elements de mecanique celeste

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ELEMENTS DE MECANIQUE
CELESTE
SOMMAIRE
I) De l'antiquité à Copernic.
II) La révolution copernicienne et ses conséquences.
III) Newton et la gravitation universelle.
IV) Einstein et la mécanique relativiste.
V) La mécanique céleste demain.
ANNEXES :
Rappel sur le mouvement circulaire uniforme.
Annexe 1 : La gravitation et la force centrifuge (ex : la Lune).
Annexe 2 : Comment on a pesé la Terre.
Annexe 3 : Comment on a pesé le Soleil.
Annexe 4 : Orbite géostationnaire des satellites artificiels.

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Qu'est-ce que la " mécanique céleste " : C'est l'étude
des mécanismes et des lois physiques qui régissent le
mouvement des corps célestes.
L'histoire de la mécanique céleste est jalonnée de noms illustres qui vont
bouleverser nos conceptions du monde au cours des siècles : Hipparque,
Copernic, Galilée, Képler, Newton & Einstein .
I) De l'antiquité à Copernic
En fait, jusqu'au milieu du XVIIIe siècle, c'est l'étude du mouvement des planètes
qui a préoccupé les astronomes. En effet, depuis l'antiquité, le ciel est constitué
de la sphère des étoiles fixes, immuable, sur laquelle circulent le Soleil, la Lune et
5 planètes ("astres errants " en grec) : Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne .
D'après Platon (Ve siècle av.JC), héritier des courbes parfaites de la philosophie
grecque : "Seul le mouvement circulaire uniforme peut rendre compte de la
perfection et de l'harmonie de l'univers ".
Mais ce mouvement circulaire ne suffit pas à expliquer simplement la position
réelle des planètes. A cette époque, la terre est au centre du système, et on
constate très vite que la distance des planètes par rapport à la terre varie au cours
de l'année, sans compter la rétrogradation de certaines planètes comme Mars .
Hipparque (150 av. JC), s'appuyant sur les idées d'un mathématien grec
(Appolonios de Perga), imagine un système d'épicycles pour expliquer ces
variations tout en conservant le mouvement circulaire uniforme comme base.
Planète
Terre
déférant
épicycle
La variation des vitesses du déférent par rapport à l'épicycle permettait de rendre
compte du mouvement complexe de chaque planète .
Cette idée fut reprise par Ptolémée 3 siècles plus tard .

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Il importait moins à l'époque de savoir comment les planètes se déplaçaient que
de pouvoir prédire leurs positons à un moment donné .
II) La révolution copernicienne et ses conséquences .
15 siècles plus tard, Copernic remet le soleil au centre du système des planètes,
mais conserve le système d'épicycles qui s'est compliqué au cours des siècles
du fait des écarts de plus en plus importants entre la théorie et la réalité .
Copernicien convaincu, un disciple de Tycho Brahé: Johann Képler (1571-1630)
reprend la place d' astronome impérial à Prague en 1601, à la mort de celui-ci.
Ayant une confiance absolue dans les mesures de son maître, il ne peut croire
que Tycho Brahé ait pu faire des erreurs aussi importantes que celles qui existent
entre ses mesures et l'hypothétique mouvement circulaire uniforme .
Dès 1602, il comprend que plus la planète se rapproche du soleil, plus elle va
vite.
Après avoir reporté les mesures relatives de Mars et de la Terre, il comprend en
1605 que le mouvement de Mars n'est pas un cercle, mais une ellipse.
Il essaie sur les autres planètes et çà marche.
Rappel : L'ellipse est le lieu géométrique des points tel que la somme des
distances à 2 points appelés " Foyers" est constante .
O
F1 F2
C
A
B
X
- Dans l'ellipse ci-dessus , F1 & F2 étant les 2 foyers , on a :
F1 A + F2 A = F1 B + F2 B = F1 C + F2 C = 2 OX
- L'excentricité est : e = O F1 / O X ( si e = 0 , l'ellipse est un cercle).
- O X représente le demi-grand axe .
En 1609, il énonce dans "Astronomia nova "ses 2 premières lois :
- 1ere LOI : Chaque planète décrit une ellipse autour du soleil qui
occupe un des deux foyers .
- 2e LOI : Dans le mouvement elliptique des planètes , leur rayon
vecteur balaie des aires égales en des temps égaux

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Soleil
Planète
Dans le schéma ci-dessus , représentant la 2e loi de Képler, les 2 arcs rouges sont
parcourus dans le même temps, ce qui explique que les planètes vont plus vite
lorsqu'elles s'approchent du soleil (confirmation avec les comètes).
Mais Képler n'a pas abandonné l'idée de trouver un lien entre les vitesses des
différentes planètes .
En comparant les distances et les périodes de révolution de chaque planète par
rapport à la Terre, il établit le tableau suivant :
PLANETE 1/2Grd AXE "a" PERIODE "T" a3 T2
MERCURE 0,387 0,241 0,058 0,058
VENUS 0,723 0,615 0,378 0,378
TERRE 1 1 1 1
MARS 1,524 1,881 3,54 3,538
JUPITER 5,203 11,862 140,8 140,7
SATURNE 9,539 29,458 868 867,9
Ce tableau lui permet d'énoncer en 1618 sa 3e LOI :
3e LOI : Les carrés des temps de révolutions des planètes sont
proportionnels aux cubes des demi-grands axes de leurs orbites.
Cette période descriptive ou géométrique de la mécanique céleste est liée aux
noms illustres de Copernic, Tycho Brahé, Képler & Galilée. Elle explique
comment les planètes se déplacent, mais pas pourquoi .
III) Newton et la gravitation universelle .
Utilisant les travaux de Galilée sur la chute des corps, la force d'inertie et les
corps en mouvement (la cinématique), un physicien anglais : Issac Newton (1642-
1727), réussit à prouver qu'une force d'attraction mutuelle existe entre 2 corps .

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En 1687, dans son célèbre ouvrage "Principes mathématiques de la philosophie
naturelle ", il formule des lois connues sous le nom de " lois de la gravitation
universelle " qui sont devenues la pierre angulaire de toute la mécanique céleste et
même au delà de toute la cinématique .
1ere LOI : Loi d'inertie : Tout corps reste à l'état de repos ou conserve un
mouvement rectiligne uniforme tant qu'il n'est pas
soumis à une force extérieure .
2e LOI : L'accélération @ acquise par le corps est proportionnelle à la
force appliquée F ,et inversement proportionnelle à la masse du
corps
M : @ = F/M
3e LOI : Si un corps agit sur un autre corps avec une certaine force dans
une direction donnée , le deuxième corps réagit sur le premier
avec une force égale et de sens contraire .
4e LOI : Les corps s'attirent avec une force F proportionnelle au produit
de leurs masses (M & m) , et inversement proportionnelle au
carré de la distance (d) qui les sépare :
F= G.M.m / d2 avec la constante gravitationnelle G = 6,67x10-11,
si M & m en Kg ; d en mètres ; F en Newton)
Newton mesure l'accélération de la pesanteur à la surface de la terre G=9,81m/s2,
la masse étant concentrée au centre de gravité .
Entre 2 masses existe un point d'équilibre : " le point de Lagrange " .
A l'aide de ces lois, en prenant l'exemple de la lune, il démontre que les planètes
et leurs satellites sont en équilibre car la force centrifuge compense la gravitation
universelle ( voir calcul en annexe 1) .
Ces lois ouvraient à l'astronomie des possibilités nouvelles. Elles permirent, entre
autres choses, de peser la Terre (annexe 2) et le soleil (annexe 3) ,de comprendre
les effets de marée, ainsi que de calculer les orbites de satellites artificiels (annexe
4) .
Si les lois de la gravitation universelle créaient les fondements de la mécanique
céleste, elles n'expliquaient pas les causes physiques de ce phénomène .
Cette force d'attraction qui agit à distance et que rien n'arrête était loin de faire
l'unanimité parmi la communauté scientifique .