Calcul Intégral et Différentiel

Calcul Intégral et Différentiel
J. Melleray
Université Lyon I
Semestre de printemps 2013-2014

Avertissement. Ces notes comportent certainement leur lot d’erreurs plus ou moins graves. Le cours ne sui-
vra pas exactement les notes, qui sont suceptibles d’évoluer au cours du semestre. Remarques, commentaires,
questions, corrections, etc. sont les bienvenus.
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des matières, pour passer à la section correspondante ; ou dans l’index, pour retrouver les endroits où apparaît
un terme particulier).

Table des matières
1 Intégrale des fonctions continues par morceaux 1
1.1 Rappels .................................................. 1
1.2 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Intégraledesfonctionsréglées...................................... 5
1.4 Propriétés fondamentales de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Rappels: équivalents, développements limités... 13
2.1 Equivalentsetcomparaison ....................................... 13
2.2 Développementslimités ......................................... 14
3 Intégrales impropres 19
3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Intégrales impropres de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Intégralesimpropresetséries ...................................... 23
4 Suites d’intégrales; intégrales à paramètre 25
4.1 Convergence uniforme et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Convergence monotone et convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Preuve du théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Echangessérie-intégrale ......................................... 29
4.5 Intégralesàparamètre.......................................... 30
5 Fonctions de plusieurs variables 35
5.1 Rappels de topologie en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5 Gradient,hessienneetextrema ..................................... 45
5.6 Difféomorphismes de classe C1..................................... 48
5.7 Théorèmed’inversionlocale....................................... 48
5.8 Théorèmed’inversionglobale ...................................... 50
5.9 Fonctionsimplicites ........................................... 50
6 Intégrale double 53
6.1 Intégration sur un domaine compact du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Intégrales doubles sur des ouverts du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chapitre 1
Intégrale des fonctions continues par
morceaux
1.1 Rappels
Définition 1.1. Soit Iun intervalle de R. Une fonction f:I→Cest continue en x∈Isi
∀ε > 0∃δ > 0∀y∈I|x−y| ≤ δ⇒ |f(y)−f(x)| ≤ ε .
On dit que fest continue sur Isi fest continue en xpour tout x∈I.
Remarque 1.2. Cette définition s’applique bien sûr également pour les fonctions à valeurs réelles, qui sont un
cas particulier de fonctions à valeurs dans C. Dans ces notes, à chaque fois qu’il sera écrit « Soit f:I→C», il
faut penser qu’on parle d’une fonction à valeurs réelles ou complexes.
Attention, la notion de continuité est locale : elle dépend du point xoù l’on se place. En particulier, dans
la définition ci-dessus, δdépend à la fois de xet de ε. Quand on peut choisir δne dépendant que de ε, on parle
d’uniforme continuité.
Définition 1.3. Soit Iun intervalle de R, et f:I→C. On dit que fest uniformément continue sur Isi
∀ε > 0∃δ > 0∀x, y ∈I|x−y| ≤ δ⇒ |f(y)−f(x)| ≤ ε .
En général, une fonction continue sur un intervalle In’est pas uniformément continue, comme le montre
l’exercice suivant.
Exercice 1.4. Soit f: ]0,+∞[→Rdéfinie par f(x) = 1
x. Montrer que fest continue mais pas uniformément
continue. Montrer qu’il en va de même de la fonction x7→ x2, définie sur Rtout entier i.
Néanmoins, il existe un cas très important où la continuité est équivalente à l’uniforme continuité.
Théorème 1.5. Soit I= [a, b]un segment, i.e. un intervalle fermé borné de R, et f:I→Cune fonction
continue sur I. Alors fest uniformément continue sur I.
Démonstration. Supposons que fne soit pas uniformément continue sur [a, b]: alors il existe ε > 0tel que, pour
tout entier n, on peut trouver xnet yndans Iavec |xn−yn| ≤ 1
nmais |f(xn)−f(yn)| ≥ ε. Grâce au théorème
de Bolzano-Weierstrass, on peut trouver une application strictement croissante ϕ:N→Ntelle que les suites
(xϕ(n))et (yϕ(n))soient toutes les deux convergentes. Comme ϕ(n)≥n, on a |xϕ(n)−yϕ(n)| ≤ 1
ϕ(n)→0quand
ntend vers +∞, donc (xϕ(n))et (yϕ(n))convergent vers le même point x. Puisque |f(xϕ(n))−f(yϕ(n))| ≥ ε, il
est impossible que les deux suites f(xϕ(n))et f(yϕ(n))convergent toutes deux vers f(x). Par conséquent fn’est
pas continue en x, donc fn’est pas continue sur I.
On vient de montrer que si fn’est pas uniformément continue sur Ialors fn’est pas continue sur I, ce qui
est la même chose que montrer que si fest continue sur Ialors fest uniformément continue sur I.
i. Question subsidiaire : quels polynômes sont uniformément continus sur R?
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