MEC24B Denis C D ROUX Mécanique des fluides et des solides 2012 Impact d’un jet sur une plaque Une pompe de débit q est connectée à un tuyau d’arrosage propulsant un jet d’eau sur une → − → − − → plaque P . L’écoulement du jet est permanent et contenu dans le plan (O, i , j ). La vitesse V → − du jet fait un angle α (> 0) avec la direction i portant la plaque. L’eau sortant du tuyau est supposée de viscosité négligeable. Les épaisseurs des lames d’eau sont considérées comme faible ce qui permet de négliger l’action de la pesanteur terrestre. Figure 1 – Impact d’un jet sur une plaque Question1 (1 point) Écrire le théorème de Bernoulli entre les sections S et S1 et entre S et S2 . Solution: P + 12 ρV 2 = P1 12 ρV1 2 = P2 + 12 ρV22 Question2 (1 point) Si la pression dans les sections S, S1 et S2 est identique, que peut-on dire des vitesses V , V1 et V2 ? Solution: V = V1 = V2 Question3 (1 point) − → Quelle est la direction de la force F exercée par le jet sur la plaque ? Pour cette question on rappelle que la viscosité du fluide est supposée négligeable. Solution: → − → − F =F j Question4 (1 point) Appliquer le théorème de la quantité de mouvement au volume de fluide définit par les surfaces S, S1 , S2 et les surfaces libres des jets entre ces surfaces. Il est rappelé que le théorème de la quantité de mouvement s’énonce comme suit : La résultante des actions mécaniques extérieures exercées sur un fluide isolé est égale à la variation de la quantité de mouvement du fluide. Si S1 et S2 sont deux surfaces par lesquels le fluide respectivement rentre et sort avec des vitesses respectives V1 et V2 , la variation de quantité de mouvement est égale à Qm (V1 − V2 ) ou Qm est le débit massique. MEC24B Denis C D ROUX Mécanique des fluides et des solides 2012 Solution: → − → − − → − → − F = −ρq V + ρq1 V1 + ρq2 V2 Question5 (1 point) Déterminer les débits q1 et q2 en fonction des paramètres α, q, ρ et V . Solution: → − En projetant l’équation vectorielle du théorème de la quantité de mouvement sur l’axe i q q on obtient : q1 = 2 (1 + cos(α)) et q2 = 2 (1 − cos(α)) Question6 (1 point) Déterminer l’expression de la force F en fonction de ρ, q, V et l’angle α. Solution: F = ρ q V sin(α) Question7 (2 points) Le diamètre interne du tuyau est de 20 millimètres et le débit de la pompe est de 2500 litres par heure. Sachant que α = 15◦ , déterminer : q1 , q2 et F . Solution: q ≃ 0.7 10−3 m3 /s ; q1 ≃ 1.4 10−3 m3 /s ; q2 ≃ 0.24 10−6 m3 /s ; V = q/s ≃ 2.2m/s et F = 0.4N Analyse dimensionnelle Un fluide de viscosité µ, que l’on souhaite déterminer, s’écoule dans une conduite cylindrique de diamètre D avec un débit constant Q. Entre deux points E et S séparés d’une distance L, des capteurs de pression permettent de mesurer la différence de pression ∆P = PE − PS . Question1 (1 point) Donner le nombre de paramètres a-dimensionnels du problème (C’est une question de cours). Solution: N + 1 = 5 et r = 3 donc N + 1 − r = 2 Question2 (1 point) Montrer que l’on peut former deux nombres a-dimensionnels π1 et π2 L’un donnant le débit et l’autre une a-dimensionnalisation des longueurs. Pour cela, on utilisera la méthode de Lord Rayleigh en posant : (∆P )b Lc D d (µ)e = Qa . Solution: Qa (∆P )b Lc D d (µ)e = 10 , ce qui donne avec a = 0 : Π1 = L/D et avec a = 1 : π2 = QLµ/(∆P )D 4 Question3 (2 points) La mesure de la différence de pression entre les deux points distants de 20 centimètres est égale à 2 bars. Le diamètre intérieur de la conduite cylindrique est de 4 millimètres et le débit mesuré à l’aide d’une balance est égal à 38 grammes par minutes. Donner la valeur de la viscosité du produit Newtonien s’écoulant dans la conduite sachant que le nombre a-dimensionnel π1 = π/128. Page 2 MEC24B Denis C D ROUX Mécanique des fluides et des solides 2012 Solution: µ ≃ 10P a.s Plaque oscillante Une plaque en aluminium de longueur L, de largeur l et d’épaisseur e est suspendue par une pivot ”O” non glissante d’axe parallèle à sa largeur. Figure 2 – plaque suspendue par un pivot non glissant Question1 (1 point) Exprimer la vitesse instantanée de rotation et la vitesse ”de translation” au point ”G” de → → − − → − la barre par rapport au repère fixe Ro (O, io , jo , ko ). ( − ) → Ω R1 /Ro Regrouper, votre résultat dans un torseur cinématique que vous écrirez : V = −−−→ V (G)R1 /Ro Solution: ( − ( → ) θ̇ k0 V= = 0 (O) → ) − θ̇ k0 . → − L 2 θ̇ j 1 (G) Question2 (1 point) − → Exprimer la quantité de mouvement ou impulsion de la barre P (G)R1 /R0 ainsi que le mo→ ment cinétique − σ (O)R1 /R0 . ( − ) → P (G)R1 /R0 Regrouper votre résultat sous la forme du torseur cinétique : C = − . → σ (O)R1 /R0 (O) Page 3 . (G) MEC24B Denis C D ROUX Mécanique des fluides et des solides 2012 Remarque : quel argument la matrice d’inertie de la plaque en ”O” sous permet d’exprimer A 0 0 la forme : I(o)R1 /R0 = 0 B 0 ? 0 0 C Solution: ( → ) − m L2 j1 C= → − C θ̇ k0 (O) Question3 (1 point) → Exprimer l’invariant vectoriel dynamique égal au produit : m− γ (G)R1 /R0 ainsi que le moment → − dynamique δ (O)R1 /R0 au point ”O”. ( ) → m− γ (G)R1 /R0 Regrouper votre résultat dans le torseur dynamique que vous écrirez : D = . → − δ (O)R1/R0 (O) Solution: ( → ) − → − m( L2 θ̈ j1 − L2 θ̇ 2 i1 D= . → − C θ̈ k0 (O) Question4 (1 point) Exprimer en ”O” le torseur des efforts appliqués sur la plaque sous la forme : F = ( − → F R /R − → 1 0 M R1/R0 Solution: ) ( − → → R0 + m − g . F = −−→ → OG ∧ (m− g ) (O) Question5 (1 point) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la plaque afin d’en déduire les équations vectorielles du mouvement. Solution: − → → → R0 + m − g = m− γ (G)T1 /T0 −−→ −−→ → − OG ∧ (m g ) = δ(0)T1 /T0 Question6 (1 point) Calculer la composante de la matrice d’inertie nécessaire à la résolution du problème en fonction de la masse ”m” de la plaque et des longueurs ”L” et ”e”. Solution: R C = (x2 + y 2 )ρ dxdydz Question7 (1 point) − − → − → → − → Exprimer la réaction Ro de la liaison pivot dans le repère (O, i0 , j0 , k0 ). Cette réaction est-elle constante en fonction du temps ? Solution: − → R0 = (−Lθ̇ 2 cos(θ) − L2 θ̈sin(θ)) + g, −Lθ̇ 2 sin(θ) + L2 θ̈cos(θ), 0) − → →− →− ( i0 , j0 , k0 ) Page 4 ) . (O) MEC24B Denis C D ROUX Mécanique des fluides et des solides 2012 Question8 (1 point) Exprimer l’équation différentielle régissant le mouvement de rotation de la plaque. Dans le cas de faibles oscillations, que devient cette équation ? Solution: C θ̈ + gL 2 sin(θ) = 0, dans le cas de petites oscillations : sin(θ) ≃ θ Question9 (2 points) La plaque est en aluminium de masse volumique ρ = 2.7gr/cm3 . Elle possède les dimensions suivantes : Lm = 30cm, l = 20cm et e = 3mm. Déterminer la pulsation des oscillations engendrées par une mise en mouvement de la plaque lâchée avec un angle initial de 15 degrés. Avec notre modélisation la plaque s’arrêtera-t-elle d’osciller ? Pourquoi ? 2 me2 (Remarque : C = mL 3 + 3 ) Solution: p ω = mgL/C ≃ 0.2rad/s soit une période de T ≃ 30s Page 5