SP5 - Circuit linéaire du premier ordre Schémas

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 E. VAN BRACKEL
TD de Physique-Chimie
TD
7
SP5 - Circuit linéaire du premier ordre
Schémas équivalents en régime permanent
I
9. Déterminer la date t1 à laquelle la tension est égale à 1% de la tension initiale.
t1
et en conclure sur l’utilité de définir τ
Exprimer le rapport
τ
Régimes permanents
III
Sur chacun des schémas ci-dessous, déterminer les valeurs des intensités et des tensions en
régime permanent.
I1
E
R
I1
R’
I2
U
C E
R
I
R’
R’
(L,r)
I2
R
(L,r)
C
Equations différentielles du 1er ordre
II
On constitue un circuit en branchant en parallèle aux bornes d’une bobine réelle d’inductance L et de résistance r un conducteur ohmique de résistance R et une source idéale de
tension. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K, à la date t = t0 , on le rouvre.
1. Faire les schémas équivalents en régime peri2(t)
K
manent en position ouverte et en position fer- i(t)
mée, et en déduire les valeurs des courants.
i (t)
U1
E
U
U2
2. Pour t ∈ [0; t0 ] donner l’équation vérifiée par E
i2 (t) en fonction de E,r et L et la résoudre. On
appellera τ1 la constante de temps concernée.
Régime libre d’un circuit RC
On considère un condensateur de capacité
C = 1 µF, dont l’armature supérieure porte la
charge Q0 = 10 µC, placé dans le circuit suivant.
La résistance a pour valeur R = 10 kΩ.
Q0
C
1
R
UL(t)
(L,r)
3. Faire de même pour t ≤ t0 et trouver la nouvelle expression de i2 (t).
K
Uc(t)
Etablissement et rupture du courant dans un circuit
RL
4. En déduire l’expression de la tension uL (t) pour t > t0 et montrer qu’elle peut prendre
une valeur supérieure à E (en valeur absolue) pendant un court instant. Commenter.
i(t)
R
IV
Décharge d’un condensateur dans un autre
Dans le circuit suivant, les deux condensateurs ont même capacité C. Pour t < 0, le condensateur situé en bas est chargé sous la tension u = U0 et le condensateur du haut est
déchargé. On ferme l’interrupteur K à la date t = 0. On pose τ = RC.
1. Quelle est la charge portée par l’armature inférieure ?
u’(t)
2. Quelle est la tension U0 aux bornes du condensateur ?
3. Quelle est l’énergie stockée par le condensateur ?
R
i(t)
4. A la date t = 0 on ferme l’interrupteur K. Quelles sont les valeurs de la tension
u(t = 0+ ) et de l’intensité i(t = 0+ ) ?
5. Quelles sont les valeurs de la tension et de l’intensité en régime permanent ?
u(t)
6. Etablir l’équation différentielle de la tension Uc aux bornes du condensateur. On
définira une constante de temps du circuit τ .
K
1. Quelle est la charge portée par chacune des
armatures des condensateurs pour t < 0 ?
Comment va-t-elle évoluer après t = 0 ?
2. Quelles sont les valeurs de u(t = 0+ ),
u0 (t = 0+ ) et i(t = 0+ ) ?
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u(t) pour t ≥ 0 en fonction de τ et de
U0 . On s’appuiera sur la conservation de la charge !
7. Résoudre l’équation différentielle pour en déduire les expressions de Uc (t) et i(t).
4. En déduire les expressions de u(t) et de u0 (t). Tracer leur allure sur un même graphique.
8. Tracer la courbe donnant la tension Uc (t) en fonction du temps.
1
TD 7. SP5 - CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
VI
5. A partir d’un bilan énergétique, déterminer l’énergie Eres dissipée par la résistance
au cours du régime transitoire.
Le diélectrique d’un condensateur n’est pas un isolant parfait, et il existe de ce fait un
courant de fuite. Un condensateur réel peut être modélisé par un condensateur idéal en
parallèle avec une résistance. On se propose ici d’étudier la charge d’un condensateur de
capacité C et de résistance de fuite Rf à travers une résistance R, sous une tension continue
E.
Diverses applications
V
Minuterie d’une lampe
On étudie le principe de fonctionnement d’une minuterie permettant d’éteindre une lampe
automatiquement au bout d’une durée t0 réglable. Dans le montage suivant, un composant
M permet l’allumage de la lampe L tant que la tension du condensateur est inférieure à
une tension limite, notée Ulim fixée ici à 20 V. Ce composant possède une alimentation
électrique propre qui lui fournit l’énergie nécessaire à l’allumage de la lampe. On admettra
qu’il ne perturbe pas le fonctionnement du circuit RC alimenté par un générateur de tension
E = 30 V.
A l’instant initial, le condensateur est déchargé par l’appui sur le bouton poussoir, et l’interrupteur K se ferme.
K
C
uc(t)
1. Dessiner le schéma électrique correspondant.
2. A t = 0 le condensateur est déchargé. Déterminer les expressions de la tension u(t)
aux bornes du condensateur et de l’intensité i(t) qui le traverse.
3. En déduire une méthode expérimentale de mesure de cette résistance de fuite.
VII
Montage à diode dite de "roue libre"
K
R
i(t)
L
E
P
Résistance de fuite d’un condensateur
M
E
Ulim
1. Etablir l’équation différentielle donnant les variations de uC (t) aux bornes du condensateur en fonction du temps.
D
u(t)
(L,R)
On considère le montage ci-contre. On donne
E = 12 V, L = 15 mH, R = 100 Ω. Le dipôle D
est une diode idéale, ne laissant passer le courant
que dans le sens de la flèche. A la date t = 0 on
ferme l’interrupteur.
1. Justifier que la diode est bloquée, c’est-à-dire qu’elle ne laisse pas passer le courant.
2. Exprimer le courant i(t) qui traverse la bobine.
2. Quelle est la valeur UC en régime permanent ?
3. Résoudre l’équation différentielle précédente, en ayant défini une constante de temps
τ.
3. Quelles sont les valeurs de la tension Up et du courant Ip en régime permanent ?
Dans quel état est la diode ?
4. Tracer le graphique de uC (t) en faisant apparaître la tension E et la constante de
temps τ .
4. Quelle est l’énergie WL emmagasinée pendant le régime transitoire ?
5. Calculer la valeur de τ pour R = 100 kΩ et C = 200 µF.
5. A la date t = θ = 10τ , peut-on considérer que le régime permanent est atteint à
cette date ? On ouvre alors l’interrupteur, justifier que la diode devient passante.
6. Donner l’expression littérale de la date t0 à laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur limite Ulim . Calculer t0 et vérifier la validité du résultat à
l’aide du tracé de la question 4).
6. Exprimer l’intensité i(t) qui traverse l’enroulement à partir de t = θ.
7. On a fixé Ulim = 20 V pour obtenir une durée d’allumage t0 voisine de τ . Pour quelle
raison choisir t0 très supérieure à τ n’aurait-il pas été judicieux pour un tel montage ?
8. Tracer la courbe donnant l’évolution de l’intensité de 0 à 3 ms.
7. Comment l’énergie stockée dans la bobine est-elle dissipée ?
8. Quels paramètres du montage peut-on modifier afin d’augmenter la durée d’allumage
de la lampe ? Quel est le plus simple ?
9. Que se passerait-il en l’absence de diode ? L’interrupteur pourrait-il être considéré
comme idéal ? Pour quelle raison ?
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