Triangulations de segments et algorithme de flip

Triangulations de segments et algorithme de flip
Mathieu Brévilliers
Nicolas Chevallier
Dominique Schmitt
Laboratoire LMIA
Université de Haute-Alsace
Réunion GPIG, 21 octobre 2008
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
21/10/2008
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Triangulation de points
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de points
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de Delaunay
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
21/10/2008
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Triangulation de Delaunay
Régularité
La triangulation de Delaunay maximise le
minimum des angles de la triangulation.
Applications
Reconstruction,
Génération de maillages,
Planification de trajectoires,
...
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Algorithme de flip
Une triangulation quelconque de S
⇓
Modifications locales
⇓
Triangulation de Delaunay de S
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
21/10/2008
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Algorithme de flip
Une triangulation quelconque de S
⇓
Modifications locales
⇓
Triangulation de Delaunay de S
1
Comment vérifier efficacement si la triangulation courante est de
Delaunay ?
2
Quelles sont les modifications locales à effectuer ?
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Légalité d’une arête
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Légalité d’une arête
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Légalité d’une arête
Arête légale
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
Arête illégale
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Légalité d’une arête
Arête légale
Arête illégale
Théorème
La triangulation de Delaunay est la seule
triangulation dont toutes les arêtes sont légales.
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Algorithme de flip
Une triangulation quelconque de S
⇓
Modifications locales
⇓
Triangulation de Delaunay de S
1
Comment vérifier efficacement si la triangulation courante est de
Delaunay ?
2
Quelles sont les modifications locales à effectuer ?
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Modification locale
Arête illégale
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Modification locale
Arête illégale
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Modification locale
Arête illégale
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
21/10/2008
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Modification locale
Arête illégale
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
Arête légale
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Un flip améliore la triangulation
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
21/10/2008
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
21/10/2008
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Triangulation de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Triangulation de Delaunay de segments
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Algorithme de flip
Une triangulation de segments quelconque de S
⇓
Modifications locales
⇓
Triangulation de Delaunay de segments de S
1
Comment vérifier efficacement si la triangulation de segments
courante est de Delaunay ?
2
Quelles sont les modifications locales à effectuer ?
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Légalité d’une arête
Exemple 1
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Légalité d’une arête
Exemple 1
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
Arête légale
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Légalité d’une arête
Exemple 1
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
Arête légale
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Légalité d’une arête
Exemple 1
Arête légale
Exemple 2
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Légalité d’une arête
Exemple 1
Arête légale
Exemple 2
Arête illégale
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Légalité d’une arête
Exemple 1
Arête légale
Exemple 2
Arête illégale
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Légalité d’une arête
Théorème
Une triangulation de segments dont toutes les
arêtes sont légales a la même topologie que la
triangulation de Delaunay de segments.
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Légalité d’une arête
Théorème
Une triangulation de segments dont toutes les
arêtes sont légales a la même topologie que la
triangulation de Delaunay de segments.
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Algorithme de flip
Une triangulation de segments quelconque de S
⇓
Modifications locales
⇓
Triangulation de Delaunay de segments de S
1
Comment vérifier efficacement si la triangulation de segments
courante est de Delaunay ?
2
Quelles sont les modifications locales à effectuer ?
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Modifications locales
Exemple 1
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Modifications locales
Exemple 1
Exemple 2
s
u
v
t
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Exemple
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Exemple
s
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t
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Exemple
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Exemple
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Exemple
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Exemple
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Exemple
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Exemple
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Exemple
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Exemple
M. Brévilliers (GIPSA-lab)
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Exemple
Théorème
L’algorithme de flip calcule la triangulation de Delaunay
de segments en un nombre fini d’étapes locales.
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Conclusion
Algorithme de flip pour les triangulations de segments,
Efficacité de l’algorithme,
Optimalité de la triangulation de Delaunay de segments,
Sites plus généraux,
Généralisation en 3D.
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