Unité 6 – Les Ent Unité 6 – Les Entiers relatifs latifs

Unité 6 – Les Entiers relatifs
Les nombres entiers relatifs sont représentés par Z.
Ils comprennent tous les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs compris entre
les infinis.
Z = {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}
Le chiffre 0 est à la fois positif et négatif (neutre). Il fait partie de l'ensemble des nombres
entiers relatifs.
Utilisation des entiers relatifs
Comparaison au niveau de la mer
Cette ressource multimédia porte sur les entiers relatifs et la température. Une vidéo explique
le rôle des mathématiques dans la construction et l’entretien de patinoires .
http://www.learnalberta.ca/content/mfjhm/index.html?l=0&ID1=MF.JHM.NUM&ID2=MF.JHM.
NUM.ENT&lesson=html/video_interactives/entiersRelatifs/integersSmall.html
Pointage pour le golf
Argent ($)
Grandeur et ordre des entiers relatifs
L’ordre dans les nombres entiers relatifs est semblable à celle des nombres naturels. La seule
différence est que les nombres entiers relatifs comportent des nombres négatifs. Voyons
l’ordre croissant des entiers relatifs:
On pourrait aussi écrire l'ordre croissant des nombres entiers relatifs comme ceci :
... -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 ...
Le zéro est au centre de la droite numérique et agit un peu comme l'axe de symétrie entre les
nombres positifs et négatifs.
Il est important de comprendre que plus on se déplace vers la gauche, plus les chiffres sont
petits. Plus on avance vers la droite, plus les chiffres sont grands.
Les entiers relatifs utilisés comme coordonnées
Le plan cartésien
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Un plan cartésien est un plan formé de deux droites numériques perpendiculaires
nommées axes.
La droite numérique horizontale s'appelle l'axe des abscisses ou l'axe des x.
La droite numérique verticale s'appelle l'axe des ordonnées ou l'axe des y.
Le point de rencontre des deux axes du plan cartésien se nomme le point d'origine.
Le plan cartésien se divise en quatre régions nommées quadrants.
Le point placé dans un plan est identifié par sa projection sur chacun des axes. On
obtient deux résultats qui prennent les signes des quadrants que l'on appelle les
coordonnées du point.
UN POINT EST DONC UN COUPLE DE NOMBRES PLACÉS ENTRE PARENTHÈSES: l'abscisse
en premier, l'ordonnée en second.
Le couple (x, y) désigne le point.
Pour l'axe des x, les nombres positifs sont à droite du zéro et les nombres négatifs à gauche.
Pour l'axe des y, les nombres positifs sont en haut et les nombres négatifs en bas.
Donne les coordonnées cartésiennes des points indiqués dans le plan cartésien ci-dessous.
N'oublie pas les parenthèses!
L'addition de nombres entiers relatifs
Le sens des nombres
Les manuels scolaires utilisent souvent le contexte de l'argent ($) ou de la température (°).
Lorsqu'on a un nombre entier positif, on parlera d'une augmentation d'une somme d'argent (un
dépôt dans notre compte en banque) ou d'une hausse de température (il fait plus chaud).
Lorsqu'on a un nombre entier négatif, on parlera d'une dette d'argent (un retrait du compte en
banque) ou d'une baisse de température (il fait plus froid). On imagine qu'on part toujours de
zéro (0$ dans le compte ou 0°)
Additionner deux nombres entiers positifs (+,+)
On procède comme on en a l'habitude avec les nombres naturels. La somme de deux nombres
entiers positifs donne toujours un nombre entier positif.
Additionner 6+3
Les 2 nombres sont positifs, 6 et 3, alors la réponse sera positive.
Sens des nombres : Je dépose 6 $ dans mon compte, puis je dépose encore 3 $. J'aurais alors 9
$.
Visuellement : En partant de 0, j'augmente de +6 (flèche orange) puis j'augmente encore de +3
(flèche verte).
Réponse: 6+3=9
Additionner deux nombres entiers négatifs (-,-)
On procède comme avec entier positifs, mais les avec le sens négatif des nombres. La somme
de deux nombres entiers négatifs donne toujours un nombre entier négatif.
Additionner −6+−3
Les deux nombres sont négatifs, −6 et −3, alors la réponse sera négative.
Sens des nombres : J'observe une baisse de température de 6° suivie d'une autre baisse de 3°.
La température a subi une baisse totale de 9°
Visuellement : En partant de 0, j'ai une baisse de −6, suivi d'une baisse de −3
Réponse: −6+−3=−9
Additionner deux nombres de signes différents (+,-) ou (-,+)
On procède avec le sens des nombres. La somme sera positive ou négative selon le signe du
nombre qui est le plus éloigné de 0 sur la droite numérique.
Exemple 1: Additionner 6+(−3)
Les deux nombres sont de signes contraires : 6 et −3. Sur la droite, 6 est le nombre le plus
éloigné de 0, alors la réponse sera positive.
Sens des nombres : La température hausse de 6° (flèche orange), puis baisse de 3° (flèche
verte). La température atteind alors 3°.
Réponse: 6+−3=3
Exemple 2: Additionner 5+− 4
5 est plus éloigné du 0 que −4, la réponse sera positive. Je dépose 5 $ dans mon compte puis je
retire 4 $. Il me reste 1 $
5+−4=1
Exemple 3: Additionner −6+3
Les deux nombres sont de signes contraires : −6 et 3. Sur la droite, −6 est plus éloigné de 0,
alors la réponse sera négative.
Sens des nombres : La température a baissé de 6° (flèche orange), puis augmenté de 3° (flèche
verte).
Réponse: −6+3=−3
Méthode des jetons
1) Il te faut des jetons de deux couleurs différentes:
• Une couleur pour les nombres positifs
• Une autre pour les nombres négatifs.
2) On annule chaque jeton positif avec un jeton négatif.
3) La réponse de l’opération est donnée par le nombre de jetons restants. Le signe est fourni
par la couleur des jetons qui restent.
Additionner deux nombres de signes différents (+,-) ou (-,+)
Additionner 8+−6
1) Il te faut des jetons de deux couleurs différentes. 8 jetons oranges pour les positifs, 6
jetons verts pour les négatifs.
2. On annule chaque jeton positif avec un jeton négatif.
3. La réponse de l’opération est donnée par le nombre de jetons restants. Le signe est fourni
par la couleur des jetons qui restent. Il reste 2 jetons orange (positifs).
Ainsi, 8+−6=2
Additionner deux nombres de mêmes signes (+,+) ou (-,-)
Additionner: 8+6
Les deux termes de l'addition sont positifs alors les jetons ne s'annulent pas entre eux. On les
additionne:
Ainsi 8+6=14
Méthode de la droite numérique
Cette méthode est très visuelle.
1) On dessine une droite numérique.
2) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer.
3) Le deuxième terme de l'addition nous indique le nombre de bons à effectuer sur la droite
numérique. On fait des bons vers la droite si le nombre est positif et des bons vers la gauche si
le nombre est négatif.
Additionner −4+8
1) On dessine une droite numérique.
2) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer (-4)
3) Le deuxième terme de l'opération est positif (8). Il nous indique qu'il faut faire 8 bons vers
la droite.
Réponse : −4+8=4
Additionner −1+−4
1) On trace une droite numérique.
2) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer (-1).
3) Le deuxième terme de l'opération est négatif (-4). Il nous indique de faire 4 bons vers la
gauche.
Réponse : −1+− 4=− 5
La soustraction de nombres entiers relatifs
Visualise cette vidéo pour obtenir une explication de la soustraction d'entiers relatifs.
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=gkpSy4k2Nrw
Méthode plus rapide pour soustraire des relatifs
Soustraire un relatif revient en fait à ajouter son opposé. Il suffit d'appliquer cette règle pour se
ramener à une addition de relatifs.
L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même partie numérique, mais le signe
contraire.
Exemple
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
l'opposé de -7 est +7
l'opposé de +3 est -3
Propriété
Quand on ajoute un nombre et son opposé, le résultat est 0.
Exemple
Exemple

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La multiplication de nombres entiers relatifs
La multiplication est l'opération qui consiste à faire une addition répétée. Le produit désigne le
résultat de cette opération. Les facteurs correspondent à chaque composante de la
multiplication, c'est-à-dire les nombres qui sont multipliés ensemble.
• Lorsqu'on multiplie 2 nombres ayant le même signe, le produit sera positif.
• Lorsqu'on multiplie 2 nombres ayant des signes contraires, le produit sera négatif.
Exemples

Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux positifs.

Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux négatifs.

Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.

Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.
Exemples

Le résultat est positif car il y a deux facteurs négatifs et deux est un nombre pair.

Le résultat est négatif car il y a cinq facteurs négatifs et cinq est un nombre impair.
La division de nombres entiers relatifs
Une division donne le résultat d'une multiplication à trou :
(+8) ÷ (+2) = ? c'est comme ? x (+2) = (+8) ===>? = (+4), donc (+8) ÷ (+2) = (+4)
(-15) ÷ (+3) = ? c'est comme ? x (+3) = (-15) ===>? = (-5 ), donc (-15) ÷ (+3) = (-5)
(+24) ÷ (-6) = ? c'est comme ? x (-6) = (+24) ===>? = (-4), donc (+24) ÷ (-6) = (-4)
(-14) ÷ (-7) ÷= ? c'est comme ? x (-7) = (-14) ===> ? = (+2), donc (-14) ÷ (-7) = (+2)
La règle de la division découle donc de la règle sur la multiplication...et la règle des signes est
la même.
L’ordre des opérations
La priorité des opérations est une convention qui établit un ordre à respecter pour effectuer
les calculs dans une chaîne d'opérations.
Voici l'ordre à suivre:
1. Les parenthèses.
2. Les exposants
3. Les divisions et multiplications (de la gauche vers la droite)
4. Les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite)
Pour se souvenir de l'ordre, on peut prendre les premières lettres de chacune des étapes et
former un mo : PEDMAS.
Vidéo
http://www.youtube.com/watch?v=sRVNXIdU470&feature=player_embedded
1. Les parenthèses
2. Les exposants
3. Les multiplications et les divisions (de la gauche vers la droite)
4. Les additions et les soustractions
La notation scientifique
La notation scientifique permet de simplifier l'écriture d'un nombre très grand ou très petit.
Elle se présente sous la forme a x 10n
où :
- a se situe entre 1 et 9
- n est un nombre entier positif ou négatif, différent de 0.
Convertir un nombre en notation scientifique
On peut utiliser la technique suivante pour représenter un nombre
1. On place la virgule après l'unité.
2. On déplace la virgule vers la gauche par « bons » entre chaque nombre jusqu'à la droite du
chiffre le plus à gauche.
3. Le nombre de « bons » représente l'exposant de la base 10.
4. On représente le nombre en notation scientifique.
1. On place la virgule après l'unité.
2. On déplace la virgule vers la gauche par « bons » jusqu'à la droite du chiffre 3.
3. Le nombre de « bons », ici représentés par les flèches, représente l'exposant de la base 10.
Dans cet exemple, il y a 7 flèches, donc l'exposant de la base 10 est de 7.
4. On représente le nombre en notation scientifique.
3,2 x 107
- Voici d'autres exemples de nombre représenter en notation scientifique
52 200 = 5,22 x 104
280,6 = 2,806 x 102
Lorsque le nombre est compris entre 0 et 1
On peut utiliser la technique suivante pour représenter un nombre
1. On déplace la virgule vers la droite par « bons » entre chaque nombre jusqu'à la droite
premier chiffre différent de 0.
2. Le nombre de « bons » représente l'exposant négatif de la base 10.
3. On représente le nombre en notation scientifique.
1. On déplace la virgule vers la droite par « bons » entre chaque nombre jusqu'à la droite
premier chiffre différent de 0.
2. Le nombre de « bons », le nombre de flèches, représente l'exposant négatif de la base 10. Ici,
il y a 7 flèches donc l'exposant sera -7.
3. On représente le nombre en notation scientifique.
5,05 x 10-7
- Voici un autre exemple de nombre représenter en notation scientifique
0,00303 = 3,03 x 10-3
Les nombres rationnels (Q)
Les nombres rationnels sont représentés par Q.
Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme a/b où a et b sont des entiers relatifs et
où b est différent de 0. Le développement décimal d'un nombre rationnel est fini ou
périodique. Les nombres rationnels comprennent donc les entiers relatifs, les fractions, les
nombres fractionnaires et les nombres décimaux.
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