Calcul rapide sur les matrices structurées : les matrices de Hankel

TH` ESE
pr´esent´ee `a
L’U.F.R. DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DE L’UNIVERSIT´ E DE FRANCHE-COMT´ E
pour obtenir le
GRADE DE DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´ E
DE FRANCHE-COMT´ E
Sp´ecialit´e : Math´ematiques et Applications
CALCUL RAPIDE SUR LES
MATRICES STRUCTUR´ EES :
LES MATRICES DE HANKEL
par
Nadia BEN ATTI
Soutenue le 28 Novembre 2008 devant la Commission d’Examen
Pr´esidente : Marie-Fran¸coise Roy, Professeur `a l’Universit´e de Rennes 1
Directeur de Th`ese : Henri Lombardi, Maˆıtre de Conf´erence HDR `a l’Universit´e de
Franche-Comt´e
Examinateur : Hassen Oukhaba, Maˆıtre de Conf´erence HDR `a l’Universit´e de
Franche-Comt´e
Rapporteurs : Dario-Andrea Bini, Professeur `a l’Universit´e de Pise-Italie
Laureano Gonzalez-Vega, Professeur `a l’Universit´e de Cantabria-Espagne

Table des mati`eres
Liste des algorithmes iii
Liste des tableaux iii
Liste des figures iii
Remerciements v
Introduction 1
Notations et pr´eliminaires 3
1 Diagonalisation par blocs des formes de Hankel 7
1.1 M´ethode classique : d´ecomposition LU-´equivalente d’une matrice de Hankel . . 7
1.2 Une nouvelle m´ethode de r´eduction ......................... 9
1.2.1 Une ´etape ´el´ementaire de la r´eduction ................... 9
1.2.2 L’algorithme complet de la r´eduction : Algorithme 1.1 .......... 13
Complexit´e de l’algorithme 1.1 ....................... 14
1.3 Simplification de l’algorithme 1.1 .......................... 15
1.3.1 Exemples ................................... 15
1.3.2 Le r´esultat g´en´eral .............................. 25
1.3.3 Algorithme 1.2 ................................ 25
Preuve de la correction de l’algorithme 1.2 ................. 26
Complexit´e de l’algorithme 1.2 ....................... 28
1.4 Une variante de l’algorithme 1.2 ........................... 28
1.4.1 Exemple ................................... 30
1.4.2 Algorithme 1.3 ................................ 31
Complexit´e de l’algorithme 1.3 ....................... 31
1.5 Comparaison avec l’algorithme classique ...................... 33
1.6 Application : Preuve ´el´ementaire du Th´eor`eme de Frobenius ........... 37
2 L’algorithme d’Euclide sign´e . . . 41
2.1 Matrices de Hankel et de Bezout associ´ees `a deux polynˆomes .......... 41
2.1.1 La matrice H(U,V) .............................. 43
2.1.2 La matrice Bez(U,V) ............................. 44
2.2 Diagonalisation par bloc de H(U, V ) et algorithme d’Euclide sign´e ........ 46
2.2.1 R´eduite diagonale par bloc de H(U,V) et suite des quotients ....... 46
2.2.2 Exemple .................................... 47
2.2.3 Matrice de passage et suite des restes .................... 50
G´en´eralisation ................................. 52

ii Table des mati`eres
2.3 Diagonalisation par bloc de J Bez(U, V ) J ...................... 55
2.3.1 R´eduite diagonale par bloc de J Bez(U, V ) J ................ 55
2.3.2 La matrice Ab................................. 56
2.3.3 Exemple .................................... 58
3 Variantes de l’algorithme de Berlekamp–Massey 63
3.1 L’algorithme de Berlekamp-Massey usuel ...................... 63
3.1.1 Suites r´ecurrentes lin´eaires ......................... 63
3.1.2 L’algorithme de Berlekamp-Massey ..................... 64
Complexit´e de l’algorithme de Berlekamp-Massey ............. 65
3.2 La variante et sa justification ............................ 66
3.2.1 Une variante de l’algorithme de Berlekamp-Massey : Algorithme 3.2 . . 66
3.2.2 Preuve de correction de l’algorithme 3.2 .................. 67
3.3 Application des algorithmes de diagonalisation ................... 69
3.3.1 Algorithme 3.3 ................................ 69
Complexit´e de l’algorithme 3.3 ....................... 71
3.3.2 Algorithme 3.4 ................................ 72
3.3.3 Comparaison entre l’algorithme de Berlekamp-Massey et l’algorithme 3.4 73
3.4 Variante (( dynamique ))de l’algorithme 3.2 ..................... 73
Conclusion 77
A Codes Maple 79
A.1 Proc´edures partag´ees ................................. 79
A.2 Par inversions de s´eries formelles .......................... 85
A.3 Par divisions en puissances d´ecroissantes ...................... 87
A.4 Par divisions en puissances d´ecroissantes, tronqu´ees ................ 89
B Quelques capture ´ecran 91
Bibliographie 97

Liste des algorithmes
1.1 Algorithme de r´eduction d’une matrice de Hankel (1) ............... 14
1.2 Algorithme de r´eduction d’une matrice de Hankel (2) ............... 26
1.3 Algorithme de r´eduction d’une matrice de Hankel (3) ............... 32
3.1 Algorithme de Berlekamp-Massey usuel ....................... 65
3.2 Algorithme de Berlekamp-Massey, variante ..................... 66
3.3 Algorithme de Berlekamp-Massey, variante am´elior´ee (issue de l’algorithme 1.2) . 71
3.4 Algorithme de Berlekamp-Massey, variante am´elior´ee (issue de l’algorithme 1.3) . 72
3.5 Algorithme de Berlekamp-Massey, variante, version paresseuse (dans un contexte
particulier) ...................................... 74
Liste des tableaux
2.1 Parall´elisme entre algorithme d’Euclide sign´e et diagonalisation par bloc de H(U,V) 49
2.2 Parall´elisme entre algorithme d’Euclide sign´e et diagonalisation par bloc de
Bez(U,V) ....................................... 59
3.1 Degr´es pr´esents dans les E`successifs ....................... 69
Liste des figures
B.1 divisions en puissances croissantes de polynˆomes .................. 91
B.2 divisions en puissances d´ecroissantes de polynˆomes ................. 92
B.3 divisions en puissances d´ecroissantes de polynˆomes avec troncature ........ 92