Théorie des langages

Suppression du non d´eterminisme
Minimalisation
Applications des langages r´eguliers
D´eterminisation et minimilisation des
automates
Plan
Rappels
Des expressions r´eguli`eres aux automates finis (ind´eterministes)
Des automates finis d´eterministes aux expressions r´eguli`eres
(syst`emes d’´equations sur les langages, lemme de Arden)
D´eterminisation
Algorithme de suppression du non d´eterminisme
Cons´equences
Minimilisation
D´efinition de l’automate syntaxique (ou minimum)
Algorithme de minimalisation d’un automate d´eterministe
F. Alexandre Th´eorie des langages

Suppression du non d´eterminisme
Minimalisation
Applications des langages r´eguliers
Id´ees g´en´erales
D´efinitions utilis´ees dans la suite
Th´eor`eme
Algorithme
Exemple d’ex´ecution de l’algorithme de d´eterminisation
R´esultats
Id´ees g´en´erales
Manifestation de l’ind´eterminisme :
transition de la forme (s, ε, s0)
transitions de la forme (s,a,s1) et (s,a,s2)
Elimination de l’ind´etermisme :
Elimination des transitions sur le mot vide
Regroupement dans des ensembles des ´etats correspondant aux
extr´emit´es des transitions dont les origines et les ´etiquettes sont les
mˆemes. Exemple : on regroupe s1et s2dans l’ensemble {s1,s2}.
Si Sest l’ensemble des ´etats de l’automate ind´eterministe, les ´etats
de l’automate d´eterministe obtenue par un proc´ed´e de
d´eterminisation sont des ´el´ements de P(S).
F. Alexandre Th´eorie des langages

Suppression du non d´eterminisme
Minimalisation
Applications des langages r´eguliers
Id´ees g´en´erales
D´efinitions utilis´ees dans la suite
Th´eor`eme
Algorithme
Exemple d’ex´ecution de l’algorithme de d´eterminisation
R´esultats
D´efinitions
Definition
Soit {S,A,R,s0,F}un automate fini ind´eterministe, on d´efinit
φ:S×A∗→ P(S) de la fa¸con suivante :
φ(s, α) est l’ensemble des ´etats s0de Stels qu’il existe un calcul
d’origine s, d’extr´emit´e s0et d’´etiquette α.
Remarques
Dans la suite on utilise cette d´efinition pour les mots α=εet α=a
o`u aest une lettre de V(calcul de φ(s, ε) et φ(s,a)).
Pour tout s∈Son a s∈φ(s, ε).
F. Alexandre Th´eorie des langages

Suppression du non d´eterminisme
Minimalisation
Applications des langages r´eguliers
Id´ees g´en´erales
D´efinitions utilis´ees dans la suite
Th´eor`eme
Algorithme
Exemple d’ex´ecution de l’algorithme de d´eterminisation
R´esultats
D´eterminisation
Th´eor`eme
Soit un automate non d´eterministe And ={S,V,R,s0,S0}, il existe
un automate d´eterministe Ad={Q,V, δ, q0,Q0}reconnaissant le
mˆeme langage que And il est d´efini par :
Q=P(S)
q0=φ(s0, ε)
δ(q,a) = [
s∈q
φ(s,a)∀a∈V∀q∈Q
Q0={q;q∈Q et q ∩S06=∅}
Dans ce th´eor`eme P(S) est d´efini comme l’ensemble des ´etats de
l’automate d´eterministe Ad. Si l’on adopte cette d´efinition on peut
remarquer que dans la pratique il existe des ´etats inaccessibles dans And .
L’id´ee est donc d’avoir un algorithme g´en´erant seulement les ´etats
accessibles de l’automate fini d´eterministe.
F. Alexandre Th´eorie des langages

Suppression du non d´eterminisme
Minimalisation
Applications des langages r´eguliers
Id´ees g´en´erales
D´efinitions utilis´ees dans la suite
Th´eor`eme
Algorithme
Exemple d’ex´ecution de l’algorithme de d´eterminisation
R´esultats
Algorithme de d´eterminisation
Donn´ee : And ={S,V,R,s0,S0}un automate fini ind´eterministe
R´esultat : Ad={Q,V, δ, q0,Q0}un automate fini d´eterministe
reconnaissant le mˆeme langage que And . L’algorithme comporte 4 ´etapes :
1D´etermination de l’´etat initial de Ad:q0=φ(s0, ε)
2D´etermination de la fonction φ(s,a) pour tout sde Set pour tout ade
V, sous forme d’une table interm´ediaire. (cette table interm´ediaire n’est
pas une table d’automate).
3D´etermination de la fonction de transition δsous forme d’une table
Initialisation de la table en prenant q0comme ´etat initial.
On g´en`ere la table ligne par ligne en utilisant δ(q,a) = [
s∈q
φ(s,a)
(on utilise la table interm´ediaire pr´ec´edemment construite). Pour
chaque ´etat nouvellement g´en´er´e on cr´ee une nouvelle ligne dans la
table. On remplit la table ligne par ligne. Lorsqu’aucun nouvel ´etat
n’est g´en´er´e et que toutes les lignes sont remplies, cette ´etape est
termin´ee.
4Calcul des ´etats de satisfaction de Ad:Q0={q;q∈Q et q ∩S06=∅}
F. Alexandre Th´eorie des langages