Enoncé et corrigé pdf

Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 (6 points) (commun à tous les candidats)
Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons :
-unepetitetaille,
-unetaillestandard.
Les trois parties suivantes sont indépendantes.
Partie A
Un ballon de football est conforme à la réglementation s’il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa
masse et sur sa circonférence).
En particulier, un ballon de taille standard est conforme à laréglementationlorsquesamasse,expriméeengrammes,
appartient à l’intervalle [410;450]et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l’intervalle [68;70].
1) On note Xla variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standardchoisiauhasarddansl’entreprise,associe
sa masse en grammes.
On admet que Xsuit la loi normale d’espérance 430 et d’écart type 10.
Déterminer une valeur approchée à 10−3près de la probabilité P(410 !X!450).
2) On note Yla variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standardchoisiauhasarddansl’entrepriseassocie
sa circonférence en centimètres.
On admet que Ysuit la loi normale d’espérance 69 et d’écart type σ.
Déterminer la valeur de σ,aucentièmeprès,sachantque97 %desballonsdetaillestandardontunecirconférence
conforme à la réglementation.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Zest une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite,
alors P(−β!Z!β)=0, 97 pour β≈2, 17.
Partie B
L’entreprise affirme que 98 %desesballonsdetaillestandardsontconformesàlaréglementation. Un contrôle est
alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d’entre eux sont conformes à
la réglementation.
Le résultat de ce contrôle remet-il en question l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.
(On pourra utiliser l’intervalle de fluctuation)
Partie C
L’entreprise produit 40 %deballonsdefootballdepetitetailleet60 %deballonsdetaillestandard.
On admet que 2%desballonsdepetitetailleet5%desballonsdetaillestandardnesontpasconformesàla
réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise.
On considère les évènements :
A:«leballondefootballestdepetitetaille»,
B:«leballondefootballestdetaillestandard»,
C:«leballondefootballestconformeàlaréglementation»etC,l’évènementcontrairedeC.
1) Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilité.
2) Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation.
3) Montrer que la probabilité de l’évènement Cest égale à 0, 962.
4) Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit
de petite taille ? On arrondira le résultat à 10−3.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé
Partie A
1) La calculatrice fournit P(410 !X!450)=0, 954 à10−3près.
P(410 !X!450)=0, 954 à10−3près.
2) Posons Z=Y−69
σ.OnsaitqueZsuit la loi normale centrée réduite c’est-à-dire la loi normale de moyenne 0et
d’écart-type 1.
Un ballon est conforme à la législation si et seulement si Yappartient à l’intervalle [68, 70].Or,
68 !Y!70 ⇔−1!Y−69 !1⇔−1
σ!Y−69 σ!1 σ.
L’énoncé dit que 97 %desballonsdetaillestandardontunecirconférenceconforme à la réglementation ou encore
p(68 !Y!70)=0, 97.
p(68 !Y!70)=0, 97 ⇔p!−1
σ!Z!1 σ"=0, 97 ⇔1 σ≈2, 17 ⇔σ=0, 46 au centième près.
σ=0, 46 au centième près.
Partie B
Notons Fla variable aléatoire égale à la fréquence de ballons conformes à la réglementation.
Ici, n=250 et on suppose que p=0, 98.Onnotetoutd’abordquen"30.Ensuite,np =245 et donc np "5et
n(1−p)=5et donc n(1−p)"5.Unintervalledefluctuationasymptotiqueauseuilde95 %delavariablealéatoire
Fest
#p−1, 96 $p(1−p)
√n,p+1, 96 $p(1−p) √n%=&0, 98 −1, 96 √0, 98 ×0, 02 √250 ;0, 98 +1, 96 √0, 98 ×0, 02 √250 '.
En arrondissant de manière à élargir un peu, on obtient l’intervalle [0, 962;0, 998].
La fréquence observée est f=233
250 =0, 932 . . . Cette fréquence n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation. Donc, le
résultat du contrôle remet en question l’affirmation de l’entreprise au risque de se tromper de 5%.
Partie C
1) Représentons la situation par un arbre de probabilités.
A
B
C
C
C
C
0, 4
0, 6
0, 98
0, 02
0, 95
0, 05
2) La probabilité demandée est p(A∩C).
p(A∩C)=p(A)×pA(C)=p(A)×(1−pA(C))=0, 4 ×(1−0, 02)=0, 392.
p(A∩C)=0, 392.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

3) La probabilité demandée est p(C).D’aprèslaformuledesprobabilitéstotales,
p(C)=p(A∩C)+p(A∩C)=p(A)×pA(C)+p(A)×pA(C)
=0, 4 ×0, 98 +0, 6 ×0, 95 =0, 962.
p(C)=0, 962.
4) La probabilité demandée est pC(A).
pC(A)= p(C∩A)
p(C)=p(A)×pA(C)
1−p(C)=0, 4 ×0, 02 1−0, 962 =0, 211 arrondi à 10−3.
pC(A)=0, 211 arrondi à 10−3.
http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.