Triangles

Triangles
I. Inégalité triangulaire
Propriété
(l’inégalité triangulaire)
Soient A , B et C trois points quelconques.
On a alors AC ≤ AB + BC .
Conséquence Dans tout triangle la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux
autres côtés.
NI ≤ NE + EI
NE ≤ NI + IN
EI ≤ EN + NI
Propriété
Trois nombres étant donnés, si le plus grand est inférieur à la somme des deux autres, alors on
peut construire un triangle dont les longueurs des côtés sont ces trois nombres.
Exemples
On peut tracer un triangle de côtés 3cm, 4cm et 6cm.
En effet 6 ≤ 4 + 3 .
On ne peut pas tracer un triangle de côtés 2cm ,3cm et 6cm.
En effet 6 > 2 + 3 .
Si trois points A , B et C sont tels que AC = AB + BC alors B est un point du
Cas particulier
segment [ AC ] (le triangle ABC est plat).
II. Somme des angles d’un triangle
Propriété
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
A +
B +
C = 180°
Remarque
A l’aide de cette propriété, on peut, en connaissant les mesures de deux angles d’un triangle,
calculer la mesure du troisième angle.
Exercice
Dans un triangle ABC , si A = 111° et C = 33° calculer alors la mesure de l’angle B .
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
B = 180° − A +
C
Donc, dans le triangle ABC , (
)
B = 180° − (111° + 33° )
B = 180° − 144°
B = 36°
Cas particuliers
- Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60° (
180
= 60 ).
3
E =
Q =
U = 60°
- Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est égale à 90°.
R +
C = 90°
III. Construction de triangles
On peut construire un triangle avec les instruments de géométrie dans l’une ou l’autre des situations suivantes.
On connaît les longueurs des trois côtés.
Triangle ABC tel que AB = 5 cm
AC = 7 cm
BC = 3 cm
On connaît les longueurs de deux côtés et la mesure d’un angle.
Triangle DEF tel que DF = 5 cm
EF = 7 cm
F = 25°
Triangle GHI tel que GH = 6 cm
HI = 4 cm
I = 115°
Triangle JKL tel que JL = 6 cm
KL = 4 cm
J = 35°
Deux triangles sont possibles.
On connaît la longueur d’un côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents.
Triangle MNO tel que
MO = 5 cm
M = 120°
O = 20°
Si on connaît la longueur d’un côté et les mesures de deux angles dont l’un ne lui est pas
Remarque
adjacent, on peut toutefois calculer le troisième angle (la somme des angles …) ; on se retrouve ainsi dans la
dernière situation.
Exercice
Construire un triangle PQR tel que QR = 5 cm, P = 120° et R = 20°.
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Q = 180° − P +
R
Donc, dans le triangle PQR , (
)
Q = 180° − (120° + 20° )
Q = 180° − 140°
Q = 40°