Les treillis en topologie. I

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
L. L ESIEUR
Les treillis en topologie. I
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 7 (1953-1954), exp. no 3, p. 1-11
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1953-1954__7__A3_0>
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3-01
Faculté des Sciences de Paris
Séminaire
d’ALGEBRE
ct de THEORIE DES NOMBRES
1953/1954
Année
LES TREILLIS EN TOPOLOGIE. I.
Conférence faite par L.
ÉLÉMENTS
1.-
topologie dans
E ~ qui vérifient
0~ 0 -
un
les axiomes suivants s
par les ensembles ouverts
.
.
Une réunion quelconque d’ensembles ouverts est
un
L’intersection de deux ensembles ouvert est
ensemble ouvert.
exemple 9
par
5 avril 1954
peut être définie
E
ensemble
L’ensemble vide et l’ensemble E
(Voir
le
OUVERTS.
Une
de
LESIEUR,
~~.
un
ensemble ouvert.
sont ouverts.
Bourbaki 9 Topologio générale y Chap. I ~.
Les ensembles ouverts sont donc des
lis
P(E)
dos
parties
éléments, non pas de E y mais du treilE 9 ct les axiomes précédents expriment
un sous-treillis 03A9
de T
P(E) , compre-
de l’ ensemble
que les éléments ouverts constituent
nant Ø
=
et
E 1 avec la propriété suivante : l’union d’une infinité d’éléments
existe dans -~-- et c’est la
Cette propriété signifie que ’~
que dans T .
est un sous-treillis ~-complet de T.
En appelant 0 l’élément nul cf et
u
l’élément universel L du 1 91 les axiomes dos ensembles ouverts peuvent
donc être condensés
AXIOME 1.0
et
Les
sous
1a forme suivante :
ouverts forment
sous-treillis ~-complet
un
03A9
de
T , com-
u.
Cet énoncé reste valable même si le treillis
parties
P(E) ,
Treillis
géométriques,
c’est-à-dire
Conf.
un
T.
treillis do BOOLE
II3
th.
2).
n’cst plus
complet
ot
un
treillis de
atomique (Voir
Nous supposerons seulement
que T est
treillis de BOOLE complet y sans postuler par conséquent l’existence de oints
dans T .
Nous donnerons d’ailleurs à la fin un bel exemple d’origine
topologi-
un
que do treillis do BOOLE
DEFINITION 1. est définie par
un
T
complet
ôtant
un
sous-ensemble
non
atomique.
treillis de BOOLE
~L
d’éléments de
complet y
topologic dans
T , appelés ouverts, qui
une
T
vérifient l’axiome 1
On sait
qu’un
.
complet vérifie
treillis de BOOLE
la loi de ~-distributivité
générale 1
Il
en
03A9
résulte que
vérifie aussi la loi de ~-distributivité
vérifie pas nécessairement la loi de
n’est pas un sous-treillis tB-complet de T
Par contre il
ne
puisqu’il
tant qu’ensemble ordonné
en
treillis y
L’ensemble
PROPRIÉTÉ 1.-
.~..
des ouverts est
Donc :
complet.
treillis
un
générale.
~-distributivité générale,
.
Cependant 03A9 est , en
un
treillis
complet
vérifiant
la loi de n -distributivité générale.
2.- ÉLÉMENTS FERMES.
Un élément
DEFINITION 2.-
complément
Les
T est fermé si
dans
topologie
d’une
x
son
est ouvert.
propriétés
dans
compléments
des
un
complet montrent im-
treillis de BOOLE
médiatement que les éléments fermés vérifient l’axiome suivant :
AXIOME 1’.0
et
Les fermés forment
un
comprenant
sous-treillis ~-complet de T ,
u.
Autrement
dit,
on a
les 3 axiomes suivants des éléments fermés :
F - Une intersection
L’union ae deux éléments fermés est
F F. -
Les éléments 0
Il est clair que le
sous-treillis
03A9
topologie
T ; d’où
dans
la définition 1
DEFINITION
à l’axiome
fermé.
un
fermé.
des éléments fermés de
T
détermine le
T’
arbi-
de
T
et par suite
une
peut d’ailleurs se donner
1 ’ ° 9 les compléments des éléments
On
satisfaisant à l’axiome 1
la définition suivante d’une
,
topologie, équivalente à
.
l’.-
est définie par
III
un
est
sont fermés.
des éléments ouverts.
sous-treillis
un
et u
sous-treillis 03A6
trairement,9 satisfaisant
déterminent
quelconque d’éléments fermés
un
étant
T
un
treillis de BOOLE
sous-treillis l’
d’éléments do
complet, une topologie dans T
T p appelés fermés, qui véri-
fient l’axiome 1’.
Ce sous-treillis
Y
possède
la
propriété suivante :
L’ ensemblo Ôi
PROPRIETE l’.-
~-distribitivité
la loi de
des fermés est
un
complet vérifiant
treillis
générale, soit 1
3.- FERMETURE TOPOLOCIQUE.
Soit
forment
x03B1 x
ils admettent
03A6
sous-ensemble
un
un
T
dans
possède
~-complet
2~/ x
=
3° /
x ~
4°/
0
x*
(extensivité)
x
(idempotence)
=
=
s’appelle
Les
x u
=
u
en
fait
fj
intersection
est leur intersection
(axiome 1’). Inapplication
T
vérifient
partie, et
x03B1
x03B1 puisque
x ~ x
de
( ’~-homomorphisme)
y
u .
la fermeture
propriétés
puisque
x03B1 qui
topo logique~ ~
x
y
T
vide de
x
qui
de
Les éléments fermés
propriétés suivantes s
les
AXIOMES de fermeture
1°/ x
non
élément minimum
est sous-treillis
T
T.
élément quelconque de
un
x
topologique
1° , 2° , 4°
de
x
démontrent immédiatement.
se
Pour démontrer 3~
remarquons d’abord 1 ’ isofoni e s
qui résulte
du fait que les éléments
y.
On
en
puisque ~
est
un
fermés )
Mais
i
sous-treillis do
T ~
par
font
x
x v y
partie
est
un
des éléments for-
élément fermé
suite~
Dans cette
et
application,
les éléments fer-
més sont caractérisés par
x=x.
Réciproquement,
sant
aux
axiomes de fermeture
vérifiant
0
et
"’ -
étant donnée
x
=
x
constituent
une
application
topologiquey
un
on
de
xx
T
dans
T
satisfai-
démontre aisément que les éléments
sous-treillis 03A6
de
T
(1 -complet, comprenant
u.
Cf. MAC-KINSEY et lE. TARSKI : The
i5 (1944),
p.
Algebra
of
Topology (Annals
MAC-KINSEY et A. TARSKI : On closed éléments in closure
ofMath.,
of
Math.,
141-191)
41(1946),
p.
122-162)
algebras (Ann.
Ce dernier
que 03A6
Q,
x =
est fermé pour
avec
x,, ,
x
x -
x03B1 x .
x , d’où
propriété °.
propriété 3° entraîne
pour l’union et la
démontrer
est assuré par la
point
x -
part T
particulier l’isotonie.
en
est fermé
Il reste à
Considérons
intersection même infinie.
une
x
entraîne .~
D’après l’isotonie,
Mais, d’après la propriété 1 ° 9 on a aussi :
.
est bien
Par
~
D’autre
=
x ~
élément formé.
un
d’après la définition l’ une topologie dans T . Pour cette
topologie, l’application de fermeture est l’application donnée x ..,~x . En effet
est fermé d’aprës la propriété 2° et si l’on a z
x , avec z fermé 9
z = Z x . L’élément x est bien la fermeture
on en déduit d’après l’isotonie
détermine donc
x, et
de
on
THEOREME
a
le théorème suivant s
L’application
1.-
x
tersection
des éléments
T
de
>
fermés
qui fait correspondre à
T
dans
x
l’in-
vérifie les axiomes de fermeture to-
x
application x~x vérifiant les axiomes de
fermeture topologique définit une topologie unique dans laqaelle la fermeturo
de x est x ; les éléments fermés sont ceux qui vérifient x = x .
pologique. Réciproquement,
Ce théorème
équivalente
donc
permet
aux
deux
toute
une
0. ORE
précédentes.
introduit
a
au moyen d’axiomes de
fermeturo algébrique qui
meture
remplaçant
topologique
(0. ORE,
nie.
en
Annals
Les filtres d’un
G.
CROQUET,
0
et
propriété
(1946),
p.
DISTRIBUTIF.
treillis ’P(E)
déduisent des axiomes de fer-
se
3° ~ ~ ~homomorphisme~
56-78).
ont été étudiés par
G. BIRKHOFF!
WALLMANN,
partie
non
1 °~
-
x
vide do
et
T 9
y ~ F
soit
F
entraînent
telle que :
x rx
H.
CARTAN,
quelconque
avec
P.
DEFINITION 3.- On appelle filtre d’un treillis distributif
une
par l’isoto-
,
Les filtres d’un treillis distributif
J.
ont été utilisés par H.
u
la
ofMath., 47
4.- FILTRES D’UN TRETLLIS
topologie dans T ,
une notion plus générale
nouvelle définition d’une
T
0
avec
et
u
.
‘
y ~. F
( 1935~
G. BIRKHOFF ~ A new définition of limita Bull. Amer. Math. Soc. ~19636
H. CARTAN s
(1937) et 205, 777-779 (1937)
G. CHOQUET : Sur les notions de filtre et de grille,
C.R.Acad.Sc.,224,171-
C.R.Acad.Sc.9205,595-598
J. SCHMIDT :
....-H.
Beiträge
zur
Filtertheorie,
Math. Nachr.
173(1947)
7,360-378 (1952)
et
~
10,19?~232~1953~
Math.39,112-126(1938)
WALLMANN:Lattices and topological
of
P. SAMUEL:Ultrafilters and compactification of uniform spaces, Trans.Amer.
Math.
Soo.6~, ~~0.».132 i 1948~
’
2° ~
Si
et
x ~ F
on
et lo filtre est dit
F=T
a
z ~. F
entraînent
z ~ x
impropre.
Le filtrc est
propre
0fF.
lorsque
EXEMPLE 1.formo le
filtre
EXEMPLE 2.-
premiers à
0
a ~
étant
~~’~ u
étant
élément de
un
T ~
EXEMPLE 3.-
E
étant
ties finies do
E
forment
(C)
ensemble infini
un
T
P(E)
relation
élément de
est donc
la
d’inclusion
un
filtro dans
un
Un filtre dans
est
a’
a
un
filtre.
quelconque, les complements des parT
P(E) qu’on appelle le filtre
=
E.
de
dans
l’ensemble des éléments
a’ = u , forme
vérifiant
a p
caractéristique
x
propre )a( .
pri.ncipal
a
dos éléments
T , l’ensemble
élémont do
un
un
P(T) ;
élément de
P~ P~E~ ~ .
On
particulier,
filtre
un
ordonner les filtres par
peut donc
P(T) ;
des ensembles dans
en
obtient alors le théorème
on
suivant :
THÉORÈME
T , ordonné
L’ensemble des filtres de
2.-
forme
ensembles dans
treillis
un
par la
distributif complet
relation des
vérifiant la
loi
~-distributivité générale.
de
En
effet, l’intersection
des ensembles cst
propres, il
)u( ,
le filtre
ou
F
filtre
est de môme do
en
ment minimum
qui est
encore un
d’un famille de filtres
=
h~
filtre réduit
au
famille
T
dont les éléments sont les intorsections dans
partenant
Cette
F .
aux
union n’est
pas
sens
de la théorie
sont
F,~
avec
élé-
u p et élément maximum
)0(
est bien
seul élément
L’union d’une
impropre.
au
Si tous les filtres
F~ .
L’ensemble F
F.
F~
un
de filtres
treillis
F
est le filtre
d’un nombre fini d’éléments ap-
toujours
un
filtre propre.
.
r*~
Pour montrer
vérifie la loi de ~ -distributivité
il faut
générale,
établir la relation :
B~ ) . Il suffit donc
~~~
~
Soit donc
A ~
;on
x~A~(~~B~)
~-~(A~B~)
.
(~~B~)
~
et x=b
qui peut s’écrire
Or
on a
toujours:
A ~B
( ~4 B~)
~
do vérifier
a
03B1
~ b03B12 ~
(x ~ b03B11)
x
~
~~(A
~~
b,
~ B~ ) .
"
...
)~
avec
~ b03B1n ,
... ~
b.
~
(x ~ b03B1n) .
ce
Comme
x
~ b03B1i ~
B03B1i ~ A
x
A
x=
on a
bien :
Le théorème est démontrée
Le treillis des filtres de
T
est lié à
T
par la
propriété suivante :
T
le treillis
et
On
a’ ,
a =
Il y
a
-~-~. ~ a~
est
est
entre
isomorphisme dual
effet
en
car ~ a~ ~ ~ a’ (
biunivoque
entraî-
de plus:1
a
des filtres d’un treillis
la suivantes
Signalons seulement
PROPRIETE 3.-
un
T’
beaucoup d’autres propriétés importantes
a
distributif.
est contenu dans
F
Tout filtre propre
filtre propree maximal
un
ultrafiltre.
ou
En
la famille des filtres propres contenant
effet,
ensemble inductif
un
car
résulte par
en
qui
F~ 9
est
un
F
filtre propre
un
chaîne de filtres propres
une
union la réunion des éléments des
3
~ a
a
sous-treillis
un
correspondance
La
ne
correspondance
La
RROPRIETE 2.-
F~
admet
filtre propre.
comme
forme
filtre
La
propriété
un
voisinage
du théorème de ZORN.
application
5.- VOISINAGES.
DEFINITION 4.de
a
Dans
s’il existe
une
L’application
des filtres de
Cette
a
Les
~J
élément ouvert
un
On vérifie immédiatement la
PROPRIÉTÉ 4.-
dans
topologie
~~ V(a~
de
est donc
on
dit que
est
v
tel que
suivante :
propriété
voisinages
T ,
a
une
forment
un
application
filtre
de
T
dans
un
treillis ff
T .
application
vérifie les
propriétés
suivantes s
AXIOMES DES VOISINAGES.
Toutes
2e .
v e
ces
propriétés
Soit
V(a ~ .
tel que
se
démontrent immédiatement.
v ~ V~ ~,J ~9
Par suite ~
on
a donc
v ~ r’1
a~ C w,~ ~ v 9
V~a ~ .
d’où
Démontrons par exemple la
v 9 d’où
Inversement y
si
a ~ ~ ~
V(a ~ 9
v ~9 mais ~
t~~
et
v
il existe
est
un
ouvert
Dans le
d’un
d’un
il
en
cas
où
point pour
élément a
énoncée
en
résulte
T
=
P(E) ,
obtenir
De
est
a
que
propriété
moyen de la
au
quelconque.
supposant
il suffit de définir le filtre des
même, dans
un point.
définis à
Les éléments ouverts sont
ce
partir
voisinages
2° le filtre des voisinages
cas, la
des
propriété 3° peut être
par la
voisinages
propriété
suivante :
PROPRIETE 5.- est
valente de la
CD
T
est ouvert si et seulement
des filtres
dans T et
éléménts du
Cette
3.-
voisinages permet
nouvelle définition d’une
T ~,_
une
seulepour
topologie?
vertu
de
la
topologie dans
une
de
application a ~ V(a)
.T
dans le treillis
vérifiant les axiomes des
de
laquelle
les
voisinages 9 il existe une topologie
voisinages de a sont précisément les
est
unique puisque
V(a~.
si elle
sairement définis par
en
une
...
Etant donnée
filtre
équi-
si
par le théorème suivant s
THEOREME
Une forme
s’énonce :
propriété 5
La notion de
V(~ .
ouvert si et seulement si
existe,
les ouverts sont néces-
,
propriété 5 .
JL ’~.~complet de T~
comprenant 0 et u. Or on a V(0) = )0( par hypothèse et V(u) = )u( puiset
que V(u) C ’)u( . Soient ~
c~ tels que V( c~ ~ ~ ~ c~ ( 9 V( ~ù ~~~ c~,(
La propriété 2° montre que Inapplication a --~: V(a)
est anti-isotone :
a ~ b
2.V(b) . Il en résulte :
Montrons donc que
et par
Enfin
-ce
qui
ces
éléments forment
un
sous-treillis
p
conséquent 1
on a
d’après la propriété
d’après la propriété 2°
prouve que l’union d’éléments
..~
est
un
élément
il..
JJL
L’ensemble
des éléments ouverts.
vérifie bien l’axiome 1
topologie ainsi définie, a admet précisévoisinages de a. Soit v un voisinage de a 9
Il reste à démontrer que, dans la
V(a)
ment
on
a
filtre des
comme
donc ~
~’.~ /.
Et
v
~
.,
ouvert.
un
et par suite 1
soit
Inversement,
v~
V(x~)
et par suite
b
~ V(a) .
diaprés
a
on
y
v
03C9
a
la
v .
/
.
on
est
v
un
03C9 est l’union des éléments
propriété 2~ ~
Diaprés la propriété
tel que
(~J est ouvert et
Si
déduit
on
voisinage
de
b (
tels que
x03B1
v
=
des
3°
(~ d’ou
voisinages, il
b
=
existe
et
~
a .
B.
6.- SUR UN THÉORÈME DE GLVENKO.
Le treillis
i~-
des éléments ouverts d’une
topologie dans
T
est
un
treillis
générale (propriété 1y
quelconque possédant ces propriétés s’appelle un treillis
pseudo-complémenté (G. BIRKHOFF, Lattice theory, P*147). Si l’on
effet un élément quelconque a y il existe un élément maximum a~
distributif complet vérifiant la loi de ~-distributivité
§ 1).
Un treillis
distributif
se
donne
parmi
en
les éléments
Cet élément
x
qui vérifient
a* s’appelle
le
el
L
Le
+h~ ,
de
théorème
4.-
pseudo-complémenté de
-~..
ainsi
J
THÉORÈME
la relation s
L’ensemble ordonné 03A9
a .
Q
s
*
des
pseudo-domplémente forme un treillis
La correspondance a -~ (a~)~ est un
homomorphisme de
sur
Remarquons que les hypothèses faites sur jTL permettent de considérer -CLcomme un
demi-groupe réticulé
résidué(2) entier
plication l’opération d’intersection.
Considérons
(I)-
(2) (3) -
V.
l’équivalence(3)
R
commutatif,
L’élément
définie dans
fl
a*
en
prenant
pour multi-
est alors le résiduel
0:a
par :
GLIVENKO, Bull.Acad.Roy. Belg., 15 ( 1 929 ) , 83-88
1>1.L. DUBREIL-JACOTIN, L. LESIEUR, R. CROISOIT, Leçons sur les
treillis,p.152
Cette équivalence est du type équivalence d’Artin, en remplaçant e par
o (réf. précéd., p. 252)
Cette
régulière
Elle est
régulière
est
R
équivalence
rapport à
par
rapport à
par
l’unions
rapport
donc par
multiplication,
la
à l’inter-
section :
De
plus
a ~
on
Considérons
R
valence
En
effet,
a ~.
b
f(a) = f(b)
de
0
on
résiduels de
0
0 :
a .
car
x
on
a =
(0 : a)
0 ~
f(a)
et
entraînent
un
f(h)
est
x
f(b)
en
les résiduels
prenant
tous les
résiduel de 0
un
une
si et seulement si
application
~.
de
sur
.
.
,
de J-L
sur ~ ~- .
prenant
en
Cherchons les
f(c) ~ f(a)
Les relations
f(b~ 9 d(où
f(c~ ~
d’où
Inversement,
décrit l’ensemble
est donc
x
~ 1~..
f(a) = f(b) .
d’où
(0 : b) ,
décrit ~. ~. 9 f(x)
homomorphisme
dans
a ~ b ~
car
l’équi-
0 ~ b .
a=
Cette application est isotone :
Montrons que c’est
0 ~ b
0 ~
=
sait que
L(application
x .
o p
entraîne
éléments
ces
par
(R)
D’ailleurs, lorsque
de
Elle est liée à
par :
si
f(x) =
(0 ~ a) = f(a) .
a --~ 0 ~
l’application
entraîne
les
images
et
f(c~ ) f(b)
f :
par
On
=
majorants
a
donc dans
f(a) Vf(b)
’
On établit de même a
’
_
=
=
f(a)rt
car
Il
(1) -
en
.
résulte que l’ensemble ordonné
Ce treillis est d’ailleurs
-t *-
isomorphe
au
est
un
treillis
treillis
quotient
distributif
avec
De
plus y
On
a
élément
a
rB 0 : a
~
/
PROPRIETE 6.-
effet,
et élément universel
quelconque
0
=
=
f(au 0
~B~’
~B
Si 03A9 est complet,
03A9 est complet y l’union infinie dans
si
ouverts d’une
le
a)
s
complément
0 :
i
a
u
=
treillis de BOOLE
y
Le théorème de GLIVENKO
s’applique immédiatement
0 s
Le résiduel
T .
est le
a
03A9*
plus grand
au
treillis
a
ou
ouvert (jJ
complet.
est donnée par :
f(03B1)
dans
topologie
d’un élément ouvert
a
a
admet dans
suivante
propriété
f(x03B1) =
On
V 0 s
a
,
il
a ~
f(u) *
u =
treillis de BOOLE et-le théorème est démontrée
un
outre la
en
f(0)
=
un
est bien
E.n
0
élément nul
j.JL
des éléments
a*
pseudo-complément
quinvérifie
~03C9= 0 .
a
donc ~
a*= i(a’)
en
désignant
quelconque y
i(x)
par
THEOREME 5.-
Dans
treillis de BOOLE complet
f(a)
que
lorsque 03C6
a~
i(a)~
aussi.l’ensemble des éléments
plus, l’application
Dualement,
,
on
a -ai(a)
est
où
les éléments
un
=
i(a) .
désigne
homomorphisme
le résultat suivant
a
a
L’ensemble
Dans
une
Ce treillis est
Ces résultats
~
est donc
fermeture d’ouvert.
une
De
de
les éléments
image homomorphe
s’appliquejbt
de
03A6
par
l’application
Dans la
ment un treillis de
complets
et
non
.
,
topologie d’un espace réel
BOOLE complet non atomique 3 03C6
Même énoncé
un
avec
les ensembles
T.
a
exemples
espace
re-
atomiques.
R .
THEOREME 6’.-
forment
des ouverts de
donnent deux
nous
1
THEOREME 6.-.
CU
particulier à la topologie ordinaire d’un
en
de treillis de BOOLE
.iL
décrit l’ensemble
et les treillis de BOOLE alors obtenus
conque de
de T.
s
topologie quelconque,
treillis de BOOLE complet lorsque 03C9
marquables
un
2014~
THEOREME 5’.-
~
forment
~
réel
élément fermé
un
l’ensemble 03A6 des fermés
TARSKI, réf. citée,9 p.156)
i~(i(a’))’JÎ
=
est
décrit
MAC-KINSEY et
=
a’
s
topologie quelconquey
une
(Cf. "Regular Eloments",
Comme
x.
obtient le théorème suivant
on
Remarquons
do
l’intérieur
oO.
R
n
,
les ensembles
i(03C6)
étant un ensemble fermé
for
quel-
3-11
La relation entre le treillis de BOOLE
~-complet 03A9
lis distributif
un
pose
un
complet
treillis de BOOLE
problème
03A9
inverse
complet
non
résolu
vérifiant la loi de ~
complet,
avec
T et
un
sous-treillis
général
immerger un treil-distributivité générale dans
en
s
conservation des unions infibies.