Interférences entre deux ondes cohérentes

Optique 4 - Interf´erences page 1/8
Interf´erences entre deux ondes
coh´erentes
Table des mati`eres
1 Mod`ele scalaire de l’onde lumineuse 1
1.1 L’onde lumineuse scalaire .................... 1
1.2 Diff´erence de phase ........................ 2
1.3 Surface ´equiphase ......................... 2
1.4 Source secondaire ......................... 3
1.5 Intensit´e lumineuse ........................ 3
2 Exp´erience des trous d’Young 4
2.1 Description du dispositif ..................... 4
2.2 Onde en un point de l’´ecran ................... 5
2.3 Intensit´e en un point de l’´ecran ................. 5
2.4 Figure d’interf´erence ....................... 7
3 Exp´erience des fentes d’Young 8
1 Mod`ele scalaire de l’onde lumineuse
1.1 L’onde lumineuse scalaire
Dans le cas tr`es fr´equent d’ondes ´electromagn´etiques non polaris´ees dont
les directions de propagation sont voisines, le mod`ele scalaire de l’onde lumi-
neuse convient. A une onde lumineuse plane progressive monochromatique
de vecteur d’onde −→ k=n2π
λ
−→
u, o`u nest l’indice de r´efraction du milieu, on
associe alors une onde scalaire ou signal lumineux en M`a l’instant tqui
s’´ecrit :
s(M, t) = s0cos ωt −−→ k .−−→ OM +ϕ0
o`u s0est l’amplitude de l’onde et ϕ(M, t) = ωt −−→ k .−−→ OM +ϕ0est sa phase.
On utilise aussi la notation complexe :
s(M, t) = s0ej(ωt−
−→
k .
−−→
OM )
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O`u s0=s0ejϕ0est l’amplitude complexe de l’onde et s(M, t) = ℜ(s(M, t)).
1.2 Diff´erence de phase
Sch´ema :
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L’onde lumineuse en As’´ecrit :
s(A, t) = s0ej(ωt−
−→
k .
−→
OA)
L’onde lumineuse en Mpeut se mettre sous la forme :
s(M, t) = s0ej(ωt−
−→
k .
−−→
OM )=s0ej(ωt−
−→
k .(−→
OA+−−→ AM)) =s(A, t) e −j
−→
k .
−−→
AM
A tout instant, la diff´erence de phase de l’onde entre les points Aet M,
not´ee ϕA→Mvaut :
ϕA→M=−−→ k .−−→ AM =−n2π
λAM
On appelle nAM le chemin optique entre les points Aet M.
1.3 Surface ´equiphase
D´efinition : Une surface ´equiphase est une surface, telle que l’onde est la
mˆeme en tous les points de cette surface `a un instant tdonn´e.
Propri´et´e :Pour une onde scalaire plane progressive monochroma-
tique,les surfaces ´equiphases sont des plans perpendiculaires `a la
direction de propagation.
D´emonstration :
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1.4 Source secondaire
Exp´erience de cours : Diffraction des ondes `a la surface de l’eau, analogie
avec les ondes ´electromagn´etiques 1
Sch´ema :
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Un trou Psur lequel arrive une onde plane d’amplitude complexe si(P, t),
va se comporter comme une source dite secondaire, qui va ´emettre une onde
sph´erique qui pourra ˆetre consid´er´ee comme plane `a une grande distance du
trou. L’amplitude complexe de l’onde en Ms’´ecrit alors :
s(M, t) = si(P, t) e −j
−→
k .
−−→
P M
1.5 Intensit´e lumineuse
D´efinition : L’intensit´e lumineuse en M(encore appel´ee ´eclairement),
not´ee I(M), est proportionnelle `a l’amplitude de l’onde lumineuse ´elev´ee au
carr´e.
1. http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/charrier/tp/interferences/yani.gif
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On peut alors aussi ´ecrire :
I(M) = Ks2
0= 2Ks(M, t)2=Ks(M, t).s∗(M, t) = K|s(M, t)|2
D´emonstration :
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Deux ondes qui arrivent en Ms’additionnent mais l’intensit´e lumineuse qui
en r´esulte n’est alors pas forc´ement la somme des intensit´es de chaque onde
prise s´epar´ement, cela donne lieu `a un ph´enom`ene d’interf´erences comme
nous allons le voir au paragraphe suivant.
2 Exp´erience des trous d’Young
2.1 Description du dispositif
On r´ealise, dans l’air, l’exp´erience des trous d’Young `a l’aide du dispositif
d´ecrit et sch´ematis´e ci-dessous. Un laser, de longueur d’onde λ, ´emet un fais-
ceau lumineux cylindrique d’axe (Oz). On suppose que le faisceau du laser
´eclaire enti`erement et de mani`ere uniforme les diff´erentes ouvertures qui sont
plac´ees sur son passage.
Une plaque opaque (P), perc´ee de deux trous circulaires S1et S2de mˆeme
taille et de faibles dimensions, est plac´ee perpendiculairement `a l’axe (Oz).
On note O′le milieu du segment [S1S2]. Le point O′appartient `a l’axe (Oz).
La distance entre les centres des deux trous S1et S2est not´ee a.
Le ph´enom`ene d’interf´erences est observ´e sur un ´ecran (E) plac´e perpendicu-
lairement `a l’axe (Oz). L’origine Ode l’axe (Oz) est pris sur l’´ecran (E). La
distance entre la plaque (P) et l’´ecran (E) est ´egale `a D. On a ainsi D=O′O.
L’indice de r´efraction de l’air sera pris ´egal `a 1.
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2.2 Onde en un point de l’´ecran
L’onde plane ´emise par le laser a pour expression en S1:s(S1, t) = s0ej(ωt−
−→
ki.
−−→
OS1)
L’onde plane ´emise par le laser a pour expression en S2:s(S2, t) = s0ej(ωt−
−→
ki.
−−→
OS2)
On peut remarquer que : −−→ ki.−−→ OS1=−−→ ki.−−→ OS2=−−→ ki.−−→ OO′=2π
λDon notera
ϕicette valeur.
L’onde incidente s’´ecrit donc en S1et S2:
s(S2, t) = s(S1, t) = s0ej(ωt+ϕi)=si(t)
En Ml’onde plane issue de S1s’´ecrit :
s1(M, t) = s(S1, t) e −j
−→
k1.
−−−→
S1M=si(t) e−j2π
λS1M
En Ml’onde plane issue de S2s’´ecrit :
s2(M, t) = s(S2, t) e −j
−→
k2.
−−−→
S2M=si(t) e−j2π
λS2M
En Ml’onde totale s’´ecrit donc :
s(M, t) = s1(M, t) + s2(M, t) = si(t)e−j2π
λS1M+ e−j2π λS2M
2.3 Intensit´e en un point de l’´ecran
En reprenant l’expression pr´ec´edente de l’onde totale en Met en appli-
quant la d´efinition de l’intensit´e lumineuse en M, on en d´eduit :
I(M) = K|s(M, t)|=Ks2
02 + 2 cos 2π
λ(S2M−S1M)
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