MATHÉMATIQUES 4e secondaire Passerelle du programme

MATHÉMATIQUES
4e secondaire
Passerelle du programme Sciences naturelles vers celui de
Culture, société et technique
Document préparatoire à la passation de l’épreuve ministérielle du
programme Culture, société et technique
Théorie et exercices
Préambule
Ce document s’adresse aux élèves qui ont suivi le cours Sciences naturelles de 4e
secondaire durant l’année scolaire, et pour lesquels il serait avantageux de passer
l’épreuve ministérielle du cours Culture société et technique de 4e secondaire.
Afin d’assurer une préparation adéquate de ces élèves à l’épreuve, le présent document
contient les notions mathématiques qui n’ont pas été couvertes par la séquence d’origine
Sciences naturelles, mais qui sont objet d’étude pour la passation de l’épreuve du cours
Culture société et technique. Pour ces notions, des exercices et leurs solutions sont
suggérés.
Le tableau ci-dessous présente une vue d’ensemble des notions du cours Culture,
société et technique qui sont traitées dans ce document.
Notions du cours Culture,
société et
e
technique 4
Arithmétique
Algèbre
Géométrie
Probabilités
Statistique
Séquence d’origine
Sciences naturelles 4
Inéquation du 1
degré à deux
variables
e
er
Fonctions :
Exponentielle
Périodique
Définie par parties
y compris en
escalier
Quadratique
centrée à l’origine
Point de partage
Formule de Héron
Probabilités :
Probabilité subjective
Chance pour ou contre
Espérance mathématique
Distribution à un
caractère:
Mesure de position: rang
centile
Mesure de dispersion:
écart moyen
Afin d’optimiser l’appropriation de ce document par les élèves, les balises suivantes sont
proposées :
1. Remettre le document aux élèves vers la fin-mai début-juin.
2. Prévoir un temps minimal de 20 heures pour les notions et les exercices.
Note : La théorie et les exercices sont extraits de la collection de manuels scolaires Intersection
Mathématique Culture, société et technique, sous réserve de l’autorisation suivante : © Les publications
Graficor inc. Autorisation de reproduire et/ou de modifier le document limitée au détenteur ou à la
détentrice de la licence.
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Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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Table des matières
Notions et exercices du volet algèbre ………………………………………page 5
1.
Inéquation du premier degré à deux variables………………………………………5
1.1.
Tracer le demi-plan……………………………………………………………..5
1.2.
Déterminer l’inéquation qui décrit un demi-plan……………………………..5
1.3.
Exercices suggérés……………………………………………………………..6
2. Les fonctions définies par parties………………………………………………………7
2.1.
La fonction en escalier…………………………………………………………7
2.1.1. Les modes de représentation d’une fonction en escalier………………9
2.2.
Exercices suggérés…………………………………………………………….9
2.3.
La fonction affine par parties…………………………………………………10
2.3.1. La règle d’une fonction affine par parties……………………………….10
2.4.
Exercices suggérés……………………………………………………………12
2.5.
La représentation d’une situation à l’aide d’une table de valeurs ou d’un
graphique des fonctions périodique, exponentielle et quadratique………13
2.5.1. La fonction périodique……………………………………………………14
2.5.2. La fonction exponentielle…………………………………………………15
2.5.2.1.
La recherche de la règle…………………………………………15
2.5.3. La fonction quadratique…………………………………………………..16
2.5.3.1.
La recherche de la règle…………………………………………17
2.6.
Exercices suggérés……………………………………………………………18
Notions et exercices du volet géométrie ………………………………….page 19
3. Le point de partage……………………………………………………………………19
3.1.
Exercices suggérés…………………………………………………………...20
4. L’aire de triangles………………………………………………………………………21
4.1.
Le demi-produit d’une base et de sa hauteur relative……………………..21
4.2.
La formule de Héron………………………………………………………….22
4.3.
Exercices suggérés…………………………………………………………..23
Notions et exercices du volet probabilités ……………………………….page 24
5. Probabilités et espérance mathématique…………………………………………..24
5.1.
La distinction entre les différents types de probabilités…………………...24
5.1.1. La probabilité théorique………………………………………………….24
5.1.2. La probabilité fréquentielle………………………………………………24
5.1.3. La probabilité subjective…………………………………………………25
5.2.
Les «chances pour» et les «chances contre»……………………………..25
5.2.1. De la probabilité aux chances et des chances à la probabilité……….26
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3
5.3.
L’espérance mathématique…………………………………………………27
5.3.1. L’interprétation de l’espérance mathématique et l’équité…………….28
5.4.
Exercices suggérés………………………………………………………….29
Notions et exercices du volet statistique………………………………….page 30
6. Mesures de dispersion et de position……………………………………………….30
6.1.
L’écart moyen………………………………………………………………...30
6.2.
Le rang centile………………………………………………………………..31
6.2.1. La recherche du rang centile d’une donnée…………………………...32
6.2.2. La recherche d’une donnée qui occupe un rang centile particulier….32
6.3.
Exercices suggérés…………………………………………………………..32
Solutionnaire des exercices …………………………………………………page 33
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Notions et exercices du volet algèbre
1. Inéquation du premier degré à deux variables
Le demi-plan
En géométrie analytique, un demi-plan se définit comme l’ensemble des points d’un plan
qui vérifient une inéquation du premier degré à deux variables.
1.1 Tracer un demi-plan
Pour tracer un demi-plan, on trace d’abord la droite qui constitue la frontière du
demi-plan. Ensuite, on se base sur le signe d’inégalité pour déterminer la région à
hachurer.
Exemple : Voici les étapes à suivre pour tracer le demi-plan d’inéquation 3x – 4y + 24 >0.
Étapes
Démarche
1. Tracer la droite 3x – 4y + 2 = 0.
Puisque le signe d’inégalité est
strict (>), cette droite doit être
en tirets.
2. Choisir un point-test et
remplacer ses coordonnées
dans l’inéquation du demiplan.
x
y
0
6
-
0
8
Pour faciliter les calculs, on choisit souvent
l’origine du plan cartésien comme point-test :
3(0) – 4(0) + 24 > 0
Puisque 24 > 0, l’origine fait partie de
la région à hachurer.
3. Hachurer la région
correspondant au demi-plan
selon la conclusion à laquelle
on arrive à l’étape 2.
1.2 Déterminer l’inéquation qui décrit un demi-plan
Pour déterminer l’inéquation qui décrit un demi-plan, on détermine d’abord l’équation de
la droite qui constitue la frontière du demi-plan. Ensuite, on détermine le signe d’inégalité
qui correspond à la région hachurée du demi-plan. e
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Exemple : Soit le demi-plan tracé dans le plan cartésien ci-dessous.
Voici les étapes à suivre pour déterminer l’inéquation qui décrit ce demi-plan.
Étapes
Démarche
1. Déterminer
l’équation de la
droite qui constitue
la frontière du
demi-plan.
L’ordonnée à l’origine de la droite est -4.
La pente de la droite est
Δy y 2 − y 1 2− − 4 6
=
=
= =3
Δx x 2 − x1 2 − 0 2
L’équation de la droite est donc y = 3x – 4.
Puisque la droite est pleine et non en tirets, on
doit choisir entre les symboles « ≤ » et « ≥ ».
2. Déterminer le signe
d’inégalité.
Puisque la région hachurée s’étend vers le bas,
toutes les valeurs de y inférieures ou égales à
3x - 4 font partie de cette région.
L’inéquation du demi-plan est donc y ≤ 3x – 4.
1.3 Exercices suggérés (Manuel de l’élève A)
•
Page 154 à page 155, #11 à #15
e
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2. Les fonctions définies par parties
Une fonction définie par parties est une fonction dont la règle s’exprime comme un ensemble
de règles définies sur différents intervalles de son domaine.
Bien qu’elle soit formée de plusieurs parties, la fonction définie par parties est une seule
fonction.
2.1 La fonction en escalier
La fonction en escalier est une fonction définie par parties. Voici les caractéristiques d’une
fonction en escalier.
Caractéristiques
Manifestations dans le graphique
Le graphique est formé de segments horizontaux.
La fonction est constante sur
chaque intervalle du domaine.
Généralement, les segments ont un point fermé à
une extrémité et un point ouvert à l’autre.
La fonction a des valeurs critiques.
Aux valeurs critiques, la fonction varie par saut.
La fonction est discontinue.
Le graphique de la fonction ne peut pas être
tracé sans lever le crayon.
Le graphique ci-dessous permet de visualiser les manifestations des caractéristiques..
Exemple :
Le stationnement d’un marché public est ouvert tous les jours de 8 h à 18 h.. Voici le tarif du
stationnement. :
• la première heure est gratuite ;
• chaque heure supplémentaire partielle ou complète coûte 2 $ ;
• le tarif maximal pour une journée est de 9 $ .
e
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Soit x, le temps d’utilisation du stationnement du marché public (en heures) et t(x), le tarif de
stationnement (en dollars).
Voici la représentation graphique et les propriétés de la fonction en escalier associée à
l’exemple du tarif de stationnement.
Le tarif de stationnement au marché public
Propriétés Valeurs Domaine
]0, 10] Image {0, 2, 4, 6, 8, 9} Abscisses à
l’origine ]0, 1] Ordonnée à l’origine Cette fonction n’a pas d’ordonnée à
l’origine. Signe La fonction est positive pour x ∈ ]0, 10]. Extremums La fonction a un minimum de 0 et un
maximum de 9. Variation La fonction est croissante pour x ∈ ]0, 10]. e
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2.1.1. Les modes de représentation d’une fonction en escalier
En plus de la représentation graphique ou en mots, la fonction en escalier peut être
représentée à l’aide d’une règle.. Cette règle s’écrit comme un ensemble de règles de
fonctions constantes définies sur différents intervalles du domaine.
Exemple :
Voici la règle de la fonction qui modélise les tarifs du stationnement du marché public .
f (x) =
0 pour 0 < x
≤1
2 pour 1 < x
≤2
4 pour 2 < x
≤3
6 pour 3 < x
≤4
8 pour 4 < x
≤ 5 9 pour 5 < x
≤ 10 2.2. Exercices suggérés (Manuel de l’élève A)
•
Page 23 Ai-je bien compris
•
Page 25 Ai-je bien compris
•
Page 28 #1 et #2
•
Page 29 #3 et #5
•
Page 30 #6
•
Page 31 #11 (facultatif)
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2.3. La fonction affine par parties
La fonction affine par parties est une fonction définie par parties . Il s’agit d’une fonction
constituée de plusieurs fonctions affines définies sur différents intervalles de son domaine.
Exemple :
Soit le graphique d’une fonction affine par parties .
Le tableau ci-dessous présente les propriétés de la fonction f.
Domaine
x ∈ [0, 270]
Image
f(x) ∈ [0, 4000]
Abscisse à l’origine
270
Ordonnée à l’origine
4 000
Signe
La fonction est positive pour x ∈ [0, 270].
Extremums
La fonction a un maximum de 4 000 et un minimum de 0.
Variation
La fonction est strictement décroissante pour x ∈ [0, 270].
2.3.1. La règle d’une fonction affine par parties
En plus de la représentation graphique, la fonction affine par parties peut être représentée à
l’aide d’une règle.
Cette règle s’écrit comme un ensemble de règles de fonctions affines définies sur différents
intervalles du domaine.. Il faut donc déterminer autant de règles que la fonction a de parties.
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Le tableau ci-dessous présente les étapes à suivre pour déterminer la règle d’une fonction
affine par parties.
Exemples
Étapes
1. Pour chacune des
parties, relever
l’information dont
on dispose. 2. Calculer le taux de
variation à partir de
deux points.
Intervalle du domaine
Intervalle du domaine
[0, 70]
[70, 270] On dispose des points
On dispose des points
(0, 4000) et (70, 500).
70, 500) et (270, 0).
Le taux de variation est :
Le taux de variation est :
y − y1
a= 2
x 2 − x1
y − y1
a= 2
x 2 − x1
a=
500 − 4000 =
70 − 0
−
3500
70
a = −50
3. Trouver la valeur
de b en remplaçant Le taux de variation est :
le taux de variation
f (x ) = ax + b
et les coordonnées
d’un point de la
4 000 = −50 (0) + b
fonction dans la
règle f(x) = ax + b.
4 000 = b
a=
−
0 − 500 = 500
270 − 70
200
a = −2,5
Le taux de variation est :
f (x) = ax + b
500 = -2,5 (70) + b
500 = −175 + b
675 = b
4. Écrire la règle de
chaque partie.
e
f(x) = −50x + 4 000
f(x) = −2,5x + 675
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Voici la règle de la fonction. Cette règle est constituée des règles de deux fonctions affines
définies sur différents intervalles du domaine.
≤ x ≤ 70
–50x + 4 000
pour
0
–2,5x + 675
pour
70 < x
≤ 270
2.4. Exercices suggérés (Manuel de l’élève A)
•
Page 35 Ai-je bien compris
•
Page 37 Ai-je bien compris
•
Page 43 #8 et #9
•
Page 44 #11
•
Page 45 #14
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2.5. La représentation d’une situation à l’aide d’une table de valeurs ou d’un
graphique des fonctions périodique, exponentielle et quadratique.
Les fonctions périodique, exponentielle et quadratique permettent de modéliser une
grande variété de situations. Le tableau suivant montre la modélisation de trois situations
à l’aide des trois types de fonctions.
Situation 1
Situation 2
Situation 3
Situation à
modéliser
L’aire d’un rectangle dont la
hauteur mesure le double de
la base
Le nombre de bactéries sur
une surface si ce nombre
double chaque heure
La partie décimale d’un
nombre réel
Modèle retenu
Fonction quadratique
Fonction exponentielle
Fonction périodique
Base
0
1
Représentation
à l’aide d’une
table de
valeurs
2
3
4
Aire
Temps
(h)
Nombre
de
bactéries
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
0
2
8
18
32
50
6
72
Partie
décimale
0,56
0,56
0,78
0,78
1,07
0,07
1,14
0,14
1,56
0,56
1,78
0,78
2,07
0,07
2,56
0,56
Aire
5
Nombre
Représentation
à l’aide d’un
graphique
Base
Remarque : La table de valeurs est moins utile pour représenter un modèle périodique, à
moins qu’elle ne contienne un très grand nombre de valeurs.
e
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2.5.1. La fonction périodique
La fonction périodique est utilisée pour modéliser des phénomènes cycliques comme les
marées, le mouvement d’un pendule ou les battements cardiaques. La période est
définie comme l’étendue d’un cycle de la fonction.
Exemple :
La période de la fonction représentée dans le plan cartésien ci-dessous est 4.
Voici la représentation graphique et les propriétés d’un exemple de fonction périodique.
Représentation
graphique
Domaine
[–3, 5]
Image
[–3, 3]
Abscisse à l’origine
(ou zéro)
Les abscisses à l’origine de la fonction sont {–2, 0, 2, 4}.
Ordonnée à l’origine
(ou valeur initiale)
L’ordonnée à l’origine de la fonction est 0.
La fonction est positive pour x ∈ [–3, –2] ∪ [0, 2] ∪ [4, 5].
Signe
La fonction est négative pour x ∈ [–2, 0] ∪[2, 4].
Le minimum de la fonction est –3.
Extremums
Le maximum de la fonction est 3.
La fonction est strictement croissante pour x ∈ [–1, 1] ∪ [3, 5].
Variation
La fonction est strictement décroissante pour x ∈ [–3, –1] ∪ [1, 3].
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2.5.2 La fonction exponentielle : règle de la forme f(x) = abx
La fonction exponentielle est une fonction dont la variable indépendante se trouve en
exposant dans la règle qui la décrit.
La représentation graphique d’une fonction exponentielle dont la règle est de la forme
f(x) = abx est une courbe dont l’asymptote est l’axe des abscisses.
Le paramètre a de la règle est l’ordonnée à l’origine (ou la valeur initiale) de la fonction
exponentielle. La valeur de a ne doit pas être égale à 0.
Le paramètre b de la règle est la base de la fonction exponentielle. La valeur de b doit
être plus grande que 0, sans être égale à 1.
Exemples :
f(x) = 2x est la règle d’une fonction exponentielle dont l’ordonnée à l’origine est 1 et dont
la base est 2.
g(x) = –2(1,3)x est la règle d’une fonction exponentielle dont l’ordonnée à l’origine est –2
et dont la base est 1,3.
2.5.2.1 La recherche de la règle
ll est possible de déterminer la règle d’une fonction exponentielle à partir d’une table
de valeurs.
Considérons la table de valeurs suivante, à titre d’exemple:
+1
–
x
f(x)
+1
+1
+1
1
0
1
2
3
4
2,5
5
10
20
40
80
x2
e
+1
x2
x2
x2
x2
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15
Le tableau suivant présente les étapes à suivre pour déterminer la règle de la fonction
exponentielle à partir de cette table de valeurs.
Étapes
1. Vérifier si le rapport
f(x + 1)
est constant dans la table
f(x)
de valeurs.
Si le rapport est constant, il correspond à la base b de la
fonction exponentielle.
2. Remplacer la base b par la valeur déterminée à
l’étape 1 dans la règle f(x) = abx
3. Substituer les coordonnées d’un couple de la table de
valeurs à x et à f(x) dans la règle.
4. Résoudre l’équation afin de déterminer la valeur de a.
Démarche
f(0)
f(1)
f(4)
=
= ... =
−
f(3)
f( 1) f(0)
5
10
80
=
= ... =
=2
2,5 5
40
b=2
f(x) = a(2)x
Point (3, 40)
40 = a(2)3
40
=a
23
5=a
5. Écrire la règle sous la forme f(x) = abx avec les valeurs
de a et de b déterminées précédemment.
f(x) = 5(2)x
Remarques :
La règle f(x) = 5(2)x n’est pas équivalente à la règle f(x) = 10x puisque l’exponentiation
est prioritaire sur la multiplication.
Cette procédure est également utile lorsqu’on dispose de la représentation graphique
d’une fonction exponentielle dont on connaît les points de coordonnées (x, f(x)) ainsi que
(x + 1, f(x + 1)).
2.5.3. La fonction quadratique : règle de la forme f(x) = ax2
La fonction quadratique, appelée aussi «fonction polynomiale de degré 2», est une
fonction dont la règle est un polynôme de degré 2 à une variable.
La représentation graphique d’une fonction quadratique dont la règle est de la forme
f(x) = ax2 est une parabole dont le sommet est à l’origine du plan cartésien. La valeur
du paramètre a ne doit pas être égale à 0.
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Exemples :
f(x) = 3x2 est la règle d’une fonction quadratique dont la valeur de a est 3. Ce qui signifie
que la parabole est ouverte vers le haut.
- x2
-1
est la règle d’une fonction quadratique dont la valeur de a est
. Ce qui
2
2
signifie que la parabole est ouverte vers le bas.
g(x) =
2.5.3.1 La recherche de la règle
Il est possible de déterminer la règle d’une fonction quadratique à partir d’une table de
valeurs. Considérons la table de valeurs suivante, à titre d’exemple:
x
f(x)
–
5
0
5
10
12,5
0
12,5
50
Le tableau suivant présente les étapes à suivre pour déterminer la règle de la fonction
quadratique à partir de cette table de valeurs.
Étapes
1. Substituer les coordonnées d’un point de la table
de valeurs à x et à f(x) dans la règle f(x) = ax2.
2. Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 afin de
déterminer la valeur de a.
Démarche
Point (5, 12,5)
12,5 = a(5)2
12,5
=a
52
1
=a
2
3. Écrire la règle sous la forme f(x) = ax2 avec la
valeur de a déterminée précédemment.
f(x)=
1 2
x
2
Remarques :
Cette procédure est également utile lorsqu’on dispose de la représentation graphique
d’une fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = ax2 et dont on connaît
les coordonnées d’un point autre que le sommet.
Il est possible de connaître la valeur du paramètre a de la règle f(x) = ax2 lorsqu’on
dispose de f(1), car f(1) = a.
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17
2.6. Exercices suggérés (Manuel de l’élève B)
•
Page 31 #4 et #5
•
Page 25 Ai-je bien compris sauf le c)
•
Page 31 #2
•
Page 14 Ai-je bien compris # 1
•
Page 32 #6 à #10
•
Page 33 #11 à #15
e
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18
Notions et exercices du volet géométrie
3. Le point de partage
Il est possible de déterminer les coordonnées d’un point de partage d’un segment, c’està-dire un point situé à une certaine fraction d’un segment.
Pour ce faire, on détermine séparément l’abscisse et l’ordonnée de ce point de partage.
Soit le segment UV tracé dans le plan cartésien ci-dessous. On s’intéresse aux
coordonnées du point de partage P, situé à la fraction
a
du segment UV à partir du
b
point U.
Abscisse du point de partage
L’accroissement des abscisses* du point U
au point P est
a
• ∆x.
b
Ordonnée du point de partage
L’accroissement des ordonnées** du point U
au point P est
L’abscisse du point P est donc x1 +
a
• ∆x.
b
a
• ∆y.
b
L’abscisse du point P est donc y1 +
a
• ∆y.
b
Ordonnée du point U
Abscisse du point U
Accroissement des abscisses
du point U au point P
Accroissement des ordonnées
du point U au point P
*L’accroissement des abscisses est: x2 - x1 **L’accroissement des ordonnées est: y2 - y1
Les coordonnées du point P situé à la fraction
U(x1,y1) sont donc : P (x1 +
e
a
du segment UV à partir du point
b
a
a
• ∆x1, y1 + • ∆y).
b
b
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19
Exemples :
Voici les étapes à suivre pour déterminer les coordonnées du point P situé aux 3 du
5
segment UV, d’extrémités U (4, 6) et V (9, 16), à partir du point U.
Étapes
Démarche
1. Calculer l’accroissement des abscisses et
Δx = x2 – x1 = 9 – 4 = 5
l’accroissement des ordonnées du segment en
considérant que les coordonnées du point de Δy = y2 – y1 = 16 – 6 = 10
départ U correspondent à (x1, y1).
2. Déterminer les coordonnées du point de
partage en additionnant la fraction ⎛⎜ 3 ⎞⎟ des
P ⎛⎜ x + a • Δx , y + a • Δy ⎞⎟
⎜ 1 b
⎟
1
1 b
⎝
⎠
⎝5⎠
accroissements calculés à l’étape 1 aux
coordonnées du point de départ.
P ⎛⎜ 4 + 3 • (5) , 6 + 3 • (10) ⎞⎟
⎝
5
5
⎠
P (4 + 3, 6 + 6)
P (7, 12)
Voici les étapes à suivre pour déterminer les coordonnées d’un point P partageant un
segment AB d’extrémités A(-1,5) et B(6,19) à partir du point B, lorsque le rapport est de
4 pour 3. Étapes 1. Calculer l’accroissement des abscisses
et des ordonnées des coordonnées du
segment en considérant que les
coordonnées du point de départ (B)
correspondent à (x1, y1).
2. Déterminer les coordonnées du point de
partage en additionnant la fraction
4
4
= des accroissements calculés à
4+3 7
l’étape 1 aux coordonnées du point de
départ.
Démarche Δx = x 2 − x 1 = −1 − 6 = −7
Δy = y 2 − y 1 = 5 − 19 = −14
⎛
⎞
4
4
P ⎜ 6 + i −7, 19 + i −14 ⎟
7
7
⎝
⎠
(
P 6 + −4, 19 + −8
)
P (2, 11)
3.1 Exercices suggérés (Manuel de l’élève A)
•
Page 140 #10 et #11
•
Page 141 #13 à #15
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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20
4. L’aire de triangles
4.1 Le demi-produit d’une base et de sa hauteur relative
Il est possible de calculer l’aire des triangles de différentes façons, selon les mesures
d’angles et de côtés connues
Lorsque les mesures connues dans un triangle permettent de déterminer une hauteur
relative à un côté dont on connaît la mesure, alors on calcule l’aire du triangle à l’aide de
Base • Hauteur
la formule suivante : Aire =
Δ
2
Le calcul de l’aire d’un triangle repose essentiellement sur l’habileté à déterminer la
hauteur dont on peut déduire la mesure.
Exemple : Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire d’un triangle ABC dont on connaît
les mesures de deux côtés et d’un angle.
Étapes
Démarche
1. Déterminer la hauteur hA relative à un des
côtés connus et utiliser les rapports
trigonométriques.
sin 43o =
hA
11
h A = 11 • sin 43 o
2. Calculer l’aire du triangle à l’aide de la
Base • Hauteur
formule : Aire =
Δ
2
Aire
ΔABC
=
=
Aire
e
ΔABC
Base • Hauteur
2
10 • 11 • sin 43 o
2
≈ 35,7 cm2
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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21
4.2. La formule de Héron
Pour calculer l’aire d’un triangle à l’aide des mesures de ses trois côtés, on utilise la
formule de Héron suivante:
a
A∆ = p (p − a )(p − b )(p − c )
b
c
Dans la formule ci-dessus, la lettre p désigne le demi-périmètre du triangle et les lettres
a, b et c sont les mesures de ses côtés.
Exemple : Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire du triangle ABC dont les mesures
des côtés sont respectivement 8 cm, 10 cm et 12 cm.
Étapes
1. Calculer le demi-périmètre du triangle.
Démarche
p=
p=
a + b + c
2
12 + 10 + 8
2
p = 15
2. Calculer l’aire du triangle ABC à l’aide
de la formule de Héron :
A∆ = p (p − a )(p − b )(p − c )
A∆ =
15 (15 − 12 )(15 − 10 )(15 − 8 )
A∆ =
1575
A∆ ≈ 39,7 cm2
Remarques :
Avant d’utiliser l’une ou l’autre des formules pour calculer l’aire d’un triangle, il faut
parfois calculer d’autres mesures à l’aide des rapports trigonométriques ou de la loi des
sinus.
On peut déterminer l’aire de certains quadrilatères en les divisant en triangles.
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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22
4.3 Exercices suggérés (Manuel de l’élève B)
•
Page 159 #2 et #3
•
Page 160 #7 b) seulement
•
Page 161 #9 et #10
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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23
Notions et exercices du volet probabilités
5. Probabilité et espérance mathématique
5.1 La distinction entre les différents types de probabilités
Une probabilité peut être théorique, fréquentielle ou subjective selon qu’on la calcule à
l’aide d’un modèle, qu’on l’estime à l’aide d’une expérience ou qu’on l’évalue en faisant
appel à son jugement.
La valeur d’une probabilité est toujours comprise dans l’intervalle [0, 1]. 5.1.1 La probabilité théorique
Il est possible de calculer la probabilité théorique d’un événement lorsqu’on peut
modéliser une situation sans nécessairement recourir à l’expérimentation.
Lorsque les résultats d’une expérience aléatoire sont équiprobables, la probabilité d’un
événement se calcule de la façon suivante :
Probabilité théorique d’un événement
= Nombre de résultats favorables
Nombre de résultats possibles
Exemple :
Soit l’expérience aléatoire «Sans regarder, tirer une bille du bocal
ci-contre et noter sa couleur». La probabilité de tirer :
une bille grise est de
2
5
4
; une bille noire est de
; une bille blanche est de .
11
11
11
5.1.2 La probabilité fréquentielle
La probabilité fréquentielle est une estimation faite à partir de résultats observés suite à
plusieurs réalisations d’une expérience aléatoire. On doit avoir recours à une expérience
aléatoire lorsqu’on ne dispose pas d’un modèle permettant de calculer une probabilité
théorique. Lorsque l’expérience aléatoire est effectuée un grand nombre de fois, la
probabilité fréquentielle constitue une bonne estimation de la probabilité théorique d’un
événement.
Probabilité fréquentielle
d’un événement
e
= Nombre de réalisatio ns de l' événement
Nombre de réalisatio ns de l' expérience aléatoire
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24
Exemple :
Soit l’expérience aléatoire «Lancer un pince-feuilles et noter sa position finale».
Voici la compilation des résultats de 300 lancers.
Résultats
(position
finale)
Nombre de
réalisations
225
39
36
Probabilités
fréquentielles
225
= 75%
300
39
= 13%
300
36
= 12%
300
0
0%
Remarque : Même si on n’a pas observé un des résultats en effectuant l’expérience
aléatoire, on ne peut pas conclure que ce résultat est impossible
5.1.3 La probabilité subjective
Une probabilité subjective reflète l’avis d’une personne sur la probabilité qu’un
événement se réalise. La probabilité est subjective puisqu’elle fait appel au jugement et
correspond à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des
opinions. On évalue une probabilité subjective dans le cas où il est impossible de
calculer une probabilité théorique ou d’estimer une probabilité fréquentielle.
Les prévisions de résultats sportifs et certaines prévisions météorologiques font appel à
la probabilité subjective.
Remarque : La probabilité subjective qu’un événement se réalise peut être évaluée
différemment d’une personne à une autre.
5.2 Les «chances pour» et les «chances contre»
Dans certaines situations, les probabilités théorique, fréquentielle ou subjective sont
exprimées en «chances pour» et en «chances contre». Les «chances pour» et les
«chances contre» la réalisation d’un événement sont exprimées par les rapports suivants
«Chances pour»
e
= Nombre de cas favorables
Nombre de cas défavorabl es
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25
«Chances contre» = Nombre de cas défavorabl es
Nombre de cas favorables
Exemple :
Pour une saison donnée, trois analystes sportifs croient que l’équipe des Canadiens de
Montréal remportera la coupe Stanley alors que huit autres croient qu’une autre équipe
de la Ligue nationale de hockey la remportera.
Les «chances pour» sont de 3 : 8 et les «chances contre» sont de 8 : 3.
Remarque :
On exprime généralement les «chances pour» et les «chances contre» à l’aide d’un
deux-points. Ainsi, si les «chances pour» la réalisation d’un événement sont évaluées à
3
, on écrit 3 : 8 et on dit : les «chances pour» que l’événement se réalise sont de 3 pour
8
8.
5.2.1 De la probabilité aux chances et des chances à la probabilité
La relation entre le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables et
défavorables à la réalisation d’un événement permet d’exprimer une probabilité en
«chances pour» ou en «chances contre» ou l’inverse.
Nombre de cas possibles = Nombre de cas favorables + Nombre de cas défavorables
Exemples :
1)
Pour exprimer la probabilité
5
en «chances pour», on détermine le nombre de cas
12
défavorables à partir du dénominateur qui représente le nombre de cas possibles.
On a donc 7 cas défavorables (12 – 5 = 7). Les «chances pour» sont de 5 : 7.
Pour exprimer le rapport «chances contre» 9 : 2 en probabilité, on détermine le
nombre de cas possibles à partir du nombre de cas défavorables et du nombre de cas
favorables.
2)
On a donc 11 cas possibles (9 + 2 = 11) et la probabilité est de
2
.
11
Remarque:
Le rapport «chances pour» est l’inverse multiplicatif du rapport «chances contre».
e
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26
5.3 L’espérance mathématique
L’espérance mathématique est la moyenne pondérée des résultats d’une expérience
aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d’obtenir chacun
des résultats. Il s’agit donc de la somme des produits des résultats et des probabilités
correspondantes.
Pour calculer l’espérance mathématique, il est souvent plus simple de ne pas réduire les
fractions correspondant aux probabilités.
Exemple :
On fait tourner la flèche de la roulette ci-dessous et on remporte le lot inscrit dans le
secteur où la flèche s’immobilise.
Résultats Probabilités
5
0$
2$
5$
12 $
Espérance mathématique = 0 •
=
16
4
16
4
16
3
16
5
4
4
3
+ 2•
+5•
+ 12 •
16
16
16
16
0 + 8 + 20 + 36 64
=
=4
16
16
L’espérance mathématique de cette roulette est de 4 $.
Cela signifie qu’en faisant tourner la flèche de la roulette un très grand nombre de fois,
on peut s’attendre à gagner en moyenne 4 $ chaque fois qu’on la fait tourner.
Remarques :
La valeur moyenne des résultats obtenus en répétant une expérience aléatoire un très
grand nombre de fois tend vers l’espérance mathématique.
On note parfois l’espérance mathématique avec la lettre E. Par exemple, l’espérance
mathématique d’une roulette peut se noter E(Roulette).
e
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27
5.3.1 L’interprétation de l’espérance mathématique et l’équité
Dans un jeu qui consiste à effectuer une expérience aléatoire et où il est possible de
gagner ou de perdre des points, des objets ou de l’argent, il y a trois possibilités.
Le jeu est :
favorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est positive;
défavorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est négative;
équitable si l’espérance mathématique est nulle.
L’espérance mathématique d’un jeu de hasard dépend du prix à payer pour y participer.
Exemples :
On fait tourner la roulette ci-contre et la joueuse ou le joueur peut
gagner l’un des résultats suivants
Résultats
0$
2$
5$
12 $
Probabilités
5
16
4
16
4
16
3
16
a) Calculer l’espérance mathématique du jeu.
E(Jeu) = 0 •
5
4
4
3
+ 2•
+5•
+ 12 •
= 4 L’espérance mathématique est de 4 $.
16
16
16
16
b) Quelle sera la mise afin que le jeu soit favorable à la joueuse ou au joueur ?
Réponse :
La mise sera inférieure à 4 $. Si la mise est de 3 $, alors l’espérance sera de 1 $.
c)Quelle sera la mise afin que le jeu soit défavorable à la joueuse ou au joueur ?
Réponse :
La mise sera supérieure à 4 $. Si la mise est de 5 $, alors l’espérance sera -1$.
d) Quelle sera la mise afin que le jeu soit équitable ?
Réponse :
Pour que ce jeu soit équitable, le prix à payer pour y participer doit être de 4 $.
e
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28
5.4 Exercices suggérés (Manuel de l’élève B)
•
Page 185 #1
•
Page 186 #4 et #5
•
Page 188 #10 à #12
•
Page 196 au complet
•
Page 198 #10
e
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29
Notions et exercices du volet statistique
6. Mesures de dispersion et de position
6.1 L’écart moyen
L’écart moyen, noté « ÉM », est une mesure de dispersion égale à la moyenne
des valeurs absolues des écarts à la moyenne des données d’une distribution. Plus l’écart
moyen est petit, plus les données sont concentrées autour de la moyenne et plus la
distribution est homogène. À l’inverse, plus l’écart moyen est grand, plus les données sont
dispersées par rapport à la moyenne et plus la distribution est hétérogène. Le tableau
suivant présente les étapes pour calculer l’écart moyen des scores de 12 joueurs de golf.
Étapes
Démarche
1. Calculer la moyenne des
données.
2. Calculer l’écart à la moyenne
87 + 92 + 98 + ... + 124 + 128 + 139
x=
= 109
12
Donnée
de chacune des données.
3. Déterminer la valeur absolue
de l’écart à la moyenne pour
chacune des données.
La valeur absolue d’un
nombre a notée
est sa
valeur numérique sans
égard à son signe.
Exemples :
Écart à la
moyenne
Valeur absolue de
l’écart à la moyenne
87
−
22
22
92
−
17
17
98
−
11
11
101
−
8
8
103
−
6
6
103
−
6
6
107
−
2
2
110
1
1
116
7
7
124
15
15
128
19
19
139
30
30
et
4. Calculer la moyenne des
valeurs obtenues en 3.
5. Interpréter les résultats.
ÉM =
22 + 17 + 11 + ... + 15 + 19 + 30
= 12
12
L’écart moyen est de 12 coups. Cela signifie qu’en moyenne, il y a
une différence de ± 12 coups entre le score de chacun des golfeurs
et le score moyen.
e
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30
Remarque: À lui seul, l’écart moyen ne fournit pas beaucoup d’information. Avant de se prononcer sur l’homogénéité ou l’hétérogénéité des données, il importe donc de
considérer le caractère étudié et la moyenne des données. Ainsi, un écart moyen de 12
coups n’est pas très élevé pour des scores de golf, si l’on considère que le score moyen
est de 109 coups. Cependant, si l’on considère, par exemple, que la moyenne des
températures extérieures maximales pour une période d’un mois est de 20 °C, alors un
écart moyen de 12 °C serait très élevé.
6.2 Le rang centile
Le rang centile d’une donnée correspond au pourcentage (arrondi à l’unité supérieure)
des données qui ont une valeur inférieure ou égale à cette donnée.
Le rang centile d’une donnée X se note R100(X ).
Exemple : Si une donnée occupe le 80e rang centile, cela signifie qu’environ 80 % des
données sont inférieures ou égales à celle-ci.
La proportion suivante permet de déterminer le rang centile d’une donnée ou la donnée
qui occupe un rang centile particulier dans une distribution ordonnée en ordre croissant.
R100 (X) Nombre de données de valeur inférieure ou égale à X
=
100
Nombre total de données
Exemple : La distribution suivante compte 271 données, dont 170 sont inférieures à 84 et
8 sont égales à 84.
22
23
23
...
$!#!
"
166 données
83
84
...
$!#!
"
6 données
84
...
85 $!#
!
"
128
129
90 données
Remarque :
Dans certaines situations, par exemple le golf, où un score élevé est moins bon qu’un
score faible, l’expression «valeur inférieure ou égale» peut être remplacée par
l’expression «valeur moins bonne ou égale». e
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31
6.1.1. La recherche du rang centile d’une donnée
Le rang centile de la donnée 84 issue de l’exemple précédent se calcule comme suit :
R100 (84) ⎛ 170 + 8 ⎞
178 • 100
=⎜
≈ 65,68
⎟ → R100 (84) =
100
271
⎝ 271 ⎠
On doit arrondir
cette valeur à
l’unité supérieure. Le rang centile de 84 est 66. Cela signifie qu’environ 66 % des données sont inférieures
ou égales à 84.
6.1.2. La recherche d’une donnée qui occupe un rang centile particulier
La donnée X, qui occupe le rang centile 66, se calcule comme suit :
Nombre de données de valeur inférieure ou égale à X =
66 • 271
≈ 178,86
100
On doit arrondir
cette valeur à
l’unité inférieure
. La donnée recherchée occupe la 178e position de la distribution. Sa valeur est 84.
Remarques :
Pour une même distribution, deux données de même valeur auront le même rang centile.
Les rangs centiles sont signifiants dans la mesure où la distribution présente un grand
nombre de données.
6.2 Exercices suggérés (Manuel de l’élève B)
•
Page 64 #5 et #6
•
Page 65 #8
•
Page 66 #12
•
Page 59 Ai-je bien compris #1 et #2
•
Page 66 #13 à #16
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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32
Solutionnaire des exercices
Section 1.3 (Manuel de l’élève A)
•
Page 154 #11 à #15
11.
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :
a) 3x + y − 9 > 0
c) 20x − y + 300 > 0
b) 2x − 4y − 3 > 0
d) 2x + 5y + 46 > 0
12.
Elena a commis une erreur à l’étape 3 de sa démarche. Pour déterminer la région à hachurer,
il faut remplacer le x et le y de l’inéquation par un point-test, par exemple (0, 0). Si l’inégalité
n’est pas vérifiée, il faut hachurer la région dont ne fait pas partie le point-test. Au contraire, si
l’inégalité est vérifiée, il faut hachurer la région dont fait partie ce point-test.
3(0) − 4(0) − 12 > 0
−
12 > 0
−
12 étant inférieur à 0, il faut hachurer la région qui s’étend vers le bas. (Elena a utilisé un truc
qui ne fonctionne que lorsque l’inéquation est sous la forme fonctionnelle.)
13.
a)
d)
x
0
−
1,25
y
−
5
x
y
0
1,2
−
6
0
0
b)
x
y
0
4
−
4
0
x
y
0
−4
10
0
c)
−
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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33
14. Note : Les coordonnées à l’origine ne sont pas entières, sauf en c).
a) À partir des points (4, 1) et (0, −2), on obtient l’équation y > 0,75x − 2.
–
b) À partir des points (−1, 2) et (1, −3), on obtient l’équation y < 2,5x − 0,5.
c) À partir des points (0, 3) et (6, 0), on obtient l’équation y ≤ −0,5x + 3.
d) À partir des points (1, −2) et (2, 1), on obtient l’équation y ≤ 3x − 5.
15.
Lorsque les coordonnées correspondant à la position du pointeur vérifient l’inéquation, le
pointeur a la forme d’une flèche. Au contraire, lorsque ces coordonnées ne vérifient pas
l’inéquation, le pointeur a la forme d’une main.
a)
2x + 3y − 15 > 0
2(4) + 3(0) − 15 > 0
−
7 >0
Le pointeur a la forme d’une main puisque −7 n’est pas plus grand que 0.
b)
2x + 3y − 15 > 0
2(5) + 3(3) − 15 > 0
4 >0
Le pointeur a la forme d’une flèche puisque 4 est plus grand que 0.
c)
2x + 3y − 15 > 0
2(0) + 3(5) − 15 > 0
0 >0
Le pointeur a la forme d’une main puisque 0 n’est pas plus grand que 0.
Section 2.2 (Manuel de l’élève A)
•
Page 23 Ai-je bien compris
a)
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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34
b)
•
Page 25 Ai-je bien compris
1. a)
b)
2.
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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35
•
Page 28 #1 et #2
1.
a)
b)
c) 2.
a)
b)
c)
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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36
d)
•
Page 29 #3 et #5
3.
a)
b)
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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37
5.
a)
c)
b)
•
Page 30 #6 •
Page 31 #11 (facultatif)
6.
11.
a)
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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38
b)
Section 2.4 (Manuel de l’élève A)
•
Page 35 Ai-je bien compris
1. a)
b)
2. a)
b)
c)
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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39
•
Page 37 Ai-je bien compris
1. a)
b)
2.
•
Page 43 #8 et #9
8.
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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40
9.
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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41
•
Page 44 #11
11.
a)
b)
c)
d)
e
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42
•
Page 45 #14
14.
a)
b)
Section 2.6 (Manuel de l’élève B)
•
Page 31 #4 et #5
4. a) f1 (x) = 6x 2
b)
c)
5.
a)
b)
e
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43
c)
•
•
Page 25 Ai-je bien compris sauf le c)
a)
b)
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
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44
•
Page 31 #2
a)
b)
c)
•
Page 14 Ai-je bien compris # 1
1. a)
Variation : la fonction f est croissante sur tout
son domaine.
e
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45
b) La période est 3.
Domaine : [-2, 7]
Image : : [2, 4]
Ordonnée à l’origine : 3
Abscisse à l’origine : la fonction g n’a aucune abscisse à l’origine.
Les extremum : le maximum de la fonction g est 4 et sont minimum est 2.
Signe : la fonction g est positive sur tout son domaine.
Variation : la fonction g est croissante pour x∈ [-2, -1]∪ [1, 2]∪ [4, 5] et décroissante pour
x∈ [-1, 1]∪ [2, 4]∪ [5, 7].
•
Page 32 #6 à #10
6.
a)
b)
e
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46
7.
a)
b)
8.
a)
c)
b)
d)
a)
c)
b)
d)
9.
10.
a)
b)
e
Passerelle SN vers CST 4 secondaire – Théorie et exercices
Document préparé par Annie Boucher, Stéphane Gauthier et Johanne Gauthier, CSDL 2013-2014
47
•
Page 33 #11 à #15
11.
a)
b)
12.
a)
b)
e
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48
13
1313 13.
13.13
14.
14.
a)
b)
15.
15.
a)
e
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49
b)
c)
d)
Section 3.1 (Manuel A)
•
Page 140 #10 et #11
11. a) P (−4, 3)
b) P (10,5, 5,5)
10. a)
b)
c)
d)
e
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50
•
Page 141 #13 à #15
13.
a)
b) Le point N étant situé deux fois plus près de l’extrémité R, il partage
rapport 2 : 1 à partir du point S. Le point N est donc situé aux
14.
(2, 14),
(9, 9) et
de
dans un
.
(16, 4)
15.
Le point de départ est toujours le point A et il s’agit de changer la valeur de
. Il est à noter que
l’accroissement des abscisses et des ordonnées demeure le même, soit Δx = 30 et Δy = 15.
a)
=
. Les coordonnées du point de partage C sont (−4, 7).
b)
=
. Les coordonnées du point de partage C sont (−2, 8).
c)
=
. Les coordonnées du point de partage C sont (4, 11).
d)
=
. Les coordonnées du point de partage C sont (1, 9,5).
e)
=
. Les coordonnées du point de partage C sont (1, 9,5).
e
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51
Section 4.3 (Manuel B)
•
Page 159 #2 et #3
2.
3. a)
b)
c)
e
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52
•
Page 160 #7 b) seulement
7b)
e
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53
•
Page 161 #9 et #10
9. a)
b)
c)
10.
e
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54
Section 5.4 (Manuel B)
•
Page 185 #1
1.
a)
f)
b)
g)
c)
h)
d)
i)
e)
•
Page 186 #4 et #5
4.
a)
b)
c)
5.
•
Page 188 #10 à #12
10.
a) 1)
2)
3)
4)
5)
6)
e
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55
b) 1)
2)
3)
5)
4)
6)
11.
a)
b)
c)
d)
e)
12.
a)
b)
e
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56
c)
•
Page 196 au complet
1.
a)
b)
c)
2.
a)
b)
3.
a)
b)
e
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4.
5.
6.
a)
1)
2)
b)
e
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58
•
Page 198 #10
10.
a)
1)
2)
3)
b)
Section 6.2 (Manuel B)
•
Page 64 #5 et #6
5.
a)
b)
c) 5,88
e
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59
6.
a)
b)
c)
•
Page 65 #8
8.
a)
b)
c)
d)
•
Page 66 #12
12.
a)
b)
•
Page 59 Ai-je bien compris #1 et #2
1. a)
b)
2.
•
Page 66 #13 à #16
13.
a)
b)
c)
e
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14.
a)
b)
15.
16.
a)
b)
e
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