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Exercice 7:
Le schéma simplifié d'un canon est montré sur la figure 7. Quand le canon tire un boulet, des gaz
de haute pression accélèrent le projectile à l'intérieur d'un baril à une vitesse très élevée. La force
de réaction qui en résulte pousse le baril dans la direction opposée du projectile. Puisqu'il est
désirable de ramener le baril dans la position fixe dans le temps le plus court sans oscillations, on
utilise l'amortissement critique d'un système masse-ressort-amortisseur qu'on appelle le
mécanisme de rappel. La distance maximum de rappel du canon est spécifiée comme étant 0,5m.
Si la vitesse initiale de rappel est 10 m/s et la masse du canon est 500kg.
Trouver la constante de raideur du mécanisme de rappel ?
Figure 7
Le mécanisme de rappel est un système masse-ressort-amortisseur l’équation de
mouvement d’un tel système est:
𝑥𝑥̈ + 2𝛿𝛿𝛿𝛿 + 𝜔𝜔02 𝑥𝑥 = 0
Cette équation possède trois solution correspondant à trois régimes à savoir : surcrétique
(apériodique) , regime critique et régime pseudo-périodique (oscillatoire). Comme le le
𝑘𝑘
𝑚𝑚
régime utilisé est le régime critique nous avons 𝛿𝛿 = 𝜔𝜔0 = �
La solution est de la forme suivante :
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = (𝑐𝑐1 + 𝑐𝑐2 𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝛿𝛿𝑡𝑡
𝑑𝑑 ′ 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑐𝑐1 = 0 ,
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥(0) = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥̇ (0) = 10𝑚𝑚/𝑠𝑠
𝑐𝑐2 = 10 → 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 10𝑡𝑡𝑒𝑒 − 𝛿𝛿𝑡𝑡
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0.5 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥̇ (𝑡𝑡) = 0 → 10 − 10𝛿𝛿𝑡𝑡 = 0 → 𝑡𝑡 =
0,5 = 10
1
1
=
𝛿𝛿 𝜔𝜔0
1 −𝜔𝜔𝛿𝛿
10 𝑚𝑚
100𝑚𝑚
� → 𝑘𝑘 =
𝑒𝑒 0 → 0,5 =
→ 𝑘𝑘 = 27067 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑠𝑠 2
𝜔𝜔0
𝑒𝑒 𝑘𝑘
0,25 ∗ 𝑒𝑒 2