Mécanique des Fluides. MI3 Examen : 13 Décembre 2016

Polytech’Montpellier MI3 Mécanique des Fluides. MI3 Examen : 13 Décembre 2016 Exercice 3 : Nombre de Reynolds (3 pts). CORRECTION La viscosité du sang est environ 4 fois plus grande que celle de l’eau. On considèrera sa masse
volumique égale à celle de l’eau. On souhaite calculer le nombre de Reynolds dans plusieurs vaisseaux
du corps humain. On fournit pour cela le diamètre et la vitesse caractéristiques pour trois types de
vaisseaux :
Veinule
Artériole
Aorte
Vitesse caractéristique
2 mm/s
20 mm/s
20 cm/s
Diamètre typique
20 µm
160 µm
2 cm
0.01
0.8
1000
Nombre de Reynolds
1) Calculer le nombre de Reynolds dans ces trois vaisseaux.
Le nombre de Reynolds s’écrit Re=UD/ν, avec U la vitesse caractéristique, D le diamètre du vaisseau
et ν la viscosité cinématique du sang.
D’après l’énoncé, celle-ci vaut 4 fois celle de l’eau, soit ν = 4 10-6 m2.s-1.
Les résultats sont donc reportés dans le tableau.
Commentaire : le nombre de résultats faux dus à des mauvaises multiplications de puissances de 10
est effarant. D’après mes recherches, il s’agit du programme de 4e. C’est franchement inquiétant.
2) Le nombre de Reynolds caractérise une compétition entre convection et diffusion. Dans chacun
des vaisseaux considérés, l’un de ces modes de transport domine-t-il ?
Le cours dit : Si Re >> 1, la convection domine. Si Re << 1, la diffusion domine. Attention, on n’a pas
écrit Re>1 ou Re <1, mais bien Re>>1 !!!
Ici, la convection domine dans le cas de l’aorte, la diffusion dans le cas de la veinule, mais pour
l’artériole, aucun des mécanismes ne peut être considéré comme dominant. Au contraire, ils sont de la
même importance puisque Re est proche de 1.
Si l’on souhaitait résoudre l’écoulement dans chacun de ces vaisseaux (séparément), il faudrait
sélectionner un modèle de mouvement des fluides.
3) Peut-on utiliser un modèle de fluide incompressible ou les effets de compressibilité vous
semblent-ils importants ?
Les effets de compressibilité peuvent être négligés dans les liquides, de façon générale. Attention, je
parle de compressibilité du fluide. Les parois, elles, peuvent se dilater éventuellement. Les effets de
compressibilité pourraient intervenir dans un fluide dans le cas où le nombre de Mach est non
négligeable, typiquement Ma> 0.3, ce qui ferait pour de l’eau (et du sang) des vitesse de l’ordre de
400 m/s…
4) L’hypothèse de fluide parfait est-elle bonne pour certains vaisseaux ? Peut-on négliger les
effets inertiels dans certains vaisseaux ?
Polytech’Montpellier MI3 Si l’on considère le fluide comme « parfait », on néglige TOUS les effets de la viscosité. L’hypothèse
de fluide parfait ne peut être bonne que si Re >> 1. Mais cela n’est pas suffisant. Dès que l’on a un
fluide visqueux, il y a adhérence du fluide à la paroi. Faire une hypothèse de fluide visqueux c’est
négliger cette adhérence et considérer que le sang glisse sur la paroi. On n’a vu qu’en vrai, ce n’est
pas le cas, et que quel que soit le nombre de Reynolds, il existe une zone de l’écoulement dominé par
la viscosité (qui est d’autant plus petite que Re est grand) : c’est la couche limite. L’hypothèse de
fluide parfait revient à négliger l’existence de la couche limite. Ceci n’est fait que dans des cas très
particuliers, comme en aérodynamique externe pour calculer des portances autour de profils d’aile
par exemple.
Résumons : l’hypothèse de fluide parfait serait évidemment catastrophique pour les veinules et
artérioles, où la diffusion est importante, voire domine. Cette hypothèse pourrait éventuellement être
utilisée pour regarder l’écoulement loin des parois dans l’aorte, mais l’intérêt est très limité, car
l’écoulement près des parois est d’un intérêt majeur pour les écoulements sanguins.
Conclusion : l’hypothèse de fluide parfait n’est pertinente dans aucun cas
Peut-on négliger les effets inertiels, c’est-à-dire convectifs ? Oui, mais uniquement si Re << 1, comme
dans les veinules.