Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (2P021) UPMC, 2016/2017 Chapitre VII Forces électromagnétiques VII.a. 1. Force de Lorentz Expression La force à laquelle est soumis, à un instant t, un point matériel de charge q, situé en M et se déplaçant ~ ~ à une vitesse ~ v(t) par rapport à un référentiel galiléen dans un champ électrique E(M, t) et un champ B(M, t) est la force de Lorentz, ~ = q (E ~+v ~ ~ × B). F (VII.1) ~élec = q E, ~ et une force magnétique, F ~mag = q ~ ~ Cette force comprend deux termes : une force électrique, F v × B. 2. Travail de la force magnétique La force magnétique ne travaille pas. Sa puissance est en effet nulle : ~mag ) = F ~mag · ~ ~ ·~ P(F v = q (~ v × B) v=0 (VII.2) ~ est perpendiculaire à ~ puisque ~ v×B v. La force magnétique ne provoque pas de changement d’énergie cinétique, donc de modification de la norme de la vitesse. En revanche, elle modifie sa direction. 3. Application : mouvement d’une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire Étudions l’effet de la force magnétique sur une particule chargée plongée dans un champ magnétique uniforme stationnaire. On suppose que le champ électrique est nul et que toutes les autres forces sont négligeables. On a d~ v ~ m = q~ v × B. (VII.3) dt Dans le repère de Frénet, d~ v dv v2 ~T + ~N , = u u dt dt Rc (VII.4) ~T où v est la norme de la vitesse, Rc le rayon de courbure de la trajectoire (c.-à-d. le rayon du cercle osculateur), u ~N est le vecteur normal à la trajectoire situé le vecteur unitaire tangent à la trajectoire dans le sens de celle-ci et u −−→ ~N avec Rc > 0). En projetant dans le plan osculateur et orienté vers le centre de courbure (c.-à-d. MC = Rc u ~ (VII.3) sur uT , on obtient dv ~ ·u ~T × B) ~T = 0. = q (v u (VII.5) m dt ~N , on déduit de (VII.3) que u ~N On retrouve que v est constante. Puisque d~ v/dt se réduit au terme (v2 /Rc ) u ~ Soient B B kBk, ~ u ~ et v∥ B ~ ~∥ B B/B ~∥ . On peut écrire ~ est orthogonal à B. v·u v sous la forme ~ ~∥ + ~ v = v∥ u v⊥ , (VII.6) ~ est uniforme et stationnaire, ~∥ . Puisque B où ~ v⊥ est orthogonale à u m ~ dv∥ d~ v ~ d(~ v · B) ·B=m =m B = 0, dt dt dt 67 (VII.7) Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (2P021) UPMC, 2016/2017 donc v∥ = cte. Comme v2 = v2∥ + v2⊥ , où v⊥ B k~ v⊥ k, et que v = cte, on a aussi v⊥ = cte. Or m v2 ~ ~N = q ~ u v⊥ × B. Rc (VII.8) m v2 = |q| v⊥ B, Rc (VII.9) En prenant la norme, on obtient que ~ Le rayon de courbure vaut donc puisque ~ v⊥ ⊥ B. Rc = m v2 |q| v⊥ B (VII.10) et est constant. On obtient une trajectoire de rayon de courbure constant dont le centre de courbure C se déplace ~ Le champ magnétique étant orthogonal à u ~N , la trajectoire à la vitesse constante v∥ selon la direction de B. ~ est une hélice d’axe dirigé selon B, c.-à-d. une trajectoire qui s’enroule autour d’un cylindre comme le sillon d’une vis. Dans le cas où v∥ = 0, le cylindre se réduit à un cercle de rayon Rc dans un plan perpendiculaire ~ mais Rc n’est pas le rayon du cylindre dans le cas général. à B, 4. Transformation des champs dans un changement de référentiels galiléens Soient R et R0 deux référentiels galiléens, ~ vR0 /R la vitesse de R0 par rapport à R (c.-à-d. celle de O0 par 0 rapport à R, car R et R ne tournent pas l’un par rapport à l’autre puisqu’ils sont tous deux galiléens : la ~ R0 /R de rotation de R0 par rapport à R est nulle), et ~ vq/R et ~ vq/R0 les vitesses d’une charge vitesse angulaire ω ponctuelle q par rapport à R et R0 . En mécanique classique non relativiste, la force subie par un point matériel est la même dans deux référentiels galiléens. La charge, quant à elle, ne dépend pas du référentiel. On a donc ~+~ ~ = q (E ~0 + ~ ~ 0 ), q (E vq/R × B) vq/R0 × B (VII.11) ~ et B ~ (resp. E ~ 0 et B ~ 0 ) sont les champs électrique et magnétique dans R (resp. R0 ). Comme ~ où E vq/R = ~ vq/R0 + ~ vR0 /R ~ ~ R0 /R = 0), (car ω ~+~ ~ + q~ ~ = qE ~0 + q ~ ~ 0. q (E vR0 /R × B) vq/R0 × B vq/R0 × B (VII.12) Ceci étant vrai pour toute vitesse ~ vq/R0 , on doit avoir ~0 = E ~+~ ~ E vR0 /R × B, (VII.13) ~ 0 = B. ~ B (VII.14) L’équation (VII.13) montre que le caractère électrique ou magnétique d’un terme n’a rien d’absolu mais dépend du référentiel ; les champs électrique et magnétique ne sont pas indépendants, mais forment un tout : le champ électromagnétique. ~ 0 semble ne pas dépendre de E, ~ mais ces calculs ont été effectués dans le D’après l’équation (VII.14), B cadre de la relativité galiléenne. Dans le cadre de la relativité restreinte, plus exact et plus approprié, même ~ 0 dépend aussi de E ~ et est symétrique de celle de E ~0. à faible vitesse, à l’électromagnétisme, l’expression de B À faible vitesse, l’équation (VII.14) devient ~ ~ 0 ~0 ≈ B ~ − vR /R × E . B c2 (VII.15) ~ n’est pas négligeable devant celui en B ~ si kEk ~ c kBk. ~ Même si k~ vR0 /R k c, le terme en E VII.b. 1. Force de Laplace Expression ~ par rapport à Considérons une portion de conducteur neutre se déplaçant à la vitesse d’entraînement w un référentiel R galiléen et parcourue par des courants. Différents types de porteurs de charge, référencés par un indice k, se meuvent dans ce conducteur. Notons qk la charge d’un porteur, νk le nombre de porteurs ~ par rapport à R), et de type k par unité de volume, ~ vk leur vitesse par rapport au conducteur (donc ~ vk + w ~ La force ~ × B. ρk la densité volumique de charge. La force magnétique exercée sur un porteur est qk (~ vk + w) magnétique exercée sur tous les porteurs contenus dans un volume d̄τ est X X X ~Lapl = ~= ~ d̄τ + ~ d̄τ, ~ ×B ~ ×B d̄F νk d̄τ qk (~ vk + w) ρk ~ vk × B ρk w (VII.16) k k 68 k Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (2P021) soit, puisque le conducteur est neutre, UPMC, 2016/2017 ~Lapl = ~ × B ~ d̄τ. d̄F (VII.17) Cette force porte le nom de force de Laplace. (Il ne faut pas la rajouter à la force de Lorentz : c’est la forme que prend le terme magnétique de celle-ci dans le cas d’un conducteur.) Pour un conducteur filiforme parcouru par un courant I, la force de Laplace exercée sur une portion d̄`~ orientée dans le sens de I vaut ~Lapl = I d̄`~ × B. ~ d̄F (VII.18) 2. Force d’interaction entre deux circuits rectilignes : définition de l’ampère Considérons deux circuits filiformes rectilignes parallèles, C1 et C2 , parcourus par des courants d’intensités ~z un vecteur unitaire parallèle aux fils et orientons I1 et I2 dans le même sens. respectives I1 et I2 . Notons u La force exercée par une portion d̄`~1 de C1 située en P1 sur une portion d̄`~2 de C2 située en P2 vaut ~1→2 = I2 d̄`~2 × dB ~ P (P2 ). d̄2 F 1 (VII.19) La force exercée par C1 tout entier sur d̄`~2 vaut ~1→2 = I2 d̄`~2 × B ~ 1 (P2 ) = I2 dz u ~z × d̄F µ0 I1 ~φ, 1 (P2 ), u 2πρ (VII.20) ~φ, 1 (P2 ) est la valeur en P2 du vecteur u ~φ défini à partir de l’axe C1 . On où ρ est la distance entre les fils et u obtient ~1→2 µ0 I1 I2 d̄F ~ρ, 1 (P2 ). =− u (VII.21) dz 2πρ La force entre C1 et C2 est donc attractive si I1 et I2 sont de même signe, et négative sinon. Si I1 = I2 = 1 A et ρ = 1 m, ~1→2 d̄F ~ρ, 1 (P2 ). = −2 × 10−7 N u (VII.22) dz C’est d’ailleurs la définition de l’ampère : intensité parcourant deux fils infinis parallèles, distants d’un mètre, produisant une force par unité de longueur d’un des fils égale à 2 × 10−7 N · m−1 . 3. Travail des forces exercées sur un conducteur ~ dt Le travail de la force de Laplace exercée sur une portion de conducteur neutre se déplaçant de d~r = w vaut ~Lapl · d~r = (~ × B) ~ · d~r d̄τ. d̄2 WLapl = d̄F (VII.23) Ce travail n’est généralement pas nul : il ne s’agit donc pas du travail de la force magnétique ! Pour clarifier ce point, reprenons le calcul du travail des forces électromagnétiques exercées sur un volume d̄τ de conducteur se déplaçant de d~r : X ~ + [~ ~ · (~ ~ × B) ~ d̄τ dt. d̄2 W = ρk (E vk + w] vk + w) (VII.24) k ~ ·~ ~ ·w ~ × B) ~ = 0, on a Comme (~ vk × B) vk = 0 et (w X X hX i ~+w ~ d̄τ dt + ~·w ~ ·w ~ × B) ~ d̄τ dt + ~ d̄τ dt d̄2 W = ρk ~ vk · (E ρk E ρk ~ vk × B k k ~+w ~ d̄τ dt + (~ × B) ~ ·w ~ × B) ~ d̄τ dt. = ~ · (E Le terme ~+w ~ d̄τ dt ~ × B) d̄2 Wm = ~ · (E k (VII.25) (VII.26) est le travail électromoteur, c.-à-d. le travail fourni au conducteur par un générateur pour déplacer ses charges par rapport à lui-même, c.-à-d. pour maintenir le courant quand le conducteur se meut ; sa source est ici le champ électromoteur ~f m = w ~ ~ ×B (VII.27) 69 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (2P021) UPMC, 2016/2017 engendré par le déplacement du conducteur dans le champ magnétique ※1 . Le champ électromoteur peut aussi être produit par une pile chimique ※2 ou, nous le verrons au chapitre VIII, par un champ magnétique variable ; −−−→ le champ électrique comprend alors, outre le terme électrostatique « −grad V », un terme électromoteur qu’il faut rajouter à ~f m . Le deuxième terme du membre de droite de (VII.25) est le travail de la force de Laplace ; il correspond au travail fourni au conducteur pour le déplacer et est égal à l’opposé de la contribution des forces magnétiques au travail électromoteur. Le travail total des forces magnétiques est donc bien nul. Pour un conducteur filiforme, le travail de la force de Laplace s’écrit ~c , ~ = IB ~ · d~r = I B ~ · (d~r × d̄`) ~ · d̄2 S d̄2 WLapl = I (d̄`~ × B) (VII.28) où l’on a utilisé l’invariance par permutation circulaire d’un produit mixte, c.-à-d. (~a × ~b) · ~c = (~b × ~c ) · ~a = (~c × ~a ) · ~b, (VII.29) ~c = d~r × d̄`~ est la surface balayée, « coupée » par l’élément d̄`~ quand il se déplace de d~r. On obtient et d̄2 S donc d̄2 WLapl = I d̄2 Φc , (VII.30) ~c est le flux de B ~ L’intensité étant la même en tout point d’un conducteur, ~ · d̄2 S ~ coupé par d̄`. où d̄2 Φc = B dans l’ARQS, le travail des forces de Laplace sur l’ensemble du conducteur pendant dt est d̄WLapl = I d̄Φc , (VII.31) où d̄Φc est le flux coupé par l’ensemble du conducteur. 4. Énergie potentielle Réécrivons cette expression, dans le cas d’un champ magnétique stationnaire (c.-à-d. indépendant du temps), pour un circuit filiforme C(t) fermé, éventuellement déformable mais de constitution constante. La surface coupée Sc par le circuit n’est pas fermée. Complétons-la par une surface S(t) s’appuyant sur le circuit à l’instant t et par une surface S(t + dt) s’appuyant sur le circuit à l’instant t + dt. La surface Stot = Sc ∪ S(t) ∪ S(t + dt) ainsi obtenue est fermée. L’orientation de Sc et celle de S(t) déterminée par celle de C(t) sont soit toutes deux vers l’extérieur de Stot , soit vers l’intérieur. L’orientation de S(t + dt) déterminée par celle de C(t + dt) est en sens opposé. On a donc ! I " " 2~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ B(t) · d̄S = ± B[t] · d̄ Sc + B[t] · d̄S − B[t] · d̄S , (VII.32) Stot C(t) S(t) S(t+dt) où l’orientation des surfaces est vers l’extérieur dans S et est cohérente avec celle de C dans tot ! . Or S(t+dt) ~=0 ~ · d̄S B(t) Stot ~ pris à un même instant en tout point de la surface, car div B ~ = 0, donc pour B I " " ~c = ~− ~ ~ · d̄2 S ~ · d̄S ~ · d̄S. B(t) B(t) B(t) C(t) S(t+dt) S(t) H C(t) , ! S(t) et (VII.33) (VII.34) Le champ étant stationnaire, on obtient ! ! d̄Φc = Φ(t + dt) − Φ(t) B dΦ, (VII.35) ~ et Φ(t + dt) = ~ sont les flux de B ~ · d̄S ~ + dt) · d̄S ~ à travers C aux instants t et t + dt. où Φ(t) = S(t) B(t) B(t S(t+dt) Si le champ est stationnaire, on a donc d̄WLapl = I dΦ. (VII.36) d̄WLapl = −dEp , (VII.37) Ep = −I Φ (VII.38) Si l’intensité est, elle aussi, stationnaire, où Rappelons que le champ électrostatique seul ne permet pas l’établissement d’un courant dans un circuit fermé. En effet, on a alors VA − VB = RAB I, où RAB est la résistance d’une portion AB de circuit. Pour un circuit fermé, A = B, donc 0 = R I, où la résistance totale du circuit, R, est différente de 0. On a donc I = 0. 2. d̄2 W est n’est alors plus le travail des seules forces électromagnétiques. 1. 70 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (2P021) UPMC, 2016/2017 est l’énergie potentielle ※3 d’interaction entre la boucle et les sources du champ magnétique. Un équilibre stable correspondant à un minimum de potentiel, la boucle a tendance à se déplacer et à s’orienter (en l’absence d’autres forces conservatives) de manière à maximiser le flux (règle du flux maximal). L’équilibre stable n’est bien sûr atteint que parce qu’il y a des forces dissipatives ; la boucle oscillerait sinon autour de cette position. VII.c. Actions sur un dipôle magnétique ~ disons une boucle C rigide parcourue par Considérons un dipôle magnétique permanent D de moment m, ~ ext . L’énergie potentielle d’interaction un courant I stationnaire pour simplifier, placé dans un champ extérieur B vaut " " ~ ~ ~ ~ Ep (D ↔ ext) = −I Φ = −I Bext · d̄S ≈ −Bext · I d̄S, (VII.39) S S ! ~ est le moment magnétique m ~ ext quasi uniforme à l’échelle de la boucle. Or ~ de la boucle, en supposant B I d̄S S ~ de norme constante et les sources du donc l’énergie d’interaction entre un dipôle magnétique de moment m champ magnétique est ~ ext . ~ ·B Ep (D ↔ ext) = −m (VII.40) Ce résultat, ainsi que ceux qui suivent, reste vrai pour une distribution volumique de courant localisée et stationnaire (dans le référentiel du dipôle, considéré comme un solide), par exemple un aimant. Pour un dipôle se comportant comme un solide, le travail des forces exercées sur lui pendant une durée dt, lorsqu’un point C du dipôle subit une translation d~rC et que le dipôle tourne d’un angle orienté d̄α autour ~, vaut d’un axe dirigé selon un vecteur unitaire u ~ext→D · d~rC + Γ ~(C) d̄Wext→D = F · d̄~ α, ext→D (VII.41) ~. En termes de vitesse de rotation ω ~ D/R du dipôle par rapport à un référentiel galiléen R, où d̄~ α = d̄α u ~ D/R dt. d̄~ α=ω (VII.42) ~ ne dépend que de la position du dipôle, par l’intermédiaire de B, ~ et de l’orientation de ~ ·B La valeur de m ~ On a donc m. ~ = d~r (m ~ + d(ϑ, ϕ) (m ~ ~ · B) ~ · B) ~ · B), d̄Wext→D = −dEp = d(m (VII.43) C ~ ϕ sa « longitude » ※4 et les termes en indice des différentielles désignent les où ϑ est la « colatitude » de m, variables par rapport auxquelles la différentiation est effectuée. On a −−→ ~ =− ~ · d~rC ~ · B) ~ · B) d~rC (m gradC (m (VII.44) et ~ = (d(ϑ, ϕ) m) ~ ~ · B) ~ · B. d(ϑ, ϕ) (m Or, pour toute fonction f~, ses dérivées temporelles dans deux référentiels R et R0 sont reliées par d f~ d f~ = ~ R0 /R × f~, dt + ω dt 0 /R /R donc ~ dm dt (VII.45) (VII.46) ! ~ ~ D/R × m =ω (VII.47) /R ~ est constant dans le référentiel R0 = D du dipôle. On a donc puisque m On en déduit que ~ B (dm) ~ /R = ω ~ dt = d̄~ ~ ~ D/R × m d(ϑ, ϕ) m α × m. (VII.48) ~ = (d̄~ ~ = (m ~ · d̄~ ~ · B) ~ ·B ~ × B) d(ϑ, ϕ) (m α × m) α (VII.49) car le produit mixte est invariant par permutation circulaire. On obtient finalement que −−−→ ~ext→D · d~rC + Γ ~(C) ~ · d~rC + (m ~ · d̄~ ~ · B) ~ × B) d̄Wext→D = F · d̄~ α = gradC (m α, ext→D d’où, par identification, et −−−→ ~ext→D = grad (m ~ F C ~ · Bext ) Γ~(C) ext→D ~ ext (C). ~ ×B =m 3. Attention, l’expression de Ep n’inclut pas l’énergie nécessaire pour conserver un courant stationnaire. 4. ϑ et ϕ sont deux des trois angles d’Euler. Le troisième n’intervient pas dans l’expression de Ep . 71 (VII.50) (VII.51) (VII.52)