Devoir surveillé N˚2

ELBILIAPREPAS
PCSI
Devoir surveillé N˚2
Date : Le 27/11/2012
Durée : 4 heures
I IL faut attacher la plus grande importance à la clarté, à la précision et la concision de la rédaction.
I Toute application numérique non suivie d’une unité correcte ne donnera pas lieu à attribution de
points.
I IL est important de noter les références de la question abordée.
I Si,au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,il est invité à le
signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura
été amené à prendre.
I La calculatrice est autorisée.
I On vérifiera systématiquement l’homogénéité des résultats obtenus à la fin de chaque question pour
éviter les erreurs en chaîne.
Partie A : Régime transitoire
Exercice 1 : Charge et décharge d’un condensateur
On considère le montage de la Figure suivante, comprenant une résistance R, un condensateur de
capacité C et une alimentation stabilisée de tension à vide E.
1. On place l’interrupteur K en position (1), le condensateur étant initialement déchargé.
1.1. Établir l’équation différentielle vériffiée par la tension aux bornes du condensateur u(t).
1.2. Calculer le temps t1 pour que u(t1 ) = 0, 99E.
Données numériques : E =10 V ,R = 10M Ω et C = 10µF .
2. Le condensateur étant chargé, l’interrupteur K est basculé sur la position (2) à l’instant t =0 (instant pris comme origine des temps)
2.1 Exprimer la tension u aux bornes du condensateur en fonction de E, R, C et t.
2.2 En déduire que la courbe représentant les variations de ln( Eu ) en fonction du temps est une
droite dont on exprimera le coefficient directeur en fonction de R et C.
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3. On branche un voltmètre numérique aux bornes du condensateur et on étudie la décharge du
condensateur à partir de l’instant de date t =0 où l’on place l’interrupteur en position (2).On
relève les valeurs de u(t) à différentes dates :
t(s)
5
10
15
20
30
45
60
90
120 150
u(V) 9,05 8,19 7,41 6,70 5,49 4,07 3,01 1,65 0,91 0,5
3.1. Tracer le graphe de ln( Eu ) en fonction de t.
3.2. Montrer que les résultats sont en accord avec la théorie à condition de considérer que le
condensateur se décharge aussi dans le voltmètre modélisé par une résistance de valeur R’ que
l’on calculera.
4. On considère le montage de la Figure suivante avec le voltmètre placé aux bornes du condensateur ; le voltmètre est modélisé par une résistance R’ ; à l’instant de date t=0,on place l’interrupteur
K en position (1),le condensateur étant déchargé.
4.1 Montrer que l’équation différentielle vérifiée par u’ est :
du′
1
+ ′ u′ = AE
dt
τ
Donner les expressions des constantes τ ′ et A.
4.2 Etablir l’expression de u’(t).
Exercice 2 : Régimes transitoires d’un circuit RL
Une bobine d’inductance L et de résistance r est placée dans le montage ci-dessous.
1. L’interrupteur K est basculé en position (1) à l’instant t =0.
1.1 Déterminer le courant i1 (t) circulant dans la bobine,en faisant intervenir le paramètre τ =
L
R′ +r
1.2 Quelle est la valeur de i1 (t) pour t1 = 5τ .Commenter le résultat.
Données numériques : E=12V , R′ = r = 10Ω, L=40 mH.
2. À l’instant t1 , on bascule l’interrupteur K en position (2).
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2.1 Quelle est l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine à l’instant t1 ?
2.2 Déterminer l’expression du courant i2 (t) circulant dans la bobine quand K est en position (2)
pour t > t1 .
2.3 Calculer à partir d’un bilan énergétique l’énergie WJ dissipée par effet Joule lorsque t varie
entre t1 et t2 = 2t1
Exercice 3 : Circuit RLC série [Concours ENSTIM 2005]
Un circuit électrique est composé d’une résistance R, d’une bobine d’inductance pure L et d’un condensateur de capacité C. Ces dipôles sont disposés en série et on soumet le circuit à un échelon de tension
U(t) de {
hauteur E telque :
0 pourt < 0
U (t) =
E pourt ≥ 0
Les choix du sens du courant i dans le circuit et de la plaque portant la charge q du condensateur sont
données sur la figure ci-dessus.
R
1
On pose γ = 2L
et ω0 = √LC
1. Expliquer simplement pour quoi à t = 0− , la charge q et le courant i sont nuls.
2. Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur pour t > 0. Préciser, en
les justifiant soigneusement, les valeurs initiales de la charge q(0+ ) et de sa dérivée dq
(0+ )
dt
Le circuit présente différents régimes suivant les valeurs de R, L et C.
On suppose, dans la suite,la condition ω0 > γ réalisée.
3. Montrer que l’expression de la charge pour t > 0 peut se mettre sous la forme :
q(t) = (A cos ωt + B sin ωt)e−γt + D
où on déterminera ω, A, B et D en fonctionde C, E, ω0 et γ.
4. Exprimer le courant i(t) dans le circuit pour t > 0 en fonction de C, E, ω0 , ω et γ.
5. Donner l’allure des courbes q(t) et i(t).
Quelles sont leurs valeurs à la fin du régime transitoire ?
Justifier par des considérations simples ces valeurs atteintes.
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6. Déterminer l’énergie totale EG fournie par le générateur ainsi que l’énergie ELC emmagasinée
dans la bobine et le condensateur à la fin du régime transitoire en fonction de C et E. En déduire
l’énergie EJ dissipée par effet Joule dans la résistance. Ces résultats dépendent-ils du régime particulier dans lequel se trouve le circuit ?
Interpréter le résultat paradoxal qui apparaît dans le cas limite R → 0
Partie B : Régime sinusoidal forcé
Exercice 4 : Questions en relation directe de cours
Soit le dipôle (D) soumis à une tension sinusoidale v(t) de pulsation ω (voir le schéma ) :
1. Rappeler l’expression de l’impédance Z R d’une résistance R
2. Rappeler l’expression de l’impédance Z L d’une inductance L
3. Rappeler l’expression de l’impédance Z C d’un condensateur de capacité C.
4. Dans le cas où (D) est une impédance Z. Donner l’expression du module |Z| et l’argument arg(Z)
en fonction des amplitudes maximales Vm et Im et les phases φi et φv
Exercice 5 : Circuit RLC série
Le circuit est alimenté par une tension sinsoidale de fréquence f=50Hz et d’amplitude Em = 311V avec
e(t) = Em cos(ωt) et i(t) = Im cos(ωt + φi ).
On donne : R = 40Ω , L=0,2H et C = 5µF
1. Exprimer l’amplitude complexe I du courant i(t). En déduire l’amplitude I et la phase φi de l’intensité i(t).
2. Exprimer les amplitudes complexes U R ,U L et U C des tensions aux bornes de chacun des dipôles.
En déduire les amplitudes et les phases à l’origine de ces tensions
√
1
3. Calculer le facteur de qualité : Q = R CL .
FIN DE L’EPREUVE
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