Mécanique C6 Loi du moment cinétique appliquée au solide

Lycée Kerichen
MPSI 2
2013-2014
Mécanique
C6 Loi du moment cinétique
appliquée au solide
Dans le chapitre précédent, nous avons utilisé un nouvel outil bien pratique pour décrire le
mouvement des systèmes matériels constitués d'un point en rotation par rapport à un axe fixe.
Dans ce chapitre, nous allons étendre l'utilisation de la loi du moment cinétique aux solides.
I- Moment cinétique d'un solide dans un référentiel galiléen :
1. Introduction à la notion de moment d'inertie :
uz .
Soit un axe fixe Δ coïncidant avec l'axe dirigé par ⃗
Exprimons les coordonnées d'un point M en coordonnées cylindriques :
2. Moment cinétique d'un solide ou d'un système de points :
a) Système déformable : On considère un système constitué de plusieurs points matériels
M1 de masse mi et de moment cinétique par rapport à l'axe orienté Δ : σΔ(Mi)
Remarque : Coordonnées cylindriques
b) Cas d'un solide en rotation par rapport à un axe :
α) Moment d'inertie d'un solide :
Rappel : Un solide est …..........................................................................................................................................
….....................................................................................................................................................................................
Un solide est dit en « rotation autour d'un axe fixe » lorsque.....................................................................
…..................................................................................................................................................................................
1
β) Moment cinétique d'un solide par rapport à un axe orienté :
γ) Moments d'inertie de quelques solides homogènes :
Barre de longueur L
1
2
mL
12
Cylindre plein de rayon R Boule homogène de rayon R Cylindre vide de rayon R
1
2
mR
2
2
2
mR
5
MR2
On remarque que :
δ) Importance de la répartition des masses sur la valeur du moment d'inertie :
II- Loi du moment cinétique pour un solide en rotation :
Soit un solide en rotation autour d'un axe orienté Δ (Oz) fixe dans un référentiel galiléen soumis
F i de moment par rapport à l'axe Δ : M Δ ( ⃗
F i)
aux forces extérieures ⃗
Le moment d'inertie de ce solide par rapport à Δ est noté J Δ.
Son mouvement est caractérisé par sa vitesse angulaire θ̇ et son moment cinétique par rapport à
Δ vaut σ Δ=J Δ θ̇ .
1. Loi scalaire du moment cinétique pour un solide :
2
2. Cas de conservation du moment cinétique :
3. Notion de couple :
F 1 et ⃗
F 2 opposées s'appliquant en A1 et A2 forment un couple de
Soient deux forces ⃗
forces : leur résultante est :
Le moment du couple de force par rapport à l'axe Δ est :
Par abus de langage, on désigne souvent par « couple » le moment du couple par rapport à Δ et on
le note Γ :
Remarques : Le moment du couple Γ :
1. Ne dépend pas de la position de l'axe de rotation.
2. Est algébrique. Son signe dépend du sens dans lequel le moment du couple tend à faire
tourner le système autour de l'axe Δ :
• si ce sens est direct :
• si ce sens est indirect :
Exemple :
3
III- Liaison pivot :
1. Définition :
Une liaison pivot d'axe Δ restreint les possibilités de mouvement du rotor (dispositif en
rotation) a une rotation d'axe Δ par rapport au stator (dispositif fixe)
Remarque : Comment réaliser une liaison pivot la plus « parfaite » possible?
On emboîte deux cylindres de même axe et on réalise des buttées pour empêcher les cylindres de
coulisser le long de leur axe commun.
Les frottements résultant du contact entre solides peuvent être limités par des roulements à
billes.
2. Action de liaison et liaison pivot idéale d'axe Δ :
L'action de liaison résulte des forces exercées par le stator sur le rotor.
Elle n'est pas déterminée a priori.
Si on peut négliger les frottements, ces actions de contact sont normales aux surfaces de
contact.
Dans ce cas, le moment par rapport à Δ de chacune de ces forces est........ et le moment par
rapport à Δ de la liaison est …........
Attention !!! Seul le moment de l'action de liaison est nul !!!
Sa résultante ne l'est pas puisque c'est elle qui assure le guidage en rotation autour de Δ.
IV- Pendule pesant :
1. Présentation du système:
Soit une tige homogène attachée en un point O et pouvant osciller librement dans le plan (Oxy).
La tige (masse m et longueur L) est donc un pivot parfait autour de l'axe Oz..
Sa position est repérée par l'angle θ par rapport à la verticale.
La tige est lâchée sans vitesse initiale avec un angle θ 0 . Elle va donc effectuer des oscillations
autour de la position θ=0
2. Détermination de l'équation du mouvement :
Utilisons la loi du moment cinétique.
4
3. Intégrale première du mouvement, étude qualitative et portrait de phase :
V- Énergie d'un solide en rotation autour d'un axe fixe :
1. Énergie cinétique d'un solide en rotation :
uΔ par un ensemble de points
On modélise un solide en rotation autour d'un axe Δ orienté par ⃗
matériels Mi de masse mi repérés en coordonnées cylindriques.
Le moment d'inertie de ce système de points vaut :
5
Un solide de moment d'inertie JΔ en rotation autour d'un
axe fixe Δ à la vitesse angulaire θ̇ possède l'énergie
cinétique :
1
2
E c = J Δ θ˙
2
2. Puissance d'une force appliquée sur un solide en rotation :
Fi .
Les points Mi sont soumis à ⃗
3. Théorème de l'énergie cinétique pour un solide indéformable :
Pour un solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen ℜ , on
a:
d Ec d 1
=
J θ˙2
dt
dt 2 Δ
(
)
=
Or, le théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour de l'axe fixe Δ stipule :
n
d Ec n
=∑ P( ⃗
F i )=∑ M Δ ( ⃗
F i ) θ̇
dt
i =1
i=1
6