composition de mathématiques - Mathlaayoune

CPGE Lissane eddine
Filière MP
Laayoune
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée 4h
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
???
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
???
Définitions et notations
Dans tout le problème, K = R ou C et E, F deux K-espaces vectoriels normés non nuls.
On dit que E est une algèbre normée si E est un espace vectoriel normé et ∀x, y ∈ E, kxyk ≤ kxkkyk.
Pour x ∈ E et r ≥ 0, on note respectivement B(x, r), Bf (x, r) (ou B(0, r)) et S(x, r) la boule ouverte, la boule
fermées et la sphère de centre x et de rayon r. Losqu’il y a plusieurs normes sur E, on notera BN (x, r), BN (x, r) et
SN (x, r) pour désigner, respectivement, la boule ouverte, la boule fermées et la sphère de centre x et de rayon r par
rapport à la norme N .
La boule fermée Bf (0, 1) (ou encore B(0, 1)) s’appelle la boule unité fermée.
Pour tout A ⊂ E. On désigne par Ā, Å et ∂A respectivement l’adhérence, l’intérieur et la frontière de A.
Soient A ⊂ E, B ⊂ F et f : A → B. On dit que f est un homéomorphisme si f est bijective et f et f −1 sont
continues. Dans ce cas, on dit que A et B sont homéomorphes.
Le but de ce problème est l’étude de divers propriétés des boules dans un espace vectoriel normé. Il se compose de
quatre parties qui peuvent être traitées indépendamment :
– La première partie concerne les opérations sur les boules d’un espace vectoriel normé.
– Dans la deuxième partie on étudie quelques propriétés topologiques des boules d’un espace vectoriel normé.
– Dans la troisième partie, on va démontrer une caractérisation topologique des espaces vectoriels normés de
dimension finie donnée par le théorème de Riez : " Un espace vectoriel normé est de dimension finie si est
seulement si la boule unité fermée est compacte".
– On montre, dans la quatrième partie, que toute partie de E convexe, compact qui contient 0 dans son intérieur
est homéomorphe à la boule unité fermée de E. Si on suppose, en plus, qu’elle est symétrique par rapport à 0,
alors elle représente la boule unité fermée d’une norme sur E.
Première partie
I : Opérations sur les boules :
1:
1 - a:
1 - b:
2:
2 - a:
2 - b:
Montrer que ∀x ∈ E, ∀r > 0, ∀λ ∈ K∗ , λB(x, r) = B(λx, |λ|r).
Montrer que ∀x ∈ E, ∀r ≥ 0, ∀λ ∈ K, λBf (x, r) = Bf (λx, |λ|r).
Montrer que ∀x ∈ E, ∀r > 0, B(x, r) = x + B(0, r) = x + rB(0, 1).
Montrer que ∀x ∈ E, ∀r ≥ 0, Bf (x, r) = x + Bf (0, r) = x + rBf (0, 1).
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3:
3 - a: Montrer que ∀r, r0 > 0, B(0, r + r0 ) = rB(0, 1) + r0 B(0, 1).
3 - b: Montrer que ∀r, r0 ≥ 0, Bf (0, r + r0 ) = rBf (0, 1) + r0 Bf (0, 1).
3 - c: Montrer que ∀x, y ∈ E, ∀r, r0 > 0, B(x + y, r + r0 ) = B(x, r) + B(y, r0 ).
3 - d: Montrer que ∀x, y ∈ E, ∀r, r0 ≥ 0, Bf (x + y, r + r0 ) = Bf (x, r) + Bf (y, r0 ).
4: On considère l’espace produit E × F muni de la norme produit.
4 - a: Montrer que ∀(x, y) ∈ E × F, ∀r > 0, B((x, y), r) = B(x, r) × B(y, r).
4 - b: En déduire que si U est un ouvert de E et V ouvert de F alors U × V est un ouvert de E × F .
4 - c: Montrer que ∀(x, y) ∈ E × F, ∀r ≥ 0, Bf ((x, y), r) = Bf (x, r) × Bf (y, r).
5: On suppose que E est une algèbre normée non nulle de neutre e.
5 - a: Montrer que e 6= 0 et kek ≥
1. 0 rr
0
5 - b: Montrer que ∀r, r > 0, B 0, kek
⊂ B(0, r)B(0, r0 ) ⊂ B(0, rr0 ).
rr0
⊂ Bf (0, r)Bf (0, r0 ) ⊂ Bf (0, rr0 ).
5 - c: Montrer que ∀r ≥ 0, Bf 0, kek
5 - d: Que dire lorsque kek = 1.
rr0
5 - e: Montrer que l’inclusion ∀r, r0 > 0, B 0, kek
⊂ B(0, r)B(0, r0 ) peut être stricte si kek > 1.
0
rr
5 - f: Montrer que ∀x, y ∈ E, ∀r, r0 > 0, B(xy, kek
) ⊂ B(x, r)B(y, r0 ).
5 - g: En déduire que si U et V sont deux ouverts de E alors U V est un ouvert de E.
rr0
5 - h: Montrer que ∀x, y ∈ E, ∀r, r0 ≥ 0, Bf (xy, kek
) ⊂ Bf (x, r)Bf (y, r0 ).
6:
6 - a: Montrer que ∀x, y ∈ E, ∀r, r0 > 0, B(x, r) ⊂ B(y, r0 ) ⇐⇒ kx − yk ≤ r0 − r.
6 - b: Montrer que ∀x, y ∈ E, ∀r, r0 ≥ 0, Bf (x, r) ⊂ Bf (y, r0 ) ⇐⇒ kx − yk ≤ r0 − r.
6 - c: Soit (Bf (an , rn ))n∈N unePsuite décroissante (i.e ∀n ∈ N, Bf (an+1 , rn+1 ) ⊂ Bf (an , rn )) de boules fermées.
6 - c - 1 : Montrer que la série (an+1 − an ) est absolument convergente.
\
6 - c - 2 : On suppose que E est Banach. Montrer que la série
Bf (an , rn ) 6= ∅.
n∈N
7: Soit A un ensemble non vide de E.
7 - a: Montrer que ∀r > 0, {x ∈ E/d(x, A) < r} = A + B(0, r).
7 - b: Montrer que ∀r ≥ 0, {x ∈ E/d(x, A) ≤ r} = Ā + Bf (0, r). Que dire lorsque r = 0 ?
Deuxième partie
II : Boule unité fermée et topologie
1:
1 - a: Montrer que les boules ouvertes de E sont des ouverts de E.
1 - b: Montrer que tout ouvert de E est union de boules ouvertes de E.
2: Montrer que les boules fermées et les sphères de E sont des fermés de E.
3: Soit x ∈ E et r > 0.
3 - a: Montrer que B(x, r) = Bf (x, r).
z }|
˚ {
3 - b: Montrer que Bf (x, r) = B(x, r).
z }|
˚ {
3 - c: Montrer que S(x, r) = ∅.
3 - d: En déduire que ∂Bf (x, r) = ∂B(x, r) = ∂S(x, r) = S(x, r).
4: Montrer que :
∀x, y ∈ E, ∀α, β > 0, B(x, α) = B(y, β) ⇐⇒ Bf (x, α) = Bf (y, β) ⇐⇒ S(x, α) = S(y, β) ⇐⇒ x = y et α = β
5: Soit r > 0. Montrer que E et B(0, r) sont homéomorphes (Indication : Considérer l’application f : E → B(0, r)
rx
définie par f (x) = 1+kxk
).
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6: On suppose que 2 ≤ dim E ≤ +∞. Soient a ∈ E et r ≥ 0.
6 - a: Montrer que S(0, 1) est connexe par arcs (Indication : Pour x, y ∈ S(0, 1), distinguer les cas x = −y et
x 6= −y).
6 - b: En déduire que le complémentaire de la boule Bf (a, r) est connexe par arcs (Considérer l’application :
f : E×R → E
où l’espace E × R est muni de la norme produit).
(x, r) 7→ a + rx
7: Soient r > 0 et x, y ∈ E tels que kxk < r < kyk. Montrer que tout chemin de x à y rencontre la sphère S(0, r)
(Autrement dit, tout chemin de l’intérieur à l’exterieur de la boule B(0, r) rencontre la sphère S(0, r)).
8:
8 - a: On suppose que B(0, 1) complet. Montrer que ∀r ≥ 0, B(0, r) est complet.
8 - b: Montrer que E est Banach ssi B(0, 1) est complet.
Troisième partie
III : Caractérisation topologique de la diemension finie
Théorème de Riez
1: On suppose, dans cette question, que E est de dimension finie, montrer que B(0, 1) est compact.
2:
2 - a: Montrer que si B(0, 1) est compacte alors S(0, 1) est compacte.
2 - b: Montrer que l’application (λ, x) 7→ λx de R × E muni de la norme produit vers E est continue sur R × E.
2 - c: En déduire que si S(0, 1) est compacte alors B(0, 1) est compacte.
3: On considère l’espace E = C([0, 1], R) muni de la norme kf k∞ = sup |f (t)|.
t∈[0,1]
+∞
X
(−1)n
1
3 - a: Montrer que l’application sur E définie par u(f ) =
f
est bien définie, linéaire, continue et
n
2
n
n=1
calculer sa norme.
3 - b: Montrer que si la boule unitée fermée de E est compacte alors ∃f ∈ E tel que kf k∞ = 1 et u(f ) = kf k∞ .
3 - c: En déduire que la boule unité fermée de E n’est pas compacte.
4: On considère l’espace R[X] muni de la norme N définie par ∀P ∈ R[X], N (P ) = max{|P (n) (0)|/n ∈ N}.
4 - a: Vérifier que N est bien une norme sur R[X].
4 - b:
1
4 - b - 1 : Montrer que la famille (p2 +q+1)
est sommable.
2
(p,q)∈N2
X
X
1
1
4 - b - 2 : En déduire que lim
=
.
2
2
2
n→+∞
(p + q + 1)
(p + q + 1)2
p+q≤n
(p,q)∈N
4 - c: Montrer que l’application sur R[X] définie par u(P ) =
X
(p,q)∈N
P (p+q) (0)
est bien définie, linéaire, continue
(p2 + q + 1)2
et calculer sa norme.
4 - d: Montrer que la boule unité fermée de R[X] n’est pas compacte.
5: Dans les deux questions précédentes 3 et 4, on a vu deux exemples d’espaces vectoriels normés avec boules unités
fermées non compactes. Dans la suite, on va montrer la réciproque de la première question : "Si B(0, 1) est compact
alors E est de dimension finie".
Supposons alors que B(0, 1) est compacte et, par l’absurde, que E est de dimension infinie.
5 - a: Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E.
5 - a - 1 : Soit a ∈ E \ F . Montrer que : ∃b ∈ F, d(a, F ) = ka − bk.
a−b
, commencer par vérifier que
5 - a - 2 : En déduire que : ∃x ∈ B(0, 1) tel que d(x, F ) = 1 (Prendre x = ka−bk
d(x, F ) ≤ 1 et ensuite que d(x, F ) ≥ 1).
5 - b: En déduire qu’il existe une suite (xn ) de B(0, 1) telle que ∀m, n ∈ N avec m 6= n on a kxn − xm k ≥ 1.
5 - c: Montrer que la suite (xn ) n’admet pas de suite extraite convergente.
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5 - d: En déduire que E est de dimension finie.
6: Soit f ∈ L(E) tel que f B(0, 1) est compacte (On dit que f est un opérateur compact).
On suppose que f admet une valeur propre non nulle λ.
6 - a: Montrer que l’espace propre Eλ (f ) de
à la valeur propre λ est fermé dans E.
f associé
1
6 - b: Montrer que B(0, 1) ∩ Eλ (f ) ⊂ λ f B(0, 1) .
6 - c: En déduire que Eλ (f ) est de dimension finie.
Quatrième partie
IV : Jauge d’un convexe :
On suppose que E est de dimension finie. On veut montrer dans cette partie que toute partie B de E convexe, compact
et tel que 0 appartient à l’intérieur de B est homéomorphe à la boule unité fermée de E.
On va montrer en suite que si B est symétrique par rapport à 0 (i.e ∀x ∈ B, −x ∈ B) alors il existe une norme N
sur E pour laquelle B est la boule unité fermée (i.e B = BN (0, 1)).
1: Montrer que Bf (0, 1) est convexe, compact et tel que 0 appartient à l’intérieur de Bf (0, 1).
2: Réciproquement, soit B ⊂ E convexe, compact et 0 appartient à l’intérieur de B. On pose :
∀x ∈ E, ρ(x) = inf{t ≥ 0/x ∈ tB}
2 - a: Montrer que ∀x ∈ E, ρ(x) est bien défini. La fonction ρ s’appelle la jauge du convexe B.
2 - b:
2 - b - 1 : Montrer que ρ(0) = 0.
2 - b - 2 : Montrer que ∀x ∈ E, ∀λ > 0, ρ(λx) = λρ(x).
2 - b - 3 : Montrer que ∀u, v > 0, uB + vB = (u + v)B. En déduire que ∀x, y ∈ E, ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y).
2 - b - 4 : Montrer que ∀x ∈ E, ρ(x) = 0 ⇒ x = 0.
2 - c:
2 - c - 1 : Montrer que ∃ε > 0, B(0, ε) ⊂ B. En déduire que ∀x ∈ E, ρ(x) ≤ 1ε kxk.
2 - c - 2 : Montrer que ∀x, y ∈ E, |ρ(x) − ρ(y)| ≤ 1ε kx − yk.
2 - c - 3 : En déduire que ρ est continue sur E.
2 - d: Soit f : E → E définie par :
(
0
si x = 0
f (x) = ρ(x)
kxk x si x 6= 0
2 - d - 1 : Montrer que f est continue sur E.
2 - d - 2 : Montrer que f est injective sur E.
2 - d - 3 : Montrer que f est surjective sur E.
2 - d - 4 : Montrer que f est un homéomorphisme sur E.
2 - d - 5 : En déduire que B et B(0, 1) sont homéomorphes.
3: On suppose maintenant que B est, en plus, symétrique par rapport à 0 (i.e ∀x ∈ B, −x ∈ B).
3 - a: Montrer que ρ est une norme sur E.
3 - b: Montrer que B est la boule unité fermé de E muni de la norme ρ.
∗ F in ∗
∗
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