BAT def FICHE 2

FICHE N°2
Les unités de
mesures mécaniques
es unités de base en mécanique sont la longueur (le mètre), la masse (le kilogramme)
et le temps (la seconde), qui permettent à leur tour de définir un ensemble d’unités
dérivées, telles que les unités de surface, de volume, de vitesse, d’accélération, de force, d’énergie, de puissance, etc.
L
Le kilogramme
Le kilogramme est la plus ancienne unité du Système International. Sa définition a été
adoptée à la 1 ère Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM) en 1889. Elle n’a pas
changé depuis.
Le kilogramme (kg) est la masse du prototype en platine iridié déposé au Bureau
International de Poids et Mesures à Sèvres (92).
Ceci étant, il a été question du kilogramme au cours d’autres CGPM. Ainsi, la 3 ème CGPM
décidait de “faire cesser l’ambiguïté qui existe encore dans l’usage courant sur la signification du terme poids, employé tantôt dans le sens du terme masse, tantôt dans le sens
du terme effort mécanique.” C’était en 1901. Consciente de ses devoirs, cette 3 ème CGPM
décidait une fois pour toutes que “le poids d’un corps est le produit de la masse de ce corps
par l’accélération normale de la pesanteur (980,665 cm/s 2 )”.
Ceci aurait dû mettre un terme à la confusion qui existait entre masse et poids. Mais
les usages ont la vie dure...
On a reparlé du kilogrammme en 1967 au cours d’une réunion du CIPM (Comité
International des Poids et Mesures), à propos des multiples et sous-multiples (hecto,
kilo, déci, centi...) : “les noms des multiples et sous-multiples décimaux de l’unité de
masse sont formés par l’adjonction des préfixes au mot gramme” (et non par kilogramme). Le kilogramme reste donc la seule unité de base du Système International qui
soit un multiple...
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Les unités de mesures mécaniques
Quelques unités de masse... à oublier
1 grain = 64,80 mg
1 carat métrique = 200 mg
1 dram (1/16 oz) = 1,772 g
1 ounce (oz) = 1/16 lb = 28,3495 g
1 pound (lb) = 453,592 g
1 stone (14 lb) = 6,35 kg
1 quater (28 lb) = 12,70 kg
1 slug = 14,59 kg
1 cental (100 lb) = 45,36 kg
1 hundredweight (cwt) = 112 lb = 50,80 kg
1 quater long (USA) = 254 kg
1 tonne = 1 000 kg
A propos de la chaîne d’étalonnage, il faut savoir que la masse des étalons secondaires
est comparée à la masse du prototype en platine au moyen de balances dont la précision
relative peut dépasser 10 -8 . Dans le cas d’étalons en acier inoxydable, l’exactitude de la
comparaison dépend de l’exactitude avec laquelle est connue la correction due à la poussée de l’air (en effet, le volume de 1 kg de platine est différent de celui de 1 kg d’acier et,
d’après le principe d’Archimède, le poids du volume d’air déplacé n’est donc pas le même).
Le mètre
Tout comme le kilogramme, le mètre a été défini dès la première CGPM de 1889. Mais
la définition, fondée alors sur le prototype iridié (d’ailleurs toujours conservé au BIPM),
avait été remplacée en 1960 (à la 11 ème CGPM) par une définition fondée sur la longueur
d’onde d’une radiation du krypton 86. Afin d’augmenter encore la précision de la réalisation du mètre, la 17 ème CGPM (en 1983) a remplacé cette définition par la suivante :
Le mètre (m) est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant
une durée de 1/299 792 458 seconde.
Une conséquence importante de l’actuelle définition du mètre est d’attribuer une valeur
rigoureusement fixée à l’une des principales constantes de la physique, à savoir la vitesse de la lumière c dans le vide :
c = 299 792 458 m/s
Lorsque la définition antérieure était en vigueur, l’unité de longueur et l’unité de temps
étaient indépendantes. Cela conduisait à une valeur de la vitesse de la lumière qu’on ne
pouvait connaître que par la mesure et avec une exactitude au mieux égale à celle des
étalons.
L’unité de temps n’étant pas modifiée, on remarque facilement que le fait de disposer
désormais d’une valeur fixée pour c revient à imposer au mètre une valeur bien définie.
Pour éviter toute discontinuité dans la réalisation de l’unité de longueur, on a pris pour
valeur immuable de c la meilleure détermination accessible avec la précédente définition.
La valeur du mètre obtenue avec la lampe à krypton n’est par conséquent pas modifiée.
Par contre, on peut désormais réduire l’incertitude sur sa réalisation par l’emploi d’autres
sources plus performantes, telles que les lasers stabilisés.
Le BIPM recommande un certain nombre de radiations délivrées par des lasers stabilisés en fréquence. En pratique, les mesures se font dans l’air, où la vitesse de la lumière est légèrement différente de c. Pour connaître cette vitesse, il faut tenir compte de l’indi-
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Les unités de mesures mécaniques
Quelques longueurs remarquables
Quelques unités rencontrées au hasard de la littérature
1 angström (Å) = 10 –10m
1 yard (yd) = 0,9144 m
1 pouce = 1 inch (in) = 2,540 cm
1 mille = 1,609 km
1 pied = 1 foot (ft) = 30,48 cm
1 mille nautique = 1,852 km
Quelques ordres de grandeur de distances
Rayon du proton : 0,8,10 –15m
Pouvoir séparateur d'un microscope
électronique à effet tunnel : 0,1 Å
Pouvoir séparateur d'un microscope
électronique : 3 Å
Taille d'un atome : ~
–4Å
Longueurs d'onde du spectre visible :
400 nm à 0,78 µm
Taille d'un virus : 15 à 300 nm
Pouvoir séparateur d'un microscope
optique : 0,1 µm
Taille d'un chromosome : 8 µm de long
pour 0,5 µm de diamètre
Ajustages mécaniques de précision : 1 à
10 µm
Taille d'une cellule vivante : quelques
dizaines de µm
Rayon de la Terre : 6 360 km
Tour de la Terre : 40 000 km
Distance Terre-Lune : 384 000 km
Rayon du Soleil : 686 000 km
Distance moyenne Terre-Soleil :
150 millions de km
Année lumière : 9,461.10 12 km
ce de l’air. La mesure de cet indice s’effectuant avec une incertitude relative moins bonne que la mesure des radiations des lasers, la précision des mesures courantes de longueurs se trouve donc, en fait, limitée par cette détermination.
Les unités géométriques
Les unités géométriques ne font intervenir que le paramètre longueur.
Le radian (rad) est l’angle qui, ayant son sommet au centre d’un cercle, intercepte sur
la circonférence de ce cercle un arc de longueur égale à celle du rayon du cercle. Il s’agit
d’une unité dérivée du Système International, sans dimension (le radian est homogène
à un rapport entre deux longueurs).
Pour définir un angle plan, d’autres unités sont couramment utilisées :
– 1 degré (°) = π /180 = 1,745.10 – 2 rad
– 1 minute (’) = 2,909.10 – 4 rad
– 1 seconde (’’) = 4,848.10 – 6 rad
– 1 grade (gr) = π /200 = 1,571.10 – 2 rad
Le stéradian (sr) est l’angle solide qui, ayant son sommet au centre de la sphère,
découpe sur la surface de cette sphère une aire équivalente à celle d’un carré dont le
côté est égal au rayon de la sphère.
Voici quelques valeurs remarquables d’angles solides :
– espace : 4 π = 12,57 sr
– hémisphère : 2 π = 6,283 sr
– trièdre rectangle : 2 π /4 = 1,571 sr
FICHE 2 - 3
Les unités de mesures mécaniques
L’unité de surface est le mètre carré (m 2 ). C’est l’aire d’un carré ayant un mètre de côté.
L’unité de volume est le mètre cube (m 3). C’est le volume d’un cube ayant 1 mètre de côté.
A propos du litre... La troisième CGPM (en 1901) avait déclaré que l’unité de volume, pour les déterminations de haute précision, est le volume occupé par la masse de
1 kilogramme d’eau pure, à son maximum de densité et sous la pression atmosphérique normale : ce volume est dénommé litre.
Alors, 1 litre = 1 dm 3 ? Pas si vite... Les progrès de la métrologie allaient montrer que le
décimètre cube et le litre sont inégaux et diffèrent d’environ 28 millionièmes.
Devant ce constat, la 12 ème CGPM (en 1964) a recommandé de ne plus utiliser le mot litre
pour exprimer les résultats de mesures de volume de haute précision. Par contre, le mot
litre peut être utilisé comme nom spécial donné au décimètre cube.
En 1979, il allait être à nouveau question du litre, la 16 ème CGPM décidant, à titre exceptionnel (surtout à la demande des anglo-saxons), d’adopter les symboles l et L comme symboles utilisables pour l’unité litre (le but étant d’éviter le risque de confusion entre la lettre
l et le chiffre 1 qui, dans bien des polices typographiques, sont identiques).
Quelques unités de surface
1 square inch (in2) = 6,452 cm2
1 square foot (fr2) = 9,290 dm2
1 acre = 40,47 dm2
1 square yard (yd2) = 0,8361 m2
1 are (a) = 100 m2
1 hectare (ha) = 10 000 m2
Quelques unités de volume
1 cubic inch (in3) = 16,39 cm3
1 (UK) fluid ounce (floz) = 28,41 cm3
1 (US) fluid ounce (floz) = 29,57 cm3
1 (US) pint (1/8 gallon) = 0,4732 dm3
1 (US) quart (1/4 gallon) = 0,9463 dm3
1 litre (l, L) = 1 dm3
1 (UK) quart (1/4 gallon) = 1,136 dm3
1 (US) gallon (liquides) = 3,785 dm3
1 (US) gallon (poudres) = 4,405 dm3
1 (UK) gallon = 4,546 dm3
1 cubic foot (fr3) = 28,32 dm3
1 cubic yard (yd3) = 0,7646 m3
Les unités cinématiques
Les unités cinématiques font intervenir les paramètres longueur et temps.
L’unité de vitesse est le mètre par seconde (m/s). C’est la vitesse d’un mobile qui, animé d’un mouvement rectiligne et uniforme, parcourt une longueur de 1 mètre en 1 seconde.
Voici quelques valeurs remarquables de vitesses :
– vitesse de la lumière dans le vide : c = 299 792 458 m/s
– vitesse du son dans l’air : environ 340 m/s
– 1 nœud = 0,5144 m/s
– vitesse des ultrasons dans l’acier : environ 5 900 m/s
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Les unités de mesures mécaniques
– vitesse de la Terre sur son orbite : 30 km/s
– vitesse de propagation du courant électrique dans le cuivre : 1 000 km/s.
L’accélération linéaire a pour unité le m/s 2 . C’est l’accélération d’un corps animé
d’un mouvement uniformément accéléré et dont la vitesse varie en 1 seconde, de 1 mètre
par seconde.
Une constante typique d’accélération est l’accélération normale de la pesanteur à la surface de la Terre, qui est l’accélération à laquelle est soumis un corps en chute libre.
g = 9,806 65 m/s 2
De la même façon, on définit la vitesse et l’accélération angulaires.
Les vibrations. Les vibrations peuvent être caractérisées par le déplacement, la vitesse ou l’accélération en des points déterminés de la structure vibrante. L’accéléromètre
est souvent le capteur le mieux adapté à la mesure de vibrations et de chocs. Les fréquences de mesure (c’est-à-dire la bande passante) sont très variables d’une application
à l’autre : elles peuvent aller de quelques dizaines de hertz pour une structure lourde (cas
d’un avion, par exemple) jusqu’à 100 kHz pour des mesures de chocs.
Les unités dynamiques
Les unités dynamiques font intervenir trois paramètres : la longueur, la masse et le
temps.
Force. Le newton (N) est la force qui communique, à un corps ayant une masse de 1
kilogramme, une accélération de 1 mètre par seconde au carré.
La force, la masse et l’accélération sont liées par la fameuse relation F = m γ . Lorsque
l’accélération en question est l’accélération de la pesanteur g, la force s’exercant sur une
masse m est telle que :
F = mg
Cette force est plus communément appelée poids.
C’est du reste cette notion de poids que l’on utilise pour définir les étalons de forces.
Dans une machine de force de référence, la force est engendrée au moyen de masses
librement suspendues dans le champ de la pesanteur. Les valeurs des différentes masses
m destinées à être suspendues à la machine sont déterminées par étalonnage et toutes
les précautions sont prises pour éviter les phénomènes d’usure, d’oxydation ou de pollution de ces masses. L’accélération de la pesanteur est mesurée à l’emplacement de la
machine de force. La connaissance de m et de g permet d’accéder à celle de F. Cette force connue est alors utilisée pour étalonner les dynamomètres (instruments de mesure des
forces utilisant la déformation d’un corps d’épreuve).
Pression. Le pascal (Pa) est la pression qui, agissant uniformément sur une surface
plane de 1 mètre carré, exerce sur cette surface une force totale de 1 newton. Cette unité est en vigueur depuis seulement 1971.
Energie. Le joule (J) est le travail produit par une force de 1 newton dont le point
d’application se déplace de 1 mètre dans la direction de la force.
D’autres unités d’énergie sont encore parfois rencontrées :
– 1 erg = 10 – 7 J
FICHE 2 - 5
Les unités de mesure mécaniques
– 1 calorie (cal) = 4,1855 J
L’usage de l’erg est déconseillé. La calorie est une unité illégale (depuis 1982).
Puissance. L’unité de puissance est le watt (W). C’est la puissance d’un système énergétique dans lequel est transférée uniformément une énergie de 1 joule pendant 1 seconde. En mécanique, on rencontre encore le cheval-vapeur (mais l’utilisation de cette unité est illégale) :
1 cheval-vapeur = 7,355.10 2 W
Par leurs définitions, le joule et le watt sont des unités dérivées faisant partie de la
mécanique, au même titre que le newton et le pascal. Elles interviennent dans tous les
domaines de la physique, et il n’existe pas d’étalon unique pour ces deux grandeurs.
ANNEXE
La pesanteur et le poids
Le poids P d’un corps donné de masse m est proportionnel à l’accélération de la pesanteur g :
P = mg
Lorque l’on veut déterminer la masse d’un corps et qu’on fait appel à une
balance mécanique à fléau, on travaille par comparaison de forces : le poids
P de la masse m inconnue est comparé au poids P ’ d’une masse étalonnée
m’. On a donc :
P = mg
P’ = m’g
d’où m = m’ _P
P’
Pour connaître m, il ne sert donc à rien de connaître la valeur de l’accélération de la pesanteur g.
Pour les balances électroniques, il en va différemment, car le capteur incorporé mesure seulement la force représentant le poids P = mg.
Le résultat de la mesure dépend donc directement de la valeur de g. Or
l’accélération de la pesanteur varie d’un point à un autre de la Terre. Elle
dépend de la distance de l’endroit où on se trouve par rapport au centre de
la Terre, de la position de cet emplacement par rapport à l’axe de rotation
de la Terre, de la distance par rapport aux astres (notamment la Lune et le
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Les unités de mesures mécaniques
Latitude
(en degrés)
g (en m/s2)
Latitude
(en degrés)
g (en m/s2)
Latitude
(en degrés)
g (en m/s2)
0à3
4à8
9 à 11
12 à 14
15 et 16
17 et 18
19 à 20
21
22 et 23
24
25 et 26
27
28 et 29
30
31
32
33 et 34
35
9,780
9,781
9,782
9,783
9,784
9,785
9,786
9,787
9,788
9,789
9,790
9,791
9,792
9,793
9,794
9,795
9,796
9,797
36
37
38
39
40
41 et 42
43
44
45
46
47
48
49
50
51 et 52
53
54
55
9,798
9,799
9,800
9,801
9,802
9,803
9,804
9,805
9,806
9,807
9,808
9,809
9,810
9,811
9,812
9,813
9,814
9,815
56
57
58 et 59
60
61
62 et 63
64
65
66 et 67
68 et 69
70
71 et 72
73 et 74
75 et 76
77 à 79
80 à 83
84 à 90
9,816
9,817
9,818
9,819
9,820
9,821
9,822
9,823
9,824
9,825
9,826
9,827
9,828
9,829
9,830
9,831
9,832
Valeur de g au niveau de la mer, en fonction de la latitude (extrait du système
géodésique de référence 1967).
Soleil) et enfin des variations d’homogénéité des matériaux qui constituent
la Terre (anomalie de Bouguer).
La relation donnant la variation de g en fonction de la latitude ϕ est la suivante :
g 0 = 9,78049(1 + 0,005 288 4 sin 2 ϕ – 0,000 005 9 sin 2 ϕ)
Rappelons que la France continentale se situe grosso modo entre les latitudes 43° et 51°.
La relation précédente est valable au niveau de la mer. Une correction doit
être effectuée pour tenir de l’altitude z. La pesanteur g est alors donnée par :
g = g 0 + (A – 0,212 23 z).10 –5
A est l’anomalie de Bouguer, dont la valeur est fournie par des cartes gravimétriques (cette valeur peut être négligée en première approximation).
Si on utilise une balance électronique sans tenir compte des variations de
g en fonction de la latitude (et, dans une moindre mesure, de l’altitude), on
fait une erreur qui peut ne pas être négligeable. Par exemple, une même balance amenée à peser une masse de 10 kg donnera une différence supérieure
à 6 grammes si elle est utilisée en deux lieux distants de 1 000 km.
Conclusion : lorsqu’une balance a été réglée dans un lieu, il n’est pas recom-
FICHE 2 - 7
Les unités de mesures mécaniques
mandé de l’utiliser ailleurs, à moins de pouvoir prédéterminer une correction applicable au lieu d’utilisation.
La mesure de l’accélération de la pesanteur
Actuellement, c’est l’étude de la chute libre d’un corps qui permet de mesurer g avec la meilleure exactitude.
La mesure de g par la “méthode des deux stations”, mise au point au Bureau
International des Poids et Mesures, consiste à projeter un corps dans le
vide verticalement vers le haut. Ce corps traverse deux plans horizontaux
S 1 et S 2 (les stations) dont la distance h est connue (de l’ordre de 40 cm).
Si t 1 est la durée qui sépare les deux passages du centre de gravité du corps
à la station basse au cours de son mouvement ascendant puis descendant,
et t 2 la grandeur analogue pour la station haute, on établit que g est fourni
par la relation :
g = 8h(t 12 – t 22 )
z
S2
h
S1
t
t2
t1
Cette méthode, qui utilise des moyens interférométriques, permet une
mesure avec une incertitude relative inférieure à 10 – 9 (la précision de la mesure est telle que les modifications de g dues aux variations saisonnières du
niveau de la nappe phréatique sont mises en évidence).
FICHE 2 - 8