Formalisme à base de matrices de transfert pour - CFTL 2012

13
ième
Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012
Formalisme à base de matrices de transfert pour la description
d’imagerie interférométrique en défaut de mise au point (ILIDS)
Huanhuan SHEN, Sébastien COETMELLEC, Gérard GREHAN et Marc BRUNEL
UMR CNRS 6614 CORIA, Avenue de l’Université, BP 12, 76801 Saint Etienne du Rouvray cedex
1 Introduction
L’information sur la taille des particules joue un rôle important dans la surveillance de processus
industriels, la modélisation de l’injection de la combustion, en météorologie, analyse médicale,
optimisation de processus en agriculture. Les techniques de diagnostic laser se sont beaucoup
développées, en particulier parce qu’elles peuvent être non intrusives: citons notamment
l’holographie, l’anémométrie phase Doppler, les Malvern, l’interférométrie d’arc en ciel, ou
l’imagerie interférométrique en défaut de mise au point (ILIDS : Interferometric Laser Imaging
Droplet Sizing).
L’ILIDS est appliquée à mesurer les tailles des gouttes transparentes dans un spray clairsemé à
travers une configuration relativement simple [1]. La configuration typique de l’ILIDS est rappelée à
la Fig1.
Fig1 : Configuration typique de l’ILIDS
Les faisceaux diffractés dans l’angle de diffusion θ sont collectés par une lentille sphérique.
L’angle de collection est noté α . Dans le plan image, deux « glare points » apparaissent tandis
que dans un plan en défaut de mise au point, les images des deux « glare points » se
chevauchent. Des franges d’interférence apparaissent dans la région superposée. En ILIDS, on
place le capteur CCD dans un plan en défaut de mise au point. L’information sur chaque particule
est confinée dans la tâche en défaut de mise au point [2], différenciée de l’holographie et du
Malvern. La taille de la tache est reliée à la position de la particule [3] et sa forme géométrique est
définie par l’ouverture du système optique. Une compression optique peut être réalisée afin
d’augmenter la concentration des particules mesurables [4]. La formule de l’ILIDS montrée
premièrement par Glantschnig et al. [5] dans l’approximation de l’optique géométrique se met sous
la forme de l’Equation(1).
⎞
2π ⎛⎜
m sin(θ / 2)
⎟
Δθ =
cos(θ / 2) +
λ ⎜⎝
m − 2m cos(θ / 2) + 1 ⎟⎠
−1
(1)
Elle exprime l’interfrange en fonction des caractéristiques de la goutte. Δθ , m sont l’espace
angulaire d’interfrange et l’indice de réfraction de la goutte. Le traitement d’image appliqué aux
images consiste à obtenir l’écart angulaire d’une interfrange, obtenu soit par le nombre de franges
[6], soit par la fréquence des franges [7] à partir des franges d’interférence. Les deux moyens ont
besoin d’une calibration et des difficultés existent : si l’on compte le nombre de franges, il est
difficile d’avoir l’angle de collection α , tandis que la fréquence des franges dépend des gouttes
mais aussi de différents coefficients liés à la géométrie du système de mesure [8]. Par ailleurs, la
plupart des configurations d’ILIDS utilisent un faisceau laser incident incliné par rapport à l’axe
optique et à son plan transverse, imposant une taille de la tache et un angle d’ouverture différents
selon les particules. Le problème sur la taille des taches peut être résolu avec une configuration de
Scheimpflug [6,7], mais l’autre reste non résolu. Si l’on souhaite généraliser l’utilisation
d’expériences ILIDS dans des configurations très variées, l’existence d’un simulateur général
capable de décrire tout système ILIDS devient nécessaire. Cet article présente l’élaboration d’un
simulateur d’expériences d’ILIDS très général, capable de donner accès aux relations théoriques
liant la géométrie du système, la nature des franges d’interférences, et les paramètres des gouttes.
2 Théorie du modèle
2.1 Théorie fondamentale
La théorie fondamentale de l’ILIDS est la propagation du champ électromagnétique à travers un
système optique complexe qui est décrite par l’intégrale de Huygens-Fresnel généralisée [9]. Les
éléments optiques changent la phase de l’onde et sont caractérisés par des éléments de matrices
A, B ,C , et D qui sont les éléments d’une matrice de transfert du système M tot . En notant le plan
de l’entrée et le plan du capteur ( x , y ), et ( ξ ,η ) respectivement, l’intégrale de Huygens-Fresnel
est donnée par l’Equation (2).
exp(i
G (ξ ,η ) =
2π
λ
L)
iλ B x B y
∫
ℜ
2
⎡ π
⎤
G0 ( x, y ) exp⎢i x ( A x x 2 − 2 xξ + D xξ 2 )⎥
⎣ λB
⎦
(2)
⎡ π
⎤
× exp⎢i
( A y y 2 − 2 yη + D yη 2 )⎥ dxdy
y
⎣ λB
⎦
L correspond au chemin optique suivant l’axe optique. A x , y , B x, y , D x , y sont les éléments de la
matrice M tot suivant les axes transverses x ou y.
2.2 Description du champ incident
G0 ( x, y ) est le champ incident exprimé dans le plan des particules. Sa formule rigoureuse est
donnée par la théorie de Lorenz-Mie. Dans la configuration de l’ILIDS, le faisceau diffusé est
essentiellement du à l’existence de deux « points sources » : les deux « glare points » ; à savoir le
rayon réfléchi et le rayon réfracté [10]. Cette hypothèse permet de faire une simplification sur
G0 ( x, y ) . L’hypothèse est que le champ incident d’une particule se compose par deux points
sources ponctuels, comme l’indique l’Equation (3).
G0 ( x, y ) = a1δ ( x − a, y ) + a2δ ( x − b, y )e iφ
(3)
Où a1 ,a2 sont les coefficients d’amplitude des deux « glare points » dépendant de l’angle de
diffusion. φ est le déphasage entre les deux « glare points ».
Fig2 : Deux « glare points » d’une goutte
Le schéma des deux glare points A et B pour une particule de diamètre d et d’indice m est montré
dans la Figure 2. Leurs positions relatives sont obtenues par optique géométrique : a =
d
sin( t ) ,
2
d
b = − cos(θ / 2) . La relation entre les angles t et θ est sin(t ) = m sin(t − θ / 2) . En conséquence
2
la distance entre les deux glare points est donnée par l’Equation (4) :
a−b=
⎞
m sin(θ / 2)
d ⎛⎜
⎟
cos(θ / 2) +
2
⎜
2
m + 1 − 2m cos(θ / 2) ⎟⎠
⎝
Le déphasage entre les 2 sources vaut φ =
(4)
2π d
[2 sin(θ / 2) − 2 cos(t ) + am cos(t − θ / 2)] − π . A
λ 2
partir de cette relation, nous avons comparé la distance entre les deux « glare points » en fonction
de la taille de la goutte obtenue par l’Equation (4) (pour un angle de diffusion θ = 69° ) ou par
reconstruction d’un hologramme des « glare points » calculé rigoureusement en utilisant la théorie
de Lorenz-Mie. La comparaison est présentée à la Fig3. Les relations d’optique géométrique sont
une bonne approximation.
Fig3 : Comparaison entre la théorie de Lorenz-Mie et l’optique géométrique sur la distance entre
les deux glare points par rapport au diamètre de la goutte
2.3 Description des matrices de transfert
La matrice de transfert d’un système optique décrit la façon dont sont déviés des rayons à travers
un système (en respectant les lois de réflexion et réfraction). La liaison entre la matrice de transfert
et la propagation du champ donnée par l’Equation(2) est démontrée via le principe de Fermat : les
rayons formant l’image suivent un chemin optique quasi-identique [9]. La matrice totale de la
configuration ILIDS de la Fig1 se décompose en trois parties : la matrice entre les gouttes et la
lentille M z1 , la matrice pour la lentille de distance focale image f M lentille , la matrice entre la lentille
et le capteur M z 2 . Leurs expressions sont données dans l’Equation suivante :
⎛ 1
⎛ 1 z1 ⎞
⎟⎟, M lentille = ⎜ − 1
M z1 = ⎜⎜
⎜
⎝ 0 1 ⎠
⎝ f
0 ⎞
⎟, M = ⎛⎜ 1 z 2 ⎞⎟
1 ⎟ z 2 ⎜ 0 1 ⎟
⎝
⎠
⎠
(5)
La matrice du système total est alors celle de l’Equation(6).
⎛ A B ⎞
⎟⎟
M tot = M z 2 × M lentille × M z1 = ⎜⎜
⎝ C D ⎠
(6)
Si le système optique est cylindrique, une séparation de l’expression de la matrice de transfert en
deux matrices distinctes selon les axes x et y est nécessaire.
2.4 Champ calculé sans l’ouverture
Comme le champ incident et la matrice de transfert totale sont connus, l’intégrale de l’Equation(2)
pour la configuration Fig1 se calcule. On obtient l’Equation(7).
⎡ 2π
⎤
exp⎢i
( z1 + z 2 )⎥
y 2
⎣ λ
⎦ exp⎛⎜ i π D η ⎞⎟ a iθ1 + a i (θ 2 +φ )
G(ξ ,η ) =
2e
⎜ λ B y ⎟ 1 e
iλ B x B y
⎝
⎠
(
)
(7)
π
π
( A x a 2 − 2aξ + D xξ 2 ), θ 2 =
( A x b 2 − 2bξ + D xξ 2 ) . L’intensité dans le plan du
x
x
λB
λB
2
capteur est alors I (ξ ,η ) = G(ξ ,η ) qui donne la formule de l’Equation (8) :
Où θ1 =
I (ξ ,η ) =
1
a12 + a22 + 2a1a2 cos(θ 2 − θ1 + φ )
x y
λB B
2
[
]
(8)
2.5 Champ pris en compte de l’ouverture
En ILIDS l’ouverture du système est un paramètre essentiel. L’ouverture peut être prise en compte
afin de décrire l’extension finie des franges. L’ouverture se situe sur la lentille (Fig1), ce qui
découpe l’intégrale de Huygens-Fresnel généralisée en deux sections : la propagation entre les
gouttes et la lentille suivie de la traversée de la lentille caractérisée par la matrice
⎛ A B1 ⎞
⎟⎟ , et la propagation entre la lentille et le capteur, de matrice
M 1 = M lentille × M z1 = ⎜⎜ 1
C
D
1 ⎠
⎝ 1
⎛ A B2 ⎞
⎟⎟ . Le champ dans le plan de l’ouverture sera noté G1( x' , y' ), où ( x' , y ' )
M 2 = M z 2 = ⎜⎜ 2
⎝ C2 D2 ⎠
sont les coordonnées dans le plan de l’ouverture. Le champ G1( x' , y' )est donné par la relation (7)
si l’on remplace ( ξ ,η ) par ( x' , y' ) ainsi que les coefficients de Mtot par ceux de la matrice M1.
L’ouverture est ensuite prise en compte sous la forme d’un coefficient de transmission T ( x' , y ' ) .
L’expression de la propagation dans la deuxième section s’exprime alors par l’Equation(9).
exp(i
G2 (ξ ,η ) =
2π
λ
z2 )
iλ B x B y
∫
ℜ
2
⎡ π
⎤
T ( x' , y ' )G1 ( x' , y ' ) exp⎢i x ( A x x'2 −2 x'ξ + D xξ 2 )⎥
⎣ λB
⎦
(9)
⎡ π
⎤
× exp⎢i y ( A y y '2 −2 y 'η + D yη 2 )⎥ dx ' dy '
⎣ λB
⎦
La transmission T ( x ' , y ' ) vaut un dans le cercle de rayon R0 et zéro dehors. Il s’écrit par la
décomposition en fonctions Gaussiennes ci-dessous :
N
⎡ Q
⎤
T ( x' , y' ) = ∑ Pk exp⎢− k2 ( x'2 + y'2 )⎥
k =1
⎣ R0
⎦
(10)
N est égale à 10. Les coefficients Pk , Qk sont listés dans la ref [12]. Le champ dans le plan de
2
capteur devient alors l’Equation (11) et l’intensité est I = G2 (ξ ,η ) .
⎡ 2π
⎤
exp⎢i
( z1 + z 2 )⎥
⎡ π D2x 2 D2y 2 ⎤ N
Pk π
β (k )
iφ β ( k )
λ
⎣
⎦
(11)
G2 (ξ ,η ) =
exp⎢i ( x ξ + y η )⎥ ∑
a1 e 1 + a2 e e 2
2
x y x y
x
y
λ
B
B
k
=
1
(iλ ) B1 B1 B2 B2
γ (k )γ (k )
2
2
⎣
⎦
[
]
φ12ξ
φ12η
φ22ξ
φ22η
πA1x a 2
πA1x b 2
β1 ( k ) = i
− x
−
, β 2 (k ) = i
− x
−
λB x
4γ (k ) 4γ y (k )
λB x
4γ (k ) 4γ y (k )
1
1
x
x
y
y
Qk
Qk
π D1 A2
π D1 A2
y
γ (k ) = 2 − i ( x + x ), γ (k ) = 2 − i ( y + y )
R0
λ B1 B2
R0
λ B1 B2
x
φ1ξ =
2π
λ
(
a
ξ
2π b
ξ
2πη
+ x ), φ2ξ =
( x + + x ), φ1η = φ2η =
x
B1 B2
λ B1
B2
λB 2y
Les termes β1, 2 ( k ) contiennent la localisation des 2 centres correspondant séparément aux
positions des images des deux glare points pour l’intensité, ainsi que le terme d’oscillation en
cosinus le long l’axe ξ .
3.1 Comparaison avec la théorie de Lorenz- Mie
Une simulation d’images ILIDS avec une seule lentille sphérique a été proposée par Girasole et al.
Les faisceaux diffusés par la particule jusqu’à la lentille étaient calculés par la théorie de LorenzMie généralisée et la propagation des faisceaux de la lentille au capteur étaient calculés par
l’intégrale de Huygens-Fresnel [11]. Nous allons comparer ici ces simulations à celles que l’on peut
réaliser avec notre modèle. Nous utilisons les mêmes paramètres : z1 = 0.72m , f = 0.6m ,
λ = 488nm , θ = 66.5° , le diamètre de la lentille s = 100mm , l’indice de goutte d’eau m = 1.33 , le
diamètre de la goutte d’eau d = 60 µm . Le plan image est alors à 3.6m derrière la lentille. Quatre
profils d’images en défaut de mise au point à quatre distances z 2 sont montrées dans la Fig4.
Pour chacune d’elles, nous trouvons le même nombre des franges (16) et le même interfrange que
Girasole et al. qui utilisaient la théorie de Lorenz-Mie.
Fig4 : Simulation pris en copte l’ouverture(a)
Le nombre des franges obtenu en fonction du diamètre de la particule dans la gamme
[8µm,124µm] est également identique aux prédictions utilisant Lorenz-Mie (voir dans la référence
[11]). On peut conclure que notre simulateur est cohérent avec des calculs théoriques utilisant la
théorie de Lorenz-Mie.
3.2 Comparaison avec l’expérience
3.1.1 Configuration avec géométrie sphérique Nous avons réalisé l’expérience de la Figure (1). La lentille utilisée est une lentille sphérique. Le
laser est un laser Nd:YAG fonctionnant en régime continu à la longueur d’onde λ = 532nm .
L’angle de diffusion est θ = 66° . La distance entre la goutte d’eau et la lentille sphérique est
z1 = 305mm . La distance focale image de la lentille est f = 100mm . Son diamètre vaut 26mm . Le
capteur CCD (8bit F 201-B Marlin) se trouve à z 2 = 128mm derrière la lentille et une distance
Δp = 21mm devant le plan d’image mise au point. Les gouttelettes d’eau mono dispersées sont
générées par un générateur piézoélectrique (Microdrop). Elles ont un diamètre de 100µm. La
figure 5(a) montre l’image ILIDS expérimentale et la figure 5(b) montre la prédiction faite avec le
modèle de l’Equation (11).
(a)
(b)
Fig5 : (a) image expérimentale ; (b) image de simulation (4.4µm*4.4µm, 1000*1000)
Les deux images montrent le même nombre de franges, et les mêmes interfranges. Par contre le
motif de diffraction par la lentille (anneaux concentriques) n’est pas parfaitement décrit. Ceci est dû
à la décomposition approchée de l’ouverture en fonctions Gaussiennes.
3.1.2 Configuration avec géométrie cylindrique L’expérience d’une configuration avec géométrie cylindrique (Fig6) a ensuite été réalisée. Elle
correspond au cas de gouttes dans une canalisation [13]. Le laser est le même que
précédemment ( λ = 532nm ), ainsi que l’angle de diffusion ( θ = 66° ). Les gouttes sont centrées
dans le tube. La distance entre la goutte et surface interne du tube est z1 = 35mm . Le tube est en
quartz. Il a une épaisseur e = 4mm et un indice de réfraction nq = 1.4585 . La focale de la lentille
vaut 100mm et le diamètre d’ouverture est 12mm. La distance entre la surface extérieure du tube
et la lentille fait z2 = 110mm . La distance entre la lentille et le capteur CCD est z3 = 329mm . Nous
utilisons ici un générateur piézoélectrique de gouttes dont le diamètre fait 30 µm . Le système est
astigmate et les positions d’images mises au point selon les axes x et y sont différentes :
z3x,image = 293.2mm, z 3y,image = 305mm .
Fig6 : Configuration d’ILIDS visualisé dans un tube
Comme le capteur est plus loin de la position d’image suivant l’axe x que de celle suivant l’axe y,
le tache est une ellipse aplatie. La comparaison entre l’expérience et la simulation utilisant
l’équation (11) est donnée dans la Fig (7). Une bonne cohérence est observée (en particulier le
nombre de franges et l’interfrange), malgré les importantes aberrations géométriques introduites
par la canalisation.
(a)
(b)
Fig7c : Comparaison entre expérience(a) et simulation(b)
4 Discussion
A partir de l’équation (7), la fréquence des franges d’interférence suivant l’axe x se déduit par la
formule de l’équation (12).
F=
a −b
d
=
x
λB
2λB x
⎛
⎞
m sin(θ / 2)
⎜ cos(θ / 2) +
⎟
2
⎜
m + 1 − 2m cos(θ / 2) ⎟⎠
⎝
(12)
En comparaison avec l’équation (1), on obtient :
Δθ =
1
BxF
(13)
L’équation (13) contient la relation connue dans le cas des fentes Young où le système à traverser
est l’espace libre de longueur z . Dans ce cas là, B x = z alors Δθ =
5
1
λ
.
=
x
B F a −b
Conclusion et perspective
Un simulateur d’images ILIDS, utilisable pour n’importe quelle configuration d’imagerie, a donc été
élaboré [15]. Il est basé sur l’utilisation d’intégrales d’Huygens-Fresnel généralisées, et la
simplification du champ diffusé par une goutte par deux émetteurs ponctuels (fonctions de Dirac).
Ce simulateur ne décrit pas les aberrations introduites par les systèmes optique utilisés. Un
troisième « glare point » (mentionné par Hess [14]) peut aussi être pris en compte en ajoutant une
autre fonction de Dirac dans le champ incident G0 ( x, y ) .
Références
[1] S.P. Skippon, A.R. Glover et P.J. Cooney, « studies of mixture preparation in a spark ignition engine
using Interferometric Laser Image for Droplet Sizing (ILIDS) », SAE transaction –104, 876-889, (1995)
[2] R. Ragucci, A. Cavalier et P. Massoli, « Drop sizing by laser light scattering exploiting intensity angular
oscillation in the Mie regime», Part. Part. Syst. Charact. –7, 221-225, (1990)
[3] N. Damaschke, H. Nobach, T.I. Nonn, N. Semidetnov et C. Tropea, « Multi-dimensinal particle sizing
techniques », Experiments in Fluids –39, 336-350, (2005)
[4] M. Maeda, T. Kawaguchi et K. Hishida, « Novel interferometric measurement of size and velocity
distribution of spherical particles in fluid flows », Meas. Sci. Technol., –11, L13-L18, (2000)
[5] W.J. Glantschnig et S.H Chen, « Light scattering from water droplets in the geometrical optics
approximation », Applied Optics, –20, 2499-2509, (1981)
[6] A.R. Glover, S.M. Skippon et R.D. Boyle, « Interferometric laser imaging for droplet sizing: a method for
droplet size measurement in sparse spray systems », Applied Optics, –34, 8409-8421, (1995)
[7] A. Quérel, P. Lemaitre, M. Brunel, E. Porcheron et G. Gréhan, « Real-time global interferometric laser
imaging for the droplet sizing (ILIDS) algorithm for airborne research », Applied Optics, –21, 015306,
(2010)
[8] S. Dehaeck et J.P.A.J. van Beeck, « Designing a maximum precision interferometric particle imaging
set-up », Exp Fmuids, –42, 767-781, (2007)
[9] A.E. Siegman, , « Lasers », University Science Book, chapter 20, (1986)
[10] H.C. van de Hulst et R.T. Wang, « Glare points », Applied Optics, –30, 4755-4763, (1991)
[11] T. Girasole, K.F. Ren, D. Lebrun, G. Gouesbet et G. Gréhan, « Particle Imaging sizing : GLMT
simulation», Journal of visualization, –3,195-202, (2000)
[12] J.J. Wen et M.A. Breazeale, « A diffraction beam field expressed as the superposition of Gaussian
beams », J. Acoust. Soc. Am, –83,1752-1756, (1988)
[13] S.P. Skippon et Y. Tagaki, « ILIDS measurements of the evaporation of fuel droplets during the intake
and compression strokes in a firing lean burn engine», SAE transaction –105, 1111-1126, (1996)
[14] C.F. Hess et D. L’Esperance, « Droplet imaging velocimeter and sizer: a two dimensional technique to
measure droplet size», Exp Fluids–47, 171-182, (2009).
[15] H. Shen, S. Coëtmellec, G. Gréhan, M. Brunel, « ILIDS revisited: elaboration of transfer matrix models
for the description of complete systems », accepté à Appl. Opt. (2012).
Remerciements
Nous remercions Sawitree Saengkaew, Jean-Bernard Blaisot et Pascal Boubert pour leur aide.