Université Paris 1 LICENCE MASS, 2ème année Cours de Mr Rynkiewicz Interrogation 1A 1 Intervalle de conance (5 points) Dans une classe, on observe la taille des garçons : Taille (cm) 178 157 169 182 179 187 181 172 171 184 En supposant les observations gaussiennes, donner un intervalle de conance à 95% pour la taille ∼ T (n − 1) moyenne des garçons. On rappelle que si Y ∼ N (0, 1) et Z ∼ χ (n − 1) alors (loi de Student à n − 1 degrés de liberté). De plus, si (X , · · · , X ) i.i.d. X ∼∼ N m, σ alors P P X − ∼ σ χ (n − 1). On utilisera aussi une des probabilités suivantes : X Si X ∼ N (0, 1), P (X > 1.96) = 0.025 Si X ∼ T (9)(loi de Student à 9 degrés de liberté), P (X > 2.26) = 0.025 Si X ∼ T (10)(loi de Student à 10 degrés de liberté), P (X > 2.23) = 0.025 qY 2 Z n−1 1 n i=1 2 n j=1 1 n i j n 2 i 2 2 Couple discret (8 points) Soit un dé équilibré a 6 faces numérotées de 1 à 6. On lance 2 fois le dé. On note dans un vecteur aléatoire le résultat du premier lancer L dans la première composante et la somme du premier et du deuxième lancer L + L dans la deuxième composante. Posons X = L et Y = L + L , après deux lancers indépendant on obtient donc le couple aléatoire (X, Y ). 1. Calculer l'espérance de ce couple. 2. Calculer la loi de la deuxième composante conditionnellement à X = x, où x ∈ {1, · · · , 6}, en déduire l'espérance de la deuxième composante conditionnellement à la première : E (Y |X ). 3. Calculer la loi conditionnelle de la première composante conditionnellement à Y = y, où y ∈ {2, · · · , 12}. 1 1 2 1 1 2 3 Chaîne de Markov (7 points) Soit la chaîne de Markov de matrice de transition sur E = M= e1 = 1 0 , e2 = 0 1 avec 0.8 0.1 0.2 0.9 1. Calculer la mesure invariante µ de la chaîne de Markov. 2. Si X = e , calculer la probabilité du chemin : X = X = X = X . 3. Calculer la loi de X conditionnellement à X = e . 4. Calculer la loi de X conditionnellement à X ∼ U , la loi uniforme sur E (i.e. chaque état a pour probabilité ). 1 1 1 3 1 3 1 2 1 1 2 1 E 3 4