obtenu pour une bobine peut être généralisé : pour toute distribution de
courants, une énergie magnétique
$
$
~
~ · A
B2
Emag =
d̄τ =
d̄τ
(VIII.70)
2
f 2 µ0
courants
est emmagasinée dans le volume parcouru par les courants ou, de manière équivalente, dans le champ. La
quantité B2 /(2 µ0 ) est la densité volumique d’énergie magnétique. Pour des courants Ik dans des circuits
filiformes Ck ,
1 X
Emag =
Φk Ik .
(VIII.71)
2 k
79