composition de mathématiques - Mathlaayoune

CPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée 4h
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
???
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
???
Définitions et notations
Dans tout le problème, K=Rou Cet E, F deux K-espaces vectoriels normés non nuls.
On dit que Eest une algèbre normée si Eest un espace vectoriel normé et ∀x, y ∈E, kxyk ≤ kxkkyk.
Pour x∈Eet r≥0, on note respectivement B(x, r),Bf(x, r)(ou B(0, r)) et S(x, r)la boule ouverte, la boule
fermées et la sphère de centre xet de rayon r. Losqu’il y a plusieurs normes sur E, on notera BN(x, r),BN(x, r)et
SN(x, r)pour désigner, respectivement, la boule ouverte, la boule fermées et la sphère de centre xet de rayon rpar
rapport à la norme N.
La boule fermée Bf(0,1) (ou encore B(0,1)) s’appelle la boule unité fermée.
Pour tout A⊂E. On désigne par ¯ A, ˚ Aet ∂A respectivement l’adhérence, l’intérieur et la frontière de A.
Soient A⊂E, B ⊂Fet f:A→B. On dit que fest un homéomorphisme si fest bijective et fet f−1sont
continues. Dans ce cas, on dit que Aet Bsont homéomorphes.
Le but de ce problème est l’étude de divers propriétés des boules dans un espace vectoriel normé. Il se compose de
quatre parties qui peuvent être traitées indépendamment :
– La première partie concerne les opérations sur les boules d’un espace vectoriel normé.
– Dans la deuxième partie on étudie quelques propriétés topologiques des boules d’un espace vectoriel normé.
– Dans la troisième partie, on va démontrer une caractérisation topologique des espaces vectoriels normés de
dimension finie donnée par le théorème de Riez : " Un espace vectoriel normé est de dimension finie si est
seulement si la boule unité fermée est compacte".
– On montre, dans la quatrième partie, que toute partie de Econvexe, compact qui contient 0 dans son intérieur
est homéomorphe à la boule unité fermée de E. Si on suppose, en plus, qu’elle est symétrique par rapport à 0,
alors elle représente la boule unité fermée d’une norme sur E.
Première partie
I : Opérations sur les boules :
1:
1-a: Montrer que ∀x∈E, ∀r > 0,∀λ∈K∗, λB(x, r) = B(λx, |λ|r).
1-b: Montrer que ∀x∈E, ∀r≥0,∀λ∈K, λBf(x, r) = Bf(λx, |λ|r).
2:
2-a: Montrer que ∀x∈E, ∀r > 0,B(x, r) = x+B(0, r) = x+rB(0,1).
2-b: Montrer que ∀x∈E, ∀r≥0,Bf(x, r) = x+Bf(0, r) = x+rBf(0,1).
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3:
3-a: Montrer que ∀r, r0>0,B(0, r +r0) = rB(0,1) + r0B(0,1).
3-b: Montrer que ∀r, r0≥0,Bf(0, r +r0) = rBf(0,1) + r0Bf(0,1).
3-c: Montrer que ∀x, y ∈E, ∀r, r0>0,B(x+y, r +r0) = B(x, r) + B(y, r0).
3-d: Montrer que ∀x, y ∈E, ∀r, r0≥0,Bf(x+y, r +r0) = Bf(x, r) + Bf(y, r0).
4: On considère l’espace produit E×Fmuni de la norme produit.
4-a: Montrer que ∀(x, y)∈E×F, ∀r > 0,B((x, y), r) = B(x, r)× B(y, r).
4-b: En déduire que si Uest un ouvert de Eet Vouvert de Falors U×Vest un ouvert de E×F.
4-c: Montrer que ∀(x, y)∈E×F, ∀r≥0,Bf((x, y), r) = Bf(x, r)× Bf(y, r).
5: On suppose que Eest une algèbre normée non nulle de neutre e.
5-a: Montrer que e6= 0 et kek ≥ 1.
5-b: Montrer que ∀r, r0>0,B0,rr0
kek⊂ B(0, r)B(0, r0)⊂ B(0, rr0).
5-c: Montrer que ∀r≥0,Bf0,rr0
kek⊂ Bf(0, r)Bf(0, r0)⊂ Bf(0, rr0).
5-d: Que dire lorsque kek= 1.
5-e: Montrer que l’inclusion ∀r, r0>0,B0,rr0
kek⊂ B(0, r)B(0, r0)peut être stricte si kek>1.
5-f: Montrer que ∀x, y ∈E, ∀r, r0>0,B(xy, rr0
kek)⊂ B(x, r)B(y, r0).
5-g: En déduire que si Uet Vsont deux ouverts de Ealors UV est un ouvert de E.
5-h: Montrer que ∀x, y ∈E, ∀r, r0≥0,Bf(xy, rr0
kek)⊂ Bf(x, r)Bf(y, r0).
6:
6-a: Montrer que ∀x, y ∈E, ∀r, r0>0,B(x, r)⊂ B(y, r0)⇐⇒ kx−yk ≤ r0−r.
6-b: Montrer que ∀x, y ∈E, ∀r, r0≥0,Bf(x, r)⊂ Bf(y, r0)⇐⇒ kx−yk ≤ r0−r.
6-c: Soit (Bf(an, rn))n∈Nune suite décroissante (i.e ∀n∈N,Bf(an+1, rn+1)⊂ Bf(an, rn)) de boules fermées.
6-c-1: Montrer que la série P(an+1 −an)est absolument convergente.
6-c-2: On suppose que Eest Banach. Montrer que la série \
n∈N
Bf(an, rn)6=∅.
7: Soit Aun ensemble non vide de E.
7-a: Montrer que ∀r > 0,{x∈E/d(x, A)< r}=A+B(0, r).
7-b: Montrer que ∀r≥0,{x∈E/d(x, A)≤r}=¯ A+Bf(0, r). Que dire lorsque r= 0 ?
Deuxième partie
II : Boule unité fermée et topologie
1:
1-a: Montrer que les boules ouvertes de Esont des ouverts de E.
1-b: Montrer que tout ouvert de Eest union de boules ouvertes de E.
2: Montrer que les boules fermées et les sphères de Esont des fermés de E.
3: Soit x∈Eet r > 0.
3-a: Montrer que B(x, r) = Bf(x, r).
3-b: Montrer que
˚
z }| {
Bf(x, r) = B(x, r).
3-c: Montrer que
˚
z }| {
S(x, r) = ∅.
3-d: En déduire que ∂Bf(x, r) = ∂B(x, r) = ∂S(x, r) = S(x, r).
4: Montrer que :
∀x, y ∈E, ∀α, β > 0,B(x, α) = B(y, β)⇐⇒ Bf(x, α) = Bf(y, β)⇐⇒ S(x, α) = S(y, β)⇐⇒ x=yet α=β
5: Soit r > 0. Montrer que Eet B(0, r)sont homéomorphes (Indication : Considérer l’application f:E→ B(0, r)
définie par f(x) = rx
1+kxk).
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6: On suppose que 2≤dim E≤+∞. Soient a∈Eet r≥0.
6-a: Montrer que S(0,1) est connexe par arcs (Indication : Pour x, y ∈ S(0,1), distinguer les cas x=−yet
x6=−y).
6-b: En déduire que le complémentaire de la boule Bf(a, r)est connexe par arcs (Considérer l’application :
f:E×R→E
(x, r)7→ a+rx où l’espace E×Rest muni de la norme produit).
7: Soient r > 0et x, y ∈Etels que kxk< r < kyk. Montrer que tout chemin de xàyrencontre la sphère S(0, r)
(Autrement dit, tout chemin de l’intérieur à l’exterieur de la boule B(0, r)rencontre la sphère S(0, r)).
8:
8-a: On suppose que B(0,1) complet. Montrer que ∀r≥0,B(0, r)est complet.
8-b: Montrer que Eest Banach ssi B(0,1) est complet.
Troisième partie
III : Caractérisation topologique de la diemension finie
Théorème de Riez
1: On suppose, dans cette question, que Eest de dimension finie, montrer que B(0,1) est compact.
2:
2-a: Montrer que si B(0,1) est compacte alors S(0,1) est compacte.
2-b: Montrer que l’application (λ, x)7→ λx de R×Emuni de la norme produit vers Eest continue sur R×E.
2-c: En déduire que si S(0,1) est compacte alors B(0,1) est compacte.
3: On considère l’espace E=C([0,1],R)muni de la norme kfk∞= sup
t∈[0,1]
|f(t)|.
3 - a: Montrer que l’application sur Edéfinie par u(f) =
+∞
X
n=1
(−1)n
2nf1 nest bien définie, linéaire, continue et
calculer sa norme.
3-b: Montrer que si la boule unitée fermée de Eest compacte alors ∃f∈Etel que kfk∞= 1 et u(f) = kfk∞.
3-c: En déduire que la boule unité fermée de En’est pas compacte.
4: On considère l’espace R[X]muni de la norme Ndéfinie par ∀P∈R[X], N(P) = max{|P(n)(0)|/n ∈N}.
4-a: Vérifier que Nest bien une norme sur R[X].
4-b:
4-b-1: Montrer que la famille 1
(p2+q+1)2(p,q)∈N2est sommable.
4-b-2: En déduire que lim
n→+∞X
p+q≤n
1
(p2+q+ 1)2=X
(p,q)∈N
1
(p2+q+ 1)2.
4-c: Montrer que l’application sur R[X]définie par u(P) = X
(p,q)∈N
P(p+q)(0)
(p2+q+ 1)2est bien définie, linéaire, continue
et calculer sa norme.
4-d: Montrer que la boule unité fermée de R[X]n’est pas compacte.
5: Dans les deux questions précédentes 3 et 4, on a vu deux exemples d’espaces vectoriels normés avec boules unités
fermées non compactes. Dans la suite, on va montrer la réciproque de la première question : "Si B(0,1) est compact
alors Eest de dimension finie".
Supposons alors que B(0,1) est compacte et, par l’absurde, que Eest de dimension infinie.
5-a: Soit Fun sous-espace vectoriel de dimension finie de E.
5-a-1: Soit a∈E\F. Montrer que : ∃b∈F, d(a, F ) = ka−bk.
5 - a - 2 : En déduire que : ∃x∈ B(0,1) tel que d(x, F ) = 1 (Prendre x=a−b
ka−bk, commencer par vérifier que
d(x, F )≤1et ensuite que d(x, F )≥1).
5-b: En déduire qu’il existe une suite (xn)de B(0,1) telle que ∀m, n ∈Navec m6=non a kxn−xmk ≥ 1.
5-c: Montrer que la suite (xn)n’admet pas de suite extraite convergente.
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5-d: En déduire que Eest de dimension finie.
6: Soit f∈ L(E)tel que fB(0,1)est compacte (On dit que fest un opérateur compact).
On suppose que fadmet une valeur propre non nulle λ.
6-a: Montrer que l’espace propre Eλ(f)de fassocié à la valeur propre λest fermé dans E.
6-b: Montrer que B(0,1) ∩Eλ(f)⊂1
λfB(0,1).
6-c: En déduire que Eλ(f)est de dimension finie.
Quatrième partie
IV : Jauge d’un convexe :
On suppose que Eest de dimension finie. On veut montrer dans cette partie que toute partie Bde Econvexe, compact
et tel que 0 appartient à l’intérieur de Best homéomorphe à la boule unité fermée de E.
On va montrer en suite que si Best symétrique par rapport à 0 (i.e ∀x∈B, −x∈B) alors il existe une norme N
sur Epour laquelle Best la boule unité fermée (i.e B=BN(0,1)).
1: Montrer que Bf(0,1) est convexe, compact et tel que 0 appartient à l’intérieur de Bf(0,1).
2: Réciproquement, soit B⊂Econvexe, compact et 0 appartient à l’intérieur de B. On pose :
∀x∈E, ρ(x) = inf{t≥0/x ∈tB}
2-a: Montrer que ∀x∈E, ρ(x)est bien défini. La fonction ρs’appelle la jauge du convexe B.
2-b:
2-b-1: Montrer que ρ(0) = 0.
2-b-2: Montrer que ∀x∈E, ∀λ > 0, ρ(λx) = λρ(x).
2-b-3: Montrer que ∀u, v > 0, uB +vB = (u+v)B. En déduire que ∀x, y ∈E, ρ(x+y)≤ρ(x) + ρ(y).
2-b-4: Montrer que ∀x∈E, ρ(x) = 0 ⇒x= 0.
2-c:
2-c-1: Montrer que ∃ε > 0,B(0, ε)⊂B. En déduire que ∀x∈E, ρ(x)≤1
εkxk.
2-c-2: Montrer que ∀x, y ∈E, |ρ(x)−ρ(y)| ≤ 1
εkx−yk.
2-c-3: En déduire que ρest continue sur E.
2-d: Soit f:E→Edéfinie par :
f(x) = (0si x= 0
ρ(x)
kxkxsi x6= 0
2-d-1: Montrer que fest continue sur E.
2-d-2: Montrer que fest injective sur E.
2-d-3: Montrer que fest surjective sur E.
2-d-4: Montrer que fest un homéomorphisme sur E.
2-d-5: En déduire que Bet B(0,1) sont homéomorphes.
3: On suppose maintenant que Best, en plus, symétrique par rapport à 0(i.e ∀x∈B, −x∈B).
3-a: Montrer que ρest une norme sur E.
3-b: Montrer que Best la boule unité fermé de Emuni de la norme ρ.
∗F in ∗
∗
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