Site de Uruk - Est - Art

La géométrie comparée et la géométrie sacrée
Première étude
Site de Uruk - Est
Eanna IV - Temple
IVème millénaire
Yvo Jacquier -------------------------------------------------------------------------------------
LA GÉOMÉTRIE COMPARÉE
------------------------------------------------------------------------------- Février 2012 -----
Yvo Jacquier © Géométrie comparée - Première étude sur le site d'Eanna-Uruk - IV° millénaire
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Présentation
-----------------------------------------En abordant les civilisations proto-historiques, la géométrie comparée cherche désormais à établir l'origine de la
géométrie de construction, autrement appelée géométrie sacrée, autant que ses rapports avec les autres domaines
du savoir. Ce nouveau champ de recherche s'ajoute à celui, désormais bien établi, qui couvre deux millénaires de
l'histoire “occidentale”, depuis Pythagore jusqu'à Dürer - voire Kepler.
>•<— Référence : Publication dans la revue Repères-IREM, en avril 2012, de :
« La naissance de la Géométrie : la géométrie avec les yeux des Égyptiens »
Les provocations de la proto-histoire
À gauche : un sceau-cylindre et son empreinte
Troupeau de bœufs dans un champ de blé.
Calcaire, Mésopotamie, période d'Uruk, 4100-3000 av. J.-C.
Musée du Louvre, France.
À droite : Brûleur d'encens de Qustul (Soudan)
Protodynastique, groupe A, 3300-3100 av. J.-C.
Indianapolis Museum of Art, USA
Le statut du cylindre de Qustul est pour l'instant celui d'un encensoir. La parenté de ses formes et de ses motifs
avec le sceau d'Uruk autorisent à penser qu'en plus, il servait à l'impression de motifs dans l'argile.
Deux courants de culture émergent parallèlement sur les rives du Nil (Nubie/Égypte) et entre le Tigre et
l'Euphrate (Mésopotamie/Sumer) au cours du IV ème millénaire*. Elles sont en contact, et entretiennent des
échanges, comme en témoignent ces deux objets. Aucun conflit de frontière ne les oppose encore, et les deux
cultures vont donner un sens au mot Civilisation, à travers toutes les formes du savoir, y compris religieux. Les
mathématiques et l'écriture en témoignent et peut-être (!) les mathématiques nous aideront-elles un jour à mieux
comprendre l'écriture...
* Quelques cultures gravitent autour de ces courants majeurs, telle la civilisation proto-élamite. Curieusement,
ce type de rouleau figure au registre de ses témoignages archéologiques... Politique ou commerce ?
Dans le présent article, nous allons aborder un bâtiment (temple) situé sur le site d'Uruk-Est, datant de sa période
finale - IVème millénaire av. J.-C. appelée Eanna (l'autre étant Kullab). Tout le vocabulaire de la géométrie
sacrée y est exposé avec un haut degré d'organisation.
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Le temple d'Eanna
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Cette étude entend définir les éléments objectifs de la géométrie de construction. Elle ne s'appuie que sur les
lignes du plan, et ne présume d'aucune interprétation pour éviter toute inspiration préjudiciable au résultat.
Fig. 1 - Le choix du bâtiment E tient à la manifeste
complexité de sa structure, de nature à révéler le
degré d'avancement de la civilisation d'Uruk, à ce
stade IV.
Veuillez cliquer sur l'image pour l'agrandir et situer
le bâtiment ‘E’ sur le site d'Ennea. Le fichier de
travail provient de Commons.Wikimedia. Il sera
souhaitable par la suite de reprendre l'étude avec un
fichier de plus haute définition. Celui-ci est le plus
grand qui soit mis à la disposition du public.
Ce fichier a été “redressé”, par rotation, pour
permettre la mise en évidence des formes
géométriques (en travers sur le plan d'origine).
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eanna4a.svg?uselang=fr
Articles parallèles
Cet article est à mettre en parallèle avec deux autres, portant sur la même période (IVème millénaire)
http://www.art-renaissance.net/EDL/Yvo_Jacquier-Qustul-tombe-3.pdf
Cette tombe n°3 appartient à la nécropole de Qustul (Soudan)
Protodynastique, groupe A, Fin du IVème Millénaire.
http://www.art-renaissance.net/EDL/Egyptologie.pdf
L'un des plus anciens mastabas dont nous ayons connaissance se situe à Nagada, en Haute-Égypte. Cette
sépulture aux dimensions royales abriterait la reine Neith-Hotep, épouse présumée de Narmer. L'édifice aurait
été construit sous le règne de leur fils Horus Aha, au tout début de la Ière dynastie (-3140 à v.2850).
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Fig. 2 - La première clé de cette architecture est
dans le cercle qui va chercher les quatre pans de
mur en diagonale.
La seconde clé est le nombre (1+√3)/2, parent
arithmétique de φ = (1+√5)/2. Cette proportion
s'obtient en construisant un cercle au sommet d'un
triangle équilatéral, qui prenne le côté du triangle
pour diamètre. Le rectangle qui enferme le tout
mesure en longueur (1+√3)/2 fois le diamètre-côté.
Deux rectangles de cette proportion méconnue,
pourtant si répandue du fait de son caractère
robuste, se mettent en croix (ici en rouge). Le
rectangle vertical est à l'intérieur des murs au
contraire du rectangle horizontal, qui prend
l'extérieur. Autre nuance entre les deux rectangles :
la ligne passe au croisement des redans (vertical) et
au milieu de leurs segments (horizontal).
Les bissectrices à 45° partent de chaque angle droit pour définir sur le cercle les quatre coins d'un rectangle
horizontal vert. Sa proportion est √3, et il prend en chaque extrémité six piliers du centre de l'édifice. La
verticale se comporte autrement : deux rectangles de proportion √3 se décalent de part et d'autre du pilier en
saillie pour rendre compte de l'intérieur de l'enceinte.
Fig. 3 - Les triangles équilatéraux inhérents aux
premiers grands rectangles (leurs côtés font le
diamètre du cercle central) apportent leur
contribution harmonique au plan.
- Ils coupent le cercle pour délimiter les pans de mur
en diagonale.
- Ils se croisent en haut et en bas au milieu des
piliers, à l'intérieur
- Quatre piliers centraux se trouvent dans leur spot.
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Le sceau de Salomon
Fig. 4 - Le sceau de Salomon fait son apparition...
Il vient chercher les angles des pièces à l'extérieur
de l'enceinte centrale, à gauche et à droite du plan.
Ce sont les mêmes points que ceux de la Fig. 2, ils
dessinent un rectangle à la proportion de √3.
Il pointe le plein milieu des pièces en haut et en bas.
Fig. 5 Le bord des piliers en saillie est cette fois désigné
Le plein centre des pièces adjacentes.
Cette étude est à confronter à celles des mosaïques
et des éléments mobiliers...
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Deux figures complexes et ... Le nombre d'or (φ)
Fig. 6 - Cette part peut paraître ingrate : elle est
probante en termes de structure et d'organisation...
Nous aurons par la suite l'occasion de nous
émerveiller.
En rouge : le cercle et ses carrés inscrits, marqués
pas la √2.
En bleu, et vert : les rectangles de proportion √3
En jaune enfin : un rectangle doré. Inscrit au cercle,
il décide de l'extérieur des six piliers.
À cette époque, en ce lieu, on pratique la géométrie
sacrée selon toutes ses valeurs...
Fig. 7 - En noir : L'intérieur des piliers n'a pas
encore été décrite. Il s'y dessine un rectangle de
proportion √3. Sa moitié s'ajoute au dessus et audessous pour “enfermer” les autres.
Sur les côtés, deux rectangles assortis verticalement
à celui qui tient le centre se mettent au bout du
rectangle doré pour aller chercher le fond des redans.
On retrouve, en vert, le rectangle de √3 dont la
longueur est le diamètre du cercle central. Placé en
croix, il vient délimité l'intérieur des murs, en haut et
en bas. ainsi que l'ouverture des salles. Ils
s'accordent avec les rectangles bleus de la figure
précédente. Tout est lié en cet édifice.
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Du losange au quadrillage
La magie vient conclure cette étude, après ces
figures un peu comptables d'apparence.
Traçons les droites qui frisent les murs autour du
cercle. Et aussi les perpendiculaires aux points de
tangente sur le cercle.
Le losange s'accorde parfaitement avec les redans,
une fois à l'extérieur, et l'autre à l'intérieur. Les
perpendiculaires passent par les quatre angles
rentrés de l'édifice. En soi, cette preuve a du poids.
Les architectes ont doublé leur intention de signes
soulignés par les flèches.
Faisons tourner ce losange de 90° pour compélter la
figure. Le bâtiment montre sa symétrie asymétrique.
Et derrière ce jeu de mosaïque, se cache un
quadrillage, si important pour la géométrie sacrée.
6 unités. La lecture du plan prend une autre
dimension. La précision du document n'est pas
suffisante pour tout attester ni tout comprendre.
Cependant, la structure qui émerge est probante.
Elle ne peut que gagner en raffinement avec la
multiplication des pixels.
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Qui dit quadrillage dit triangle 3-4-5.
Les hypoténuses sont ici tracées en rouge, selon
toutes les possibilités que permettent le quadrillage.
Les losanges noirs coupent de leurs côtés les
hypoténuses comme les lignes du quadrillage, en des
points importants.
Cette part de l'étude comme la suivante attendra un
fichier plus précis pour conclure dans le détail.
Le rectangles doré de côté 2
C'est un “classique” de la géométrie sacrée.
Ici, ils s'assemblent autour d'un carré central qui
mesure 2x2.
Les branches horizontales de la croix prolongent ce
carré de deux petits rectangles de 2 x 2/φ
Les branches verticales semblent décaler deux
rectangles dorés de 2 x 2φ, pour trouver l'épaisseur
des piliers ( nous devons appliquer une réserve
d'usage dans l'état actuel de l'étude).
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La quadrature du cercle
Le problème de la quadrature du cercle comme ses
réponses pratiques n'ont manifestement pas attendu
l'antiquité et ses philosophes.
Comment passer de la surface d'un cercle à celui
d'un carré sans calcul (donc sans l'expression
arithmétique de π). Juste avec une corde...
La formule la plus connue, que l'on attribue à
l'antiquité, nous dit qu'un cercle de diamètre 9 vaut
approximativement un carré de côté 8. La précision
est de 6 pour mille.
Dans le cas de ce bâtiment, le carré de référence est
le tout premier que nous avons identifié, celui qui
enferme le grand cercle central. Son côté mesure 4
carreaux. Le cercle dont le diamètre mesure 9/8 fois
ce côté (soit 9/2 = 4,5) est ici représenté en noir.
Trois séries d'éléments soulignent clairement ce
cercle de leurs angles.
Figure du haut : Les éléments en plein (murs)
Figure du bas : les éléments en vide (chambres)
Cette figure intervient comme une preuve par quatre
du quadrillage. La géométrie comparée rencontre
toujours ce type de double preuve au cours de ses
études. les concepteurs tiennent à signer leurs
oeuvres, et rien ne vaut une signature géométrique.
Ces perspectives sont la meilleure des conclusions.
Nous sommes au quatrième millénaire avant notre
ère. L'écriture va naître en cet endroit, précédée de
plusieurs belles longueurs par les mathématiques !
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