Bases de numération

TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques
1
Chapitre 1
Arithmétique
Partie 3 : Bases de numération
Propriété 1 : Existence d’une décomposition en base fixée (Admis)
Soit n un entier naturel non nul, et b un entier naturel supérieur ou égal à 2
(Soit
, 0 et , 2
n n b b
∈ ≠ ∈ ≥
ℕ ℕ
)
Il existe une seule et unique décomposition de n sous la forme
1 1
1 1 0
...
p p
p p
n a b a b a b a
−
−
= + + + +
avec
1 0
, ,...,
p p
a a a
−
des entiers naturels strictement inférieur à b et
0
p
a
≠
.
On dit alors que l’on a effectué la décomposition de l’entier n en base b et on note
1 1 0
...
b
p p
n a a a a
−
=
Démonstration
Existence des entiers
(
((
(
)
))
)
1 0
, ,...,
p p
a a a
−
−−
−
On effectue la division de n par b.
On sait alors qu’il existe un couple d’entiers naturels
(
)
0 0
,
q r
tels que
0 0
n bq r
= +
avec
0
0
r b
≤ <
(P1)
Si
0
0
q
≠
, on peut alors diviser à nouveau le quotient obtenu
0
q
par b, il vient :
il existe un couple d’entiers naturels
(
)
1 1
,
q r
tels que
0 1 1
q bq r
= +
avec
1
0
r b
≤ <
.
On revient alors à l’expression de n :
2
0 0 1 1 0 1 1 0
( )
n bq r b bq r r b q br r
= + = + + = + +
Si
1
0
q
≠
, on réitère l’opération en divisant
1
q
par b et de même il existe un couple d’entiers
naturels
(
)
2 2
,
q r
tel que
1 2 2
q bq r
= +
avec
2
0
r b
≤ <
il vient par suite :
[
]
3
1 1 0 2 2 1 0 2 2 2 1 0
( ) ( )
n b bq r r b b bq r r r b q b r br r
= + + = + + + = + + +
On met ainsi en place l’algorithme : si à la i
ème
étape
0
i
q
≠
alors on divise
i
q
par b et on obtient
alors l’existence de deux entiers naturels
(
)
1 1
,
i i
q r
+ +
tels que
1 1
i i i
q bq r
+ +
= +
avec
1
0
i
r b
+
≤ <
.
L’algorithme se terminant à l’étape p telle que
0
p
q
=
.
Montrons maintenant que l’algorithme se termine, c'est-à-dire qu’il existe une étape p pour
laquelle
0
p
q
=
. Considérons la suite
(
)
i
q
des quotients générés par le procédé précédent.
Si l’étape p recherchée n’existait pas, alors on aurait pour tout i,
0
i
q
≠
et pour tout entier i,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
strictement
Strictement
négatif car
positif par
2
hypothèse
( ) (1 )
i i i i i i i i i i
positif
b
q q q q b r q q b r q b r
+ + + + + + + + +
≥
− = − + = − − = × − − on en conclut que pour tout
entier i,
1
0
i i
q q
+
− <
et donc la suite
(
)
i
q
serait une suite d’entiers naturels strictement
décroissante, ce qui ne se peut pas. On a montré par l’absurde qu’il existe une étape p pour
laquelle
0
p
q
=
.
On arrête donc notre itération à l’indice p.

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2
Montrons par récurrence que l’expression de n est alors pour tout entier naturel i :
1 1 0
1 1 0
...
iii
i i i
n q b rb r b r b r b
+ −
−
= + + + + + avec pour convention
0
i
q
=
dès que
.
i p
≥
Amorce : Pour
0
i
=
, on a bien
0 1 0 1
0 0 0 0
n q b r b q b r
+
= + = +
par (P1) donc la propriété est vraie.
Hérédité : Supposons maintenant la propriété vraie pour un certain rang i,
c'est-à-dire que
1 1 0
1 1 0
...
iii
i i i
n q b rb r b r b r b
+ −
−
= + + + + + et montrons la au rang i+1:
c'est-à-dire que
2 1 0
1 1 1 0
...
i i i
i i i
n q b r b rb r b r b
+ +
+ +
= + + + + + .
Partons de
1 1 0
1 1 0
...
iii
i i i
n q b rb r b r b r b
+ −
−
= + + + + + , par construction
1 1
i i i
q bq r
+ +
= +
, on a donc en
substituant
(
)
1 1 0 2 1 0
1 1 1 1 0 1 1 1 0
... ...
i i i i i i
i i i i i i i
n bq r b rb r b r b r b q b r b rb r b r b
+ − + +
+ + − + +
= + + + + + + = + + + + + ce qui est
bien la propriété au rang i+1.
Conclusion : On a montré par récurrence que pour tout entier naturel i :
1 1 0
1 1 0
...
iii
i i i
n q b rb r b r b r b
+ −
−
= + + + + + et en particulier pour i = p :
1 1 0 1 0
1 1 0 1 1 0
0
... ...
p p p p p
p p p p p
n q b r b r b r b r b r b r b r b r b
+ − −
− −
=
= + + + + + = + + + + et puisque , 0
i
i r b
∀ ≤ <
notre existence est démontrée en posant pour tout i entre 0 et p,
i i
a r
=
.
Unicité de la décomposition
Supposons qu’il existe deux décompositions différentes possibles :
1 1
1 1 0
...
p p
p p
n a b a b a b a
−
−
= + + + +
et
1 1
1 1 0
...
q q
q q
n c b c b c b c
−
−
= + + + +
avec par exemple
q p
≥
.
On prolonge alors la première écriture en posant
1 1
1 1 0
...
q q p
q q p
n a b a b a b a b a
−
−
= + + + + +
en
prenant pour convention
0 si 1
i
a i p
= ≥ +
.
1 1
1 1 1 1 0 0
0 ( ) ( ) ... ( ) ( )
q q
q q q q
n n c a b c a b c a b c a
−
− −
− = = − + − + + − + −
Supposons par l’absurde que les listes des coefficients
(
)
(
)
0 0
et
i i
i q i q
a c
≤ ≤ ≤ ≤
soient différentes et
notons k le premier indice tel que
k k
c a
≠
, il vient :
1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
q q k k
q q q q k k k k
c a b c a b c a b c a b
− +
− − + +
− + − + + − + − =
simplifions l’expression ci-dessus par
k
b
, on obtient :
1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
q k q k
q q q q k k k k
c a b c a b c a b c a
− − −
− − + +
− + − + + − + − =
et par suite :
1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ... ( ) ( )
q k q k
q q q q k k k k k k
c a b c a b c a b c a a c
− − −
− − + +
− + − + + − = − − = −
(P2)
rappelons que 0
k
c b
≤ <
et 0
k
a b
≤ <
donc
k k
b a c b
− < − <
il vient :
1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ... ( )
q k q k
q q q q k k
b c a b c a b c a b b
− − −
− − + +
− < − + − + + − <
en simplifiant par b non nul et positif on obtient :
1 2
1 1 1 1
1 ( ) ( ) ... ( ) 1
q k q k
q q q q k k
K
c a b c a b c a
− − − −
− − + +
= ∈
− < − + − + + − <
ℤ
or le seul entier strictement inférieur à 1 et strictement supérieur à -1 est 0 donc
1 1
1 1 1 1
0 ( ) ( ) ... ( ) 0
q k q k
q q q q k k
K K K b c a b c a b c a b
− − −
− − + +
′
= ⇒ = × = − + − + + − =
et puisque
k k
K a c
′
= −
par (P2),
on en déduit par égalité que
0
k k
a c
− =
et donc
k k
a c
=
ce qui contredit l’hypothèse de départ
qui consistait à supposer l’existence d’un indice k tel que
k k
c a
≠
.
On vient de démontrer par l’absurde que tous les coefficients
(
)
(
)
0 0
et
i i
i q i q
a c
≤ ≤ ≤ ≤
sont égaux, on
en déduit qu’il n’existe qu’une seule décomposition position de n dans la base b.

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3
Exemple pratique de décomposition :
232 s’écrit
5
1412
en base 5 123 s’écrit
8
173
en base 8
Remarques :
• L’écriture usuelle des nombres en base 10 est dite écriture décimale.
• L’écriture en base 2 est dite écriture binaire, elle est utilisée en électronique numérique
et informatique, celle en base 8 est l’écriture octale et était utilisée en informatique.
On lui préfère aujourd’hui l’écriture hexadécimale en base 16.
• La base 20 a été utilisée par les Mayas et les Aztèques, ainsi que de manière
alternative en France (dont on garde en héritage le « quatre-vingt »).
• La base 60 (système sexagésimal) dans la mesure du temps, elle a été utilisée par les
Sumériens puis les Babyloniens.
• Pour des bases strictement plus grandes que 10 on a besoin de « chiffres » supérieurs
ou égaux à 10 pour coder les nombres. On utilise A pour coder le « chiffre »10, B pour
désigner 11, etc… par exemple
16 2 1 0
3 10 16 3 16 12 16 2620
C
A
N A C= = × + × + × = .
Le programme suivant réalisé avec le logiciel ALGOBOX (disponible gratuitement sur internet)
permet de coder l’écriture décimale d’un entier naturel n dans une base b ≤ 10.
232 5
2 46 5
1 9 5
4 1 5
1 0
123 8
3 15 8
7 1 8
1 0
Arrêt de l’algorithme
Sens de lecture

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4
Exercices sur les bases de numération
Dans les exercices suivants, on pourra admettre si besoin que si p est un nombre premier et si
p divise
a b
×
alors p divise a ou p divise b.
Ce résultat sera démontré à l’occasion du cours sur les nombres premiers.
Exercice 1
1/ Décomposer en base 2 le nombre 145
2/ Décomposer en base 6 le nombre 1234
3/ Décomposer en base 16 le nombre 12121212
Exercice 2
Ecrire
5
11111
A
=
en base 8.
Exercice 3
Le nombre 29 dans le système décimal s’écrit 27 en base a. Que vaut a ?
Exercice 4
Réaliser l’opération
5 5
34124 22222
+