Exam MEC24B

MEC24B
Denis C D ROUX
M´ecanique des fluides et des solides
2012
Impact d’un jet sur une plaque
Une pompe de d´ebit qest connect´ee `a un tuyau d’arrosage propulsant un jet d’eau sur une
plaque P. L’´ecoulement du jet est permanent et contenu dans le plan (O,−→ i,−→ j). La vitesse −→ V
du jet fait un angle α(>0) avec la direction −→ iportant la plaque. L’eau sortant du tuyau est
suppos´ee de viscosit´e n´egligeable. Les ´epaisseurs des lames d’eau sont consid´er´ees comme faible
ce qui permet de n´egliger l’action de la pesanteur terrestre.
Figure 1 – Impact d’un jet sur une plaque
Question1 (1 point)
´
Ecrire le th´eor`eme de Bernoulli entre les sections Set S1et entre Set S2.
Solution:
P+1
2ρV 2=P11 2ρV12=P2+1 2ρV 2
2
Question2 (1 point)
Si la pression dans les sections S,S1et S2est identique, que peut-on dire des vitesses V,
V1et V2?
Solution:
V=V1=V2
Question3 (1 point)
Quelle est la direction de la force −→ Fexerc´ee par le jet sur la plaque ? Pour cette question
on rappelle que la viscosit´e du fluide est suppos´ee n´egligeable.
Solution:
−→
F=F−→ j
Question4 (1 point)
Appliquer le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement au volume de fluide d´efinit par les
surfaces S,S1,S2et les surfaces libres des jets entre ces surfaces. Il est rappel´e que le
th´eor`eme de la quantit´e de mouvement s’´enonce comme suit :
La r´esultante des actions m´ecaniques ext´erieures exerc´ees sur un fluide isol´e est ´egale `a la
variation de la quantit´e de mouvement du fluide. Si S1et S2sont deux surfaces par lesquels
le fluide respectivement rentre et sort avec des vitesses respectives V1et V2, la variation de
quantit´e de mouvement est ´egale `a Qm(V1−V2)ou Qmest le d´ebit massique.

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Solution:
−−→ F=−ρq−→ V+ρq1
−→
V1+ρq2
−→
V2
Question5 (1 point)
D´eterminer les d´ebits q1et q2en fonction des param`etres α, q, ρ et V.
Solution:
En projetant l’´equation vectorielle du th´eor`eme de la quantit´e de mouvement sur l’axe −→ i
on obtient : q1=q
2(1 + cos(α)) et q2=q 2(1 −cos(α))
Question6 (1 point)
D´eterminer l’expression de la force Fen fonction de ρ,q,Vet l’angle α.
Solution:
F=ρ q V sin(α)
Question7 (2 points)
Le diam`etre interne du tuyau est de 20 millim`etres et le d´ebit de la pompe est de 2500 litres
par heure. Sachant que α= 15◦, d´eterminer : q1,q2et F.
Solution:
q≃0.7 10−3m3/s ;q1≃1.4 10−3m3/s ;q2≃0.24 10−6m3/s ;V=q/s ≃2.2m/s et
F= 0.4N
Analyse dimensionnelle
Un fluide de viscosit´e µ, que l’on souhaite d´eterminer, s’´ecoule dans une conduite cylindrique
de diam`etre Davec un d´ebit constant Q. Entre deux points Eet Ss´epar´es d’une distance L,
des capteurs de pression permettent de mesurer la diff´erence de pression ∆P=PE−PS.
Question1 (1 point)
Donner le nombre de param`etres a-dimensionnels du probl`eme (C’est une question de
cours).
Solution:
N+ 1 = 5 et r= 3 donc N+ 1 −r= 2
Question2 (1 point)
Montrer que l’on peut former deux nombres a-dimensionnels π1et π2L’un donnant le d´ebit
et l’autre une a-dimensionnalisation des longueurs. Pour cela, on utilisera la m´ethode de
Lord Rayleigh en posant : (∆P)bLcDd(µ)e=Qa.
Solution:
Qa(∆P)bLcDd(µ)e= 10, ce qui donne avec a= 0 : Π1=L/D et avec a= 1 : π2=
QLµ/(∆P)D4
Question3 (2 points)
La mesure de la diff´erence de pression entre les deux points distants de 20 centim`etres est
´egale `a 2 bars. Le diam`etre int´erieur de la conduite cylindrique est de 4 millim`etres et le
d´ebit mesur´e `a l’aide d’une balance est ´egal `a 38 grammes par minutes. Donner la valeur
de la viscosit´e du produit Newtonien s’´ecoulant dans la conduite sachant que le nombre
a-dimensionnel π1=π/128.
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Solution:
µ≃10P a.s
Plaque oscillante
Une plaque en aluminium de longueur L, de largeur l et d’´epaisseur e est suspendue par une
pivot ”O” non glissante d’axe parall`ele `a sa largeur.
Figure 2 – plaque suspendue par un pivot non glissant
Question1 (1 point)
Exprimer la vitesse instantan´ee de rotation et la vitesse ”de translation” au point ”G” de
la barre par rapport au rep`ere fixe Ro(O, −→ io,−→ jo,−→ ko).
Regrouper, votre r´esultat dans un torseur cin´ematique que vous ´ecrirez : V=(−→
ΩR1/Ro
−−−→
V(G)R1/Ro)(G)
.
Solution:
V=(˙
θ−→ k0
0)(O)
=(˙
θ−→ k0
L
2˙
θ−→ j1)(G)
.
Question2 (1 point)
Exprimer la quantit´e de mouvement ou impulsion de la barre −→ P(G)R1/R0ainsi que le mo-
ment cin´etique −→ σ(O)R1/R0.
Regrouper votre r´esultat sous la forme du torseur cin´etique : C=(−→
P(G)R1/R0
−→
σ(O)R1/R0)(O)
.
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Remarque : quel argument permet d’exprimer la matrice d’inertie de la plaque en ”O” sous
la forme : I(o)R1/R0=
A0 0
0B0
0 0 C
?
Solution:
C=(mL
2
−→
j1
C˙ θ−→ k0)(O)
Question3 (1 point)
Exprimer l’invariant vectoriel dynamique ´egal au produit : m−→ γ(G)R1/R0ainsi que le moment
dynamique −→ δ(O)R1/R0au point ”O”.
Regrouper votre r´esultat dans le torseur dynamique que vous ´ecrirez : D=(m−→
γ(G)R1/R0
−→
δ(O)R1/R0)(O)
.
Solution:
D=(m(L
2¨
θ−→ j1−L
2˙
θ2−→
i1
C¨ θ−→ k0)(O)
.
Question4 (1 point)
Exprimer en ”O” le torseur des efforts appliqu´es sur la plaque sous la forme : F=(−→
FR1/R0
−→
MR1/R0)(O)
.
Solution:
F=(−→
R0+m−→ g
−−→
OG ∧(m−→ g))(O)
.
Question5 (1 point)
Appliquer le principe fondamental de la dynamique `a la plaque afin d’en d´eduire les ´equations
vectorielles du mouvement.
Solution:
−→
R0+m−→ g=m−→ γ(G)T1/T0
−−→
OG ∧(m−→ g) = −−→ δ(0)T1/T0
Question6 (1 point)
Calculer la composante de la matrice d’inertie n´ecessaire `a la r´esolution du probl`eme en
fonction de la masse ”m” de la plaque et des longueurs ”L” et ”e”.
Solution:
C=R(x2+y2)ρ dxdydz
Question7 (1 point)
Exprimer la r´eaction −→ Rode la liaison pivot dans le rep`ere (O, −→ i0,−→ j0,−→ k0). Cette r´eaction
est-elle constante en fonction du temps ?
Solution:
−→
R0= (−L˙ θ2cos(θ)−L
2¨
θsin(θ)) + g, −L˙ θ2sin(θ) + L
2¨
θcos(θ),0)(−→
i0,−→ j0,
−→
k0)
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Question8 (1 point)
Exprimer l’´equation diff´erentielle r´egissant le mouvement de rotation de la plaque. Dans le
cas de faibles oscillations, que devient cette ´equation ?
Solution:
C¨ θ+gL
2sin(θ) = 0, dans le cas de petites oscillations : sin(θ)≃θ
Question9 (2 points)
La plaque est en aluminium de masse volumique ρ= 2.7gr/cm3. Elle poss`ede les dimensions
suivantes : Lm = 30cm,l= 20cm et e= 3mm. D´eterminer la pulsation des oscillations
engendr´ees par une mise en mouvement de la plaque lˆach´ee avec un angle initial de 15
degr´es. Avec notre mod´elisation la plaque s’arrˆetera-t-elle d’osciller ? Pourquoi ?
(Remarque :C=mL2
3+me2 3)
Solution:
ω=pmgL/C ≃0.2rad/s soit une p´eriode de T≃30s
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