Thèse pour obtenir le grade de Docteur en Science de l`Université

N°ORDRE : 40329
Université des Sciences et Technologies de Lille 1,
Ecole Doctorale régionale Sciences Pour l’Ingénieur
Lille Nord-de-France
Thèse pour obtenir le grade de
Docteur en Science de l’Université Lille 1
présentée par Saja BORGHOL
le 15 septembre 2010
Discipline : Mathématiques Appliquées
Modélisation mathématique
de la charge de surface des satellites
en orbite basse
Codirecteurs de thèse : Christophe BESSE et Thierry GOUDON
Membres du Jury
Christophe BESSE Professeur Université Lille 1
Stéphane CORDIER Professeur Université Orléans Rapporteur
Jean-Paul DUDON Ingénieur Recherche Thalès Alénia Space
Thierry GOUDON Directeur de Recherches à l’INRIA Université Lille 1
Claudia NEGULESCU Maître de Conférences Université Aix-Marseille 1
Serge PIPERNO Professeur ENPC Paris Rapporteur

Résumé
On s’intéresse dans ce travail à la modélisation et la simulation numérique des phéno-
mènes de charge auxquels sont sujets les satellites évoluant dans les orbites basses LEO
(Low Earth Orbit) et polaires PEO (Polar Earth Orbit). Cette thèse fait suite à des
études consacrées spécifiquement à l’environnement géostationnaire. Suivant l’orbite, les
caractéristiques du plasma environnant changent et des modèles différents peuvent être
exploités afin de décrire les interactions entre les particules chargées et les surfaces de
l’engin spatial. Une bonne description de ces interactions est nécessaire afin de prévenir
les phénomènes de charge électrique qui peuvent provoquer la perte de la mission. Les
descriptions les plus complètes sont basées sur des équations de Vlasov-Botzmann ou
Vlasov-Fokker-Planck couplées aux équations de Maxwell. Le phénomène de charge est
intimement lié aux conditions imposées sur les surfaces du satellite ; ces conditions non
standards où interviennent des dérivées en temps du champ électrique font l’originalité
de ces modèles.
Une analyse dimensionnelle des équations permet de dériver des hiérarchies de modèles
et d’adopter certaines simplifications suivant les caractéristiques physiques du plasma.
Dans le cas de l’orbite PEO, comme pour l’orbite GEO, une approche cinétique est pro-
posée vu que le plasma n’est pas très collisionnel à ces altitudes. Le modèle est constitué
de l’équation de Vlasov pour décrire l’évolution des particules, couplée à l’équation de
Poisson pour le potentiel électrostatique. Par contre, on suppose que le plasma LEO est
collisionnel et un modèle bifluide est proposé. Il est constitué des équations d’Euler pour
la conservation de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie et de l’équation
de Poisson pour le potentiel électrostatique. En fait, il est pertinent de considérer des
versions stationnaires de ces équations, mais où la variable de temps intervient toujours
via les termes de bord. Outre la dérivation des ces hiérarchies de modèles, on aborde plus
précisément l’étude, au moins dans des situations simplifiées, de certaines propriétés ma-
thématiques des modèles hydrodynamiques LEO et on propose des schémas numériques,
basés sur des méthodes volumes finis et des stratégies de splitting, pour en permettre la
simulation. En particulier, on introduit une définition des flux numériques pour l’hydro-
dynamique prenant en compte la formation de couche de Knudsen.

Abstract
This work is devoted to the modeling and numerical simulations of the charging pheno-
mena that spacecrafts evolving in LEO (Low Earth Orbit) and PEO (Polar Earth Orbit)
atmospheres are subject to. The thesis follows studies concerned more specifically to the
geostationary environment. Depending on the orbit, the characteristics of the surrounding
plasma are changing and different models can be used to describe the interactions bet-
ween the charged particles and the surfaces of the spacecraft. An accurate description of
these interactions is necessary in order to prevent the electrical charge that might cause
the loss of the mission. The most precise descriptions are based on Vlasov-Botzmann or
Vlasov-Fokker-Planck equations coupled to the Maxwell system. The charge phenomena
is intimately related to the boundary conditions imposed on the surfaces of the space-
craft : the boundary conditions involve time derivative of the electric field which makes
the originality of the model.
The dimension analysis of the equations leads to derive a hierarchy of models and
allows to adopt several simplifications according to the physical characteristics of the
plasma. For the PEO orbit, like for GEO, a kinetic approach has been proposed since the
plasma is non collisional. It consists of the Vlasov equation for describing the particles,
coupled to the Poisson equation for the electrostatic potential. By contrast, we assume
that collisional effects are important for the LEO which leads to introduce a two-fluid
model. It consists of the Euler equations for the conservation of mass, momentum, energy
and the Poisson equation for the electrostatic potential. In fact, it is relevant to deal
with stationary version of these equations, while the time variable still arises through the
boundary terms. Beyond the derivation of hierarchies of models, we are more specifically
interested in exhibiting, at least in simplified frameworks, some remarkable mathematical
properties of the LEO hydrodynamic systems. We also design numerical schemes, based
on finite volume methods and splitting strategies, to simulate the models. In particular
we introduce a suitable definition of numerical fluxes for hydrodynamics that is intended
to take into account the possible formation of Knudsen layers.