EC 4A : E - ISFEC Jacques Sevin

EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES
DEMONSTRATION EN GEOMETRIE PLANE
EXERCICES
EXERCICE N°1 :
Pour chacune des phrases ci-dessous, préciser si elles sont vraies ou
fausses. Ensuite, énoncer leurs réciproques et préciser si ces réciproques
sont vraies ou fausses.
a) Quels que soient les points A, B, C et D choisis, si AB = BC = CD, alors
le quadrilatère ABCD est un losange.
b) Quels que soient les points A, B et M, si M est le milieu de [AB] alors
AM = MB.
c) Quel que soit le quadrilatère ABCD, si ABCD est un parallélogramme,
alors [AC] et [BD] ont le même milieu.
EXERCICE N°2 :
Compléter :
a) Je sais que ABCD est un parallélogramme
Or si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés
sont parallèles
Donc …
b) Je sais que (AB) // (CD) et (AB) ⊥ (EF)
Or si ……………………………………. alors
Donc (CD) ⊥ (EF)
………………………………
c) Je sais que I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].
Or si ………………………………...…. alors …………………..…….……
Donc …
d) Je sais que …………………………………………………………………………...
Or si deux droites sont parallèles à la même troisième, alors elles sont
parallèles entre elles
Donc (AB) // (EF).
e) Je sais que IJK est un triangle, A est le milieu de [IJ] et B un point de
[JK] tel que (AB) // (IK)
Or si ………………………………...…. alors …………………..…….……
Donc …
f) Je sais que N est un point du cercle de diamètre [AB]
Or si ………………………………...…. alors …………………..…….……
Donc …
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Démonstration en géométrie plane : exercices
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EXERCICE N°3 :
Repérer les erreurs dans chacun des raisonnements ci-dessous, puis les
rendre justes :
1. Je sais que XYZT est un parallélogramme
Or si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors
c’est un parallélogramme
Donc (XY) // (ZT).
2. Je sais que (XY) // (ZT)
Or si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un
parallélogramme
Donc XYZT est un parallélogramme
3. Je sais que EFGH est un parallélogramme
Or si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés
sont de même longueur
Donc (EF) // (GH).
4. Je sais que AB = CD et AD = BC
Or si un quadrilatère a ses côtés de même longueur, alors c’est un
losange
Donc ABCD est un losange
5. Je sais que I est le milieu de [ST] et J le milieu de [SU].
Or d’après le théorème de la droite des milieux : dans un triangle si
une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième
côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu
Donc (IJ) // (UT)
EXERCICE N°4 :
Soient C et C ’ deux cercles de centres respectifs A et B. Ces deux cercles se
coupent en I et J.
Démontrer que les droites (IJ) et (AB) sont perpendiculaires.
EXERCICE N°5 :
Sur la figure ci-contre,
ABCD est un parallélogramme,
DB = 3cm et EI = 1,5cm.
Démontrer que (EB) et (ED) sont
perpendiculaires.
EXERCICE N°6 :
Soit C un cercle de centre O. Soit [AB] une corde de ce cercle. Soit (d) la
droite perpendiculaire à (AB) qui passe par O. Elle coupe (AB) en J.
Démontrer que J est le milieu de [AB].
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EXERCICE N°7 :
ABCD est un parallélogramme. La parallèle à (AC) qui passe par B coupe
(DC) en E.
Soit I le milieu de [BC].
Démontrer que I est le milieu de [AE].
EXERCICE N°8 :
Soit C un cercle de diamètre [AB] et de centre O. Soit C ’ le cercle de diamètre
[OA].
Soit E un point de C. La droite (AE) coupe C ’ en F.
Démontrer que (OF) et (BE) sont parallèles.
EXERCICE N°9 :
EFGH est un parallélogramme de centre K. Soit L le milieu de [FG].
Démontrer que (KL) est parallèle à (EF).
EXERCICE N°10 :
Démontrer que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un
point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
EXERCICE N°11 :
Démontrer que dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux
côtés est parallèle au troisième côté.
Cinq problèmes de type concours :
Problème n°1 :
1. La figure sera réalisée avec le crayon, le compas et la règle non
graduée.
Soit [BC] un segment de milieu I.
Tracer le cercle de centre I et de rayon BI.
Placer un point A sur le cercle, distinct de B et de C.
Tracer la perpendiculaire à (AB) qui passe par I, elle coupe [AB] en K et
l’arc ne contenant pas A en M.
Placer le point J tel que BIMJ soit un losange. Ses diagonales se
coupent en P. Tracer la perpendiculaire à (IJ) qui passe par J, elle
coupe (IM) en T.
2. Démontrer, en utilisant deux méthodes différentes, que (IK) // (AC).
3. Démontrer que (BJ) // (AC)
4. Démontrer que (BM) // (JT)
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Problème n°2 :
Il s’agit de construire un triangle à partir de ses trois médianes en utilisant
les propriétés de la figure. Les constructions seront effectuées à la règle et au
compas : on laissera apparents les traits de construction.
1. Tracer deux droites quelconques, d1 et d2, sécantes en un point O.
Placer un point I extérieur à ces deux droites.
Construire le parallélogramme OPQR de centre I tel que P appartienne
à d1 et R appartienne à d2. Ecrire le programme de construction
correspondant.
2. Soit ABC un triangle, G son centre de gravité, M le milieu de [BC] et A’
le symétrique de A par rapport à G.
a) Montrer que M est le milieu de [GA’].
b) Quelle est la nature du quadrilatère GBA’C ? Justifier.
c) Que peut-on dire pour les droites (GB) et (CA’) ? Pour les droites
(GC) et (BA’) ?
3. Tracer sur la copie trois droites quelconques, d1, d2 et d3, sécantes en
un point G. Placer sur la droite d1 un point A différent de G.
En utilisant les résultats précédents, construire le point B sur d2 et le
point C sur d3, de sorte que d1, d2 et d3 soient les trois médianes du
triangle ABC.
Ecrire le programme de construction correspondant.
Problème n°3 :
Voici un jeu tiré de Géométrie à l’Ecole, Savoir dire et savoir-faire de François
Boule, IREM de Bourgogne. Il est constitué de dix étiquettes suivantes :
Deux angles droits seulement
Quatre angles droits
Côtés égaux deux à deux
Deux côtés égaux seulement
Quatre côtés égaux
Côtés opposés parallèles
Deux côtés parallèles seulement
Diagonales égales
Diagonales perpendiculaires
Diagonales se rencontrant en leur milieu
On choisit au hasard deux étiquettes parmi les dix et on doit essayer de
dessiner un quadrilatère qui a ces deux propriétés.
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1. Un enfant a sélectionné les deux étiquettes suivantes :
et
Deux angles droits seulement
Diagonales perpendiculaires
a. En se limitant à la première propriété, « deux angles droits
seulement », tracer à main levée les deux configurations
possibles.
b. En prenant en compte les deux propriétés, construire à l’aide
des outils usuels de géométrie (règle, équerre, compas) une
figure correspondant à chacune des deux configurations
possibles. Rédiger leur programme de construction.
2. On choisit l’étiquette :
Deux côtés parallèles seulement
Trouver toutes les étiquettes incompatibles avec elle. Justifier les
réponses.
3. On s’intéresse aux quadrilatères qui possèdent les deux propriétés :
Diagonales perpendiculaires
et
Diagonales égales
Soit ABCD un tel quadrilatère, on appelle E, F, G et H les milieux
respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ? Justifier.
Problème n°4 :
Soient un cercle C de centre O et de rayon 4cm, [AB] un diamètre de ce cercle
et C un point du cercle tel que AC = 4cm.
1. Quelle est la nature du triangle AOC ? Justifier.
Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
2. Soit H le milieu du segment [CB].
Démontrer que la droite (OH) est parallèle à la droite (AC).
3. Le point I désignant le milieu du segment [AO], la droite (CI) recoupe le
cercle C en D. Démontrer que le quadrilatère CADO est un losange,
puis que les points D, H et O sont alignés.
4. Démontrer que la droite (CO) est perpendiculaire à la droite (BD).
5. Calculer la mesure des angles suivants :
,
,
,
,
, et
.
Problème n°5 :
Un polygone est inscriptible s’il existe un cercle qui passe par tous les
sommets de ce polygone. On va s’intéresser à quelques polygones
inscriptibles particuliers.
1. Tous les triangles sont-ils des polygones inscriptibles ? Justifier.
2. Tous les rectangles sont-ils inscriptibles ? Démontrer le.
3. Tous les quadrilatères sont-ils inscriptibles ? Démontrer le.
4. Démontrer qu’un quadrilatère convexe qui a deux angles opposés de
90° est un quadrilatère inscriptible.
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