Extrait du livre - Editions Ellipses

0. Quelques rappels essentiels
Ce mini-paragraphe veut seulement rassembler les quelques pr´ erequis les
plus signiÀcatifs, pour les «faire remonter ` alasurface». Pour des raisons
de volume disponible, et parce que ces r´ esultats font partie des pr´ erequis,
ils sont donn´ es sans d´ emonstration ; le lecteur trouvera facilement dans la
litt´ erature ces r´ esultats classiques.
0.1. Corps et anneaux — Les structures alg´ ebriques au centre de cet
ouvrage sont les corps Ànis, essentiellement en caract´ eristique 2. Nous en
rappelons le b-a-ba. On suppose que le lecteur sait qu’un anneau quotient
Z[X]/f,o
`
ufest un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ ed,estuncorps` a
pd´
el´ ements, et que ce corps contient canoniquement un z´ ero de f;c’est
un corps de rupture de f;lepluspetitcorpsdanslequelfse factorise en
produits lin´ eaires est le corps de d´ ecomposition de f.
Proposition 0.1. — Soit Kun corps Àni de caract´ eristique p.
L’application K→K,t→ tp, est un automorphisme de Kqui Àxe Z/pZ
(l’automorphisme de Frobenius).
Proposition 0.2. — [Th´ eor` eme de Wedderburn] — Tout corps Àni
est commutatif et son groupe multiplicatif est cyclique.
Un g´ en´ erateur du groupe multiplicatif d’un corps Àni est appel´ eun
´
el´ ement primitif. Cette notion est centrale en nombre d’endroits de l’ouvrage.
Nous utiliserons les lettres grecques α,β,γ,etδpour d´ esigner un ´ el´ ement
primitif d’un corps Àni.
Proposition 0.3. — Soit Kun corps Àni ` aq=pd´
el´ ements. Alors
il est un corps de d´ ecomposition de Xq−Xsur Z/pZ.Inversement,si
q=pd, un corps de d´
ecomposition de Xq−Xsur Z/pZest un corps ` aq
´
el´ ements.
1

Proposition 0.4. — Un corps Kde cardinal pdposs` ede un sous
corps de cardinal pcsi et seulement si cdivise d, et chacun de ces sous-corps
est unique. Pour chaque entier d>0et chaque nombre premier p,ilexiste
exactement un seul corps (` a isomorphie pr` es) de cardinal pd(on le note
Fpd).
Il r´ esulte de ces ´ enonc´ es que Fq=2m, outre 0 et 1, est form´
e exactement
des ´ el´ ements de la forme αk,1≤k≤q−2, pour au moins un ´
el´ ement
α, que αmest combinaison lin´
eaire de 1, α,α2,...,αm−1, que les corps
Ànis de caract´ eristique 2 peuvent essentiellement ˆ etre vus comme formant
un treillis0.1dont le plus grand ´
el´ ement, identiÀable ` alar
´
eunion des Fq=2k,
est la clˆ oture alg´ ebrique de F2.
Dans notre vocabulaire, anneau signiÀera anneau unitaire ; nous de-
mandons donc aux morphismes de pr´ eserver l’unit´ e, et aux sous-anneaux
de contenir l’unit´ e de l’anneau. Les anneaux qui nous concernent sont sou-
vent des anneaux de polynˆ omes. Rappelons qu’on appelle valuation d’un
polynˆ ome le degr´ e de son terme de plus petit degr´ e ; on note val (f)laval-
valuation
d’un
polynˆome uation d’un polynˆ
ome f. C’est une notion qui reviendra en de nombreux
endroits de cet opuscule.
Proposition 0.5. — Si Aest int` egre, A[X1,...,X
n],n>0,est
factoriel.
Un anneau est dit int` egre quand le produit de deux ´ el´ ements non nuls
est non nul. De mˆ eme que l’on construit Qcomme corps de fractions
de l’anneau int` egre Z, on construit formellement le corps de fractions de
tout anneau int` egre A. C’est le quotient de A×A\{0}par la relation
d’´ equivalence d´ eÀnie par (P, Q)≡(R, S)⇐⇒ PS =QR.On´ ecrit P
Q
ou encore P/Q pour d´ esigner la classe de (P, Q), et on parle de fractions.
L’addition en «passant au mˆ eme d´ enominateur»,P
Q+R S=PS +QR QS ,est
bien d´ eÀnie, de mˆ eme que le produit, P
Q×R S=PR QS .L’
´
el´ ement 0/1, qui
est la classe de (0,Q), est le neutre pour l’addition, et 1/1 le neutre pour
la multiplication ; chaque ´ el´ ement non nul est inversible, l’inverse de P/Q
(P=0)´ etant Q/P .On´ ecrit FApour d´
esigner le corps de fractions de A.
0.1Un treillis est un ensemble partiellement ordonn´
e dans lequel chaque paire
admet une borne sup´ erieure et une borne inf´ erieure.
2

Un anneau int` egre Ase plonge canoniquement dans son corps de fractions
par t→ t
1; nous notons iAce plongement.
Proposition 0.6. — Tout corps Kcontenant un anneau int` egre
Acontient canoniquement son corps de fraction : si j:A→Kinjecte
un anneau dans un corps K, alors il existe un unique homomorphisme
u:FA→Ktel que j=u◦iA.
Proposition 0.7. — Si Aest factoriel et si f(x)∈A[x]est
irr´ eductible, alors fest aussi irr´ eductible dans FA[x].
Si pest un id´ eal premier de A, l’ensemble des fractions dont le localis´e
de Aen p
d´ enominateur n’appartient pas ` apforment un anneau, le localis´ edeA
en p,Ap. Les localis´ es Apsont des exemples d’anneaux qui n’ont qu’un anneau
local
seul id´ eal maximal. Ces anneaux sont dits locaux. Un anneau int` egre Aest
dit valu´ eson corps de fraction ou son inverse est dans A; un anneau valu´ eanneau
valu´e
est local.
Une autre notion d’alg` ebre commutative que le lecteur rencontrera est
celle de radical ; le radical d’un id´ eal Id’un anneau commutatif Aest radical
l’ensemble des ´ el´ ements de Adont une puissance appartient ` aI.C’estun
id´ eal (v´ eriÀcation laiss´ ee au lecteur) ; un id´ eal est dit radical s’il contient
tous les ´ el´ ements dont il contient une puissance ; les id´ eaux radicaux jouent
un rˆ ole tr` es important en g´ eom´ etrie alg´ ebrique ; le lecteur pourra consulter id´eal
radical
[17] par exemple sur le Nullstellensatz de Hilbert,etdemani
`
ere plus
g´ en´ erale, [18] sur ces notions qu’il rencontrera dans la partie Boˆ ×te ` a outils
de l’ouvrage.
Une fonction f:Kn→Kest dite sym´
etrique si elle ne change pas de
valeur quand on permute ses arguments. En d´ eveloppant le polynˆ ome :
(X+x1)...(X+xn)=Xn+a1Xn−1+a2Xn−2+···+an,(P)
on v´ eriÀe que a1est la somme des xi, que a2est la somme des xixjpour
tous les couples (i, j) tels que i=j, que akest la somme de tous les produits
de xi1...x
ik, les indices ih´
etant deux ` a deux distincts, et que anest le
produit de tous les xi. On peut montrer que toute relation sym´
etrique est
une expression alg´ ebrique en les ai,`
acoefÀcients entiers. Par exemple,
x3
1+x3 2+x3 3=a3 1+a1a2+a3, ou encore 1
x1
+1
x2
+1
x3
=a2
a3
. Cela est en
somme de
Newton
particulier vrai des sommes de Newton sk=xk
1+xk 2+···+xk
n.
3

Proposition 0.8. — Les sommes de Newton et les coefÀcients
aidu produit (P) sont li´
es par les relations de Newton —se rappeler que
nous sommes en caract´ eristique 2— :0=s1+a1,0=s2+a1s1,... ,
0=sn+a1sn−1+···+an−1s1+nan.
0.2. Matrices de Vandermonde. R´ esultantes —
Le lecteur est suppos´ e connaˆ ×tre l’alg` ebre lin´ eaire enseign´ ee au premier
cycle universitaire. En particulier, tout ce qui concerne les d´ eterminants et
la dualit´ e doit lui ˆ etre assez familier. Les points particuliers suivants nous
seront utiles.
On appelle matrice de Vandermonde une matrice de la forme
⎛
⎜
⎜
⎝
x1x2... x
n
x2
1x2 2... x
2
n
.
.
..
.
.
xn
1xn 2... x
n
n
⎞
⎟
⎟
⎠
Son d´ eterminant est 1≤j≤nxj1≤i<j≤n(xj−xi) ; elle est donc inversible
si et seulement si les xisont non nuls et distincts. Nous nous int´
eresserons ` a
un cas particulier. Soit αun ´ el´ ement primitif de F2m(et posons n=2
m−1) ;
la matrice de Vandermonde V(x), pour x=αk,1≤k≤n−1, est la
matrice de Mn(Fq)determeg
´
en´ eral vij =x(i−1)(j−1) :
V(x)=
⎛
⎜
⎜
⎝
11... 1
1x ... x
n−1
.
.
..
.
.
1xn−1... x
(n−1)2
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Il est laiss´ e en exercice au lecteur de montrer que l’inverse de V(x)est
V(x−1).
Une autre application essentielle de l’alg` ebre lin´ eaire pour nous est la
r´ esultante de deux polynˆ omes. Nous nous restreignons ` a la situation suiv-
ante. Consid´ erons deux polynˆ omes homog` enes distincts et irr´ eductibles :
P=
0≤k≤m
akXkQ=
0≤k≤n
bkXk
de F2[Y,Z][X]F2[X, Y, Z], n’appartenant pas ` aF2[X, Y ];lesaket bk
sont des polynˆ omes homog` enes en (X, Y ), de degr´ es respectifs m−ket
4

n−k.` A quelle condition Pet Qont-ils une racine commune (x0,y
0,z 0)∈
P2(F2) ? Consid´
erons, Ek´
etant l’espace vectoriel sur le corps commutatif
K=F2(Y,Z) engendr´
eparlesXipour 0 ≤i≤k−1 et l’application
lin´ eaire : φ:En×Em→Em+n,(U, V )→ PU +QV .
Formons la matrice de φdans les bases canoniques (les monˆ omes
Xk):sapremi
`
ere colonne est form´ ee des coefÀcients de P(des polynˆ omes
homog` enes en (X, Y ), sa deuxi` eme de ceux de XP,san-i` eme de ceux de
Xn−1P,san+1-i
`
eme de ceux de QenÀnsaderni
`
ere de ceux de Xm−1Q.
On commence par ´ ecrire la diagonale principale, dont les npremiers termes
sont ´ egaux ` aa0,lesmsuivants `
abn; puis au-dessous de chaque a0il y a
un a1, au-dessous de chaque aiil y a un ai+1,.., jusqu’`
aam; au-dessus de
chaque bnil y a un bn−1, jusqu’`
ab0, ensuite des 0. C’est la matrice de
Sylvester des deux polynˆ omes. matrice de
Sylvester
S=(si,j )=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
pm0··· 0qn0··· ··· 0
.
.
.pm
....
.
..
.
.qn
....
.
.
.
.
..
.
....0.
.
..
.
........
.
.
.
.
..
.
.pm
.
.
..
.
....0
.
.
..
.
..
.
.q0
.
.
.qn
p0
.
.
..
.
.0q0
.
.
.
0p0
.
.
..
.
.0
....
.
.
.
.
.0
....
.
..
.
..
.
........
.
.
0··· 0p00··· ··· 0q0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Elle a m+nlignes et autant de colonnes. Le d´ eterminant de cette matrice
est la r´ esultante des deux polynˆ omes, not´ eR(P, Q). r´esultante
Si Pet Qavaient un diviseur commun Dde degr´ ed≥1enX, ce qui
est exclu par hypoth` ese, on aurait P=P∗Det Q=Q∗D,P∗et Q∗´
etant
de degr´ eenXrespectivement, inf´ erieur ou ´ egal ` am−1etn−1, donc
appartenant ` aEm, pour P∗,etEn, pour Q∗.Alorsφ(Q∗,P∗) serait nul, φ
ne serait pas injective et det(S) serait nul.
Proposition 0.9. — Si Pet Qsont des polynˆ omes de F2[Y,Z][X]
sans diviseurs communs, leur r´ esultante R(P, Q)∈F2[Y,Z]n’est pas le
polynˆ ome nul.
Proposition 0.10. — Soient P(X, Y, Z)et Q(X, Y, Z)de polynˆ o-
mes homog` enes de degr´ emet nrespectivement. Leur r´ esultante R(P, Q)est
5