vitesse mécanique système

Volume 48, Number 1, 2007
3
Commande Non Linéaire d’une
Machine Asynchrone sans Capteur
Mécanique avec Observateur du Flux
Rotorique par Mode Glissant
Abdelrahim BENTAALLAH, Abdelkader MEROUFEL,
Ahmed MASSOUM, Abdelber BENDAOUD et Karim MEDLES
Résumé — Cet article présente le concept général de la commande non linéaire de la machine
asynchrone avec observateur par mode glissant de flux rotorique et estimateur de vitesse. Le découplage
entre le flux et la vitesse est réalisé par la technique de linéarisation entrée/sortie. Le flux rotorique est
estimé par observateur par mode glissant et mis en contre réaction pour la régulation. Le capteur
mécanique est remplacé par un estimateur de vitesse puis introduit dans la boucle de régulation.
Plusieurs essais de simulation sous Simulink/Matlab sont effectués en vue de mettre en évidence les
performances du système de commande.
Mots clés — Commande non linéaire, linéarisation, observateur, mode glissant.
1. Introduction
Les observateurs non linéaires ne sont
pas très développés devant les observateurs
linéaires. Cependant, les chercheurs s’étaient
intéressés à développer des observateurs pour
les systèmes ayant une non linéarité régulière
comme le système des flux rotorique et
statorique au sein de la machine asynchrone
[1,2,3]
Grâce aux propriétés importantes des
systèmes à structure variable, les chercheurs
ont pensé aux observateurs basés sur
l’approche du mode de glissement. Ces
observateurs ont la même structure que les
observateurs classiques [6,7,8].
La différence réside dans la contre
réaction qui dépend d’une fonction ‘sign’.
Dans cet article, on a opté pour
l’observateur de flux à mode glissant, qui
présente une contre réaction robuste. D’autre
part, pour une simplicité de commande non
linéaire avec observateur du flux à mode
glissant, on a préféré l’utilisation d’un
estimateur de vitesse en vue d’éliminer le
capteur
mécanique
et
de
réduire
l’encombrement de la machine. Cette
structure de commande non linéaire
simplifiée, présente de bonnes performances
avec les régulateurs classiques.
2. Modèle non linéaire de la MAS
alimentée en tension
Le modèle de la machine dans le
référentiel d-q choisi de telle manière que le
flux rotorique possède une composante nulle
selon l’axe q est donné par les équations
d’états suivantes :
(1)
X = F ( X ) + G .U
Avec :
X = ( ids iqs Φ ds Φ qs )T = ( x1 x 2 x3 x4 ) (2)
F ( x ) = ( f1( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), f 4 ( x ), )t (3)
4
ACTA ELECTROTEHNICA
f1( x) = −(
M2 Rr
1 M
M x22
1
).
x
R
.
x
Rr +x2x4 +
.uds
+
+
1
r
3
2
2
Lr x3
σ.Ls Lr σ.Ls
σ.LS Lr
σ.Ls
Rs
+
M2 R
M
M xx
1
f2( x) = −(
x3.x4 − Rr 1 2 +x1x4 +
.uqs
+ 2 r ).x2 −
Lr
x3
σ.Ls Lr σ.Ls
σ.LS Lr
σ.Ls
Rs
f3( x) =
Rr
R
M.x1 − r .x3
Lr
Lr
f4( x) =
C
1M
.x2x3 − r
J Lr
J
L 2f h 1 ( x ) =
Rr
(Mf 1 ( x ) − f 2 ( x ))
Lr
(10)
M
(x 3 f 2 ( x ) + x 2 f 3 ( x ) )
L h2 ( x ) =
JL r
2
f
Le choix de ces sorties aboutit à une
linéarisation complète d’ordre 4 (r1+r2=n= 4)
avec n : ordre du système.
(4)
Où :
Le changement de coordonnées non
linéaire nécessaire est donné par le système
d’équations suivant [3,4,5].
z 1 = h1 ( x ) = x 3
M2
2
Rs Rr M
σ =1−
; λ=
;
Ls .Lr
σ .Ls σ .Ls .L2r
g1( x ) = [1 σ .Ls 0 0 0 ]
t
g 2 ( x ) = [0 1 σ .Ls 0 0 ]
(5)
U = ( U sd
(6)
t
U sq )t
2.1.Choix des sorties
Le choix des sorties est lié aux objectifs de
commande, on choisit comme sortie x3
(composante du flux rotorique selon l’axe d)
et x4 (la vitesse) [4,5] ; on pose :
⎡ h ( x )⎤ ⎡ x 3 ⎤
Y( x ) = ⎢ 1
⎥=⎢ ⎥
⎣h2 ( x )⎦ ⎣ x 4 ⎦
2.3. Transformation difféomorphisme
z 2 = L f h1 ( x ) = f 3 ( x )
(11)
z 3 = h2 ( x ) = x 4
z 4 = L f h2 ( x ) = f 4 ( x )
L’application du changement de
variables (11) au système d’équations (4)
aboutit à l’écriture suivante :
z1 = z 2
z 2 = L2f h1 ( x ) + L g L f h1 ( x )u 1 = v 1
z3 = z4
(7)
(12)
z 4 = L2f h2 ( x ) + L g L f h2 ( x )u 2 = v 2
2.2.Linéarisation entrée/sortie
2.4. Loi de commande non linéaire
La condition permettant de vérifier si le
système non linéaire admet une linéarisation
E/S est la détermination du degré relatif.
a) Degré relatif à la sortie Y1( x )
Pour avoir une linéarisation E/S
complète d’ordre 4 en boucle fermée, il faut
appliquer le retour d’état non linéaire, à
condition que Φ r ( 0 ) ≠ 0 :
Y1( x ) = h1( x ) = L f .h1( x )
Y1( x ) = h1( x ) = L h1( x ) + Lg L f h1( x ).u
2
f
b) Degré relatif à la sortie Y2 ( x )
Y2 ( x ) = h2 ( x ) = L2f .h2 ( x ) + Lg .L f h2 ( x ).u
Le degré relatif associé à Y2 ( x ) est r2=2
Avec :
]
v2 ) − A( x )
t
(13)
Où
Le degré relatif associé à Y1 ( x ) est r1=2
Y2 ( x ) = h2 ( x ) = L f .h2 ( x )
[
U = D − 1 ( x ) (v1
(8)
(9)
⎤
⎡ MRr
0 ⎥
⎢σL L
⎥
D( x ) = ⎢ s r
Mx 3 ⎥
⎢
⎢ 0
JσL s Lr ⎥⎦
⎣
est la matrice de découplage, avec :
⎡ L2f h1 ( x )⎤
A( x ) = ⎢ 2
⎥
⎢⎣ L f h2 ( x )⎥⎦
(14)
(15)
Volume 48, Number 1, 2007
L’application de la loi (13) au système
d’équation (12) aboutit au modèle linéaire
(16) schématisé par la figure 1.
z1 = z 2
z 2 = v1
z3 = z4
(16)
z 4 = v2
1
1
z4 =
v2 = z
1
z1 = x
z3 = x
4. Structure générale d’un observateur
par mode glissant
Considérons le système non linéaire
suivant :
(20)
x = f ( x, u , t )
Si le système est observable, l’objectif
de l’observateur est de donner la meilleure
estimation des variables d’état à partir des
mesures sur la sortie y et sur l’entrée u.
Nous définissons l’observateur par la
structure suivante [8,9] :
1
Fig. 1. Système découplé et linéaire.
3. Commande par imposition de
trajectoire
xˆ = f ( xˆ, y, u, t ) + Λ u s
Pour poursuivre des trajectoires de
référence du flux ( Z1ref) et de vitesse ( Z3ref)
avec une certaine dynamique, on impose au
système linéarisé des pôles stables répondant
aux performances désirées (polynôme
d’Hurwitz). Les entrées v1, v2 peuvent être
calculées de la façon suivante :
v1 = k11 (z1ref − z1 ) + k12 (z1 − z ref ) + z1ref
(17)
v2 = k 21 (z3ref − z 2 ) + k 22 (z3ref − z3 ) + z 3ref
Les équations d’erreur de poursuite
deviennent :
e1 + k 12 e1 + k 11 e1 = 0
(18)
e2 + k 22 e2 + k 21 e2 = 0
Avec : e1 = z1ref − z1
e 2 = z 3 ref − z 3
Les coefficients Kij (i = 1,2 ; j = 1,2)
sont choisis de manière à satisfaire le
polynôme d’Hurwitz.
k 11 + k 12 s + s 2 = 0
k 21 + k 22 .s + s 2 = 0
un observateur en vue de le contrôler par un
régulateur classique.
Considérons aussi le vecteur y des
variables mesurables qui sont reliées
linéairement avec les variables d’état ; [6,7,8]
y = Cx
(21)
z2 =
v1 = z
5
(19)
Comme le flux est difficilement
accessible, il est préférable de l’estimer par
(22)
Avec :
x̂ est de même dimension que x(n)
f̂ est le modèle d’estimation
Λ est la matrice des gains de dimension
n×r (r est la dimension de u)
u s est un vecteur définit par :
u s = [sign( s1 ) sign( s 2 ) … sign( s r )] (23)
t
[s
Γ
s 2 … s r ] = S = Γ [ y − C x̂ ]
t
(24)
est une matrice carrée (r x r) à
déterminer.
Nous définissons aussi le vecteur
d’erreur e = x − xˆ en soustrayant les
équations (21) et (19), ensuite nous
obtenons :
(25)
e = Δf − Λ u s
Avec
Δf = f ( x ,u ,t ) − f ( x̂ , y ,u ,t )
Le vecteur surface S=0 est attractif, si :
S i S i < 0 pour i= 1, r
(26)
Durant le mode de glissement, le terme
de commutation (22) est nul. Car le vecteur
surface et sa dérivée sont nuls ( S ≡ S ≡ 0 ).
6
ACTA ELECTROTEHNICA
La grandeur équivalente du terme de
commutation est donnée comme suit :
Γ C (Δ f − Λ u~s ) = 0
(27)
Donc, on peut écrire :
u~ = (Γ C Λ ) −1 Γ C Δ f
s
(28)
La matrice Γ C Λ doit être inversible.
Cela constitue la première exigence sur le
choix de Λ et Γ . La dynamique de l’erreur
est gouvernée par l’équation (29).
e = ( I − Λ (Γ CΛ)−1 Γ C )Δ f
(29)
Le choix des matrices Γ et Λ et le
modèle f̂ est donc décisif pour assurer la
convergence de l’erreur vers zéro.
1
1
⎧
⎪ids = −λ ids + ωs iqs + k T Φ dr + kωr Φ qr + σ L vds
r
s
⎪
1
1
⎪
⎪iqs = −ωs ids − λ iqs − ωr Φ dr k + k T Φ qr + σ L vqs
⎪
r
s
⎨
1
M
⎪Φ = i − Φ + ω Φ
sl
qr
⎪ dr Tr ds Tr dr
⎪
⎪Φ = M i − ω Φ − 1 Φ
sl
dr
qr
⎪⎩ qr Tr qs
Tr
(31)
Le modèle de l’observateur est :
1 ˆ
1
⎧ˆ
1
ˆ
⎪ids = −λ ids + ωs iqs + k T Φ dr + kωr Φ qr + σ L vds + Λ 1 us
r
s
⎪
1 ˆ
1
⎪ˆ
2
ˆ
⎪iqs = −ωs ids − λ iqs − ωr Φ dr k + k T Φ qr + σ L vqs + Λ 1 us
⎪
r
s
⎨
⎪Φ
ˆ =Mi −1Φ
ˆ +ω Φ
ˆ + Λ1 u
sl
qr
2 s
⎪ dr Tr ds Tr dr
⎪
⎪Φ
ˆ = M i −ω Φ
ˆ −1Φ
ˆ + Λ2 u
sl
dr
qr
2 s
⎪⎩ qr Tr qs
Tr
(32)
Nous définissons la matrice des gains
comme suit :
Λij = [Λ1
Λ2 ] pour i = 1,2 et j = 1,2
Avec :
⎡ Λ11 ⎤
⎡Λ12 ⎤
Λ
=
,
⎢ 2⎥
2
2⎥
⎣Λ1 ⎦
⎣Λ2 ⎦
Pour avoir l’erreur d’observation, nous
soustrayons (31) de (32), ce qui donne :
Λ1 = ⎢
Fig. 2. Schéma de principe d’un observateur par
mode glissant. Mode de glissant.
5. Observateur par mode de glissement
(MG) du flux rotorique
L’objectif est d’estimer les composantes
du flux rotorique ( Φ dr ,Φ qr ) à base des
courants et des tensions statoriques qui sont
facilement mesurables.
Le vecteur sortie utilisé pour
l’estimation est donné par :
⎛1 0 0 0 0⎞
⎟⎟ x
y = C x = ⎜⎜
(30)
0
1
0
0
0
⎝
⎠
Considérons maintenant le système du
moteur asynchrone en tenant compte des
variables ids, iqs, Фdr, Фqr. ; les variables à
observer sont donc : îds ,îqs ,Φˆ dr ,Φˆ qr
Le système à observer est :
1
⎧
2
⎪ iqs = −ωr Φ dr k + k T Φ qr − Λ 1 us
r
⎪
1
⎪
1
⎪ ids = k T Φ dr + kωr Φ qr − Λ 1 us
⎪
r
⎨
⎪Φ = − 1 Φ + ω Φ − Λ1 u
2 s
dr
sl
qr
⎪ dr
Tr
⎪
⎪Φ = −ω Φ − 1 Φ − Λ 2 u
2 s
sl
dr
qr
⎪⎩ qr
Tr
(33)
Avec us = [sign( s1 ) sign( s2 )]
t
⎡s ⎤
et S = ⎢ 1 ⎥ = Γ ( y − ŷ ) .
⎣ s2 ⎦
Le vecteur d’erreur est : e = [I S Φ r ]
Posons les représentations matricielles
suivantes :
C = [0 1] ,
Volume 48, Number 1, 2007
⎤
⎡ 1
⎡ 1
kω r ⎥
⎢ kT
⎢− T
r
⎥ , A2 = ⎢ r
A1 = ⎢
1
⎢− ω
⎢− kω k ⎥
r
⎢⎣
⎢⎣ sl
Tr ⎥⎦
Le système (31) devient :
⎤
ω sl ⎥
⎥
1
− ⎥
Tr ⎥⎦
⎧⎪ I s = A1Φ r − Λ11 us
⎨
1
⎪⎩Φ = A2Φ r − Λ 2 us
La surface S = Γ ( y − ŷ ) = Γ y ,
(34)
d’où
S = Γ Is
(35)
La fonction de Lyapunov est : [9,10,11]
1
(36)
V = St S > 0
2
d’où la dérivée V ,
V = S t Γ Is
(37)
Notons que d Γ dt doit être nulle.
Après un calcul intermédiaire, nous
obtenons :
(38)
V = S t Γ A1Φ r − S t Γ Λ11 u s
⎡δ 1 0 ⎤
En posant Γ Λ1 = ⎢
⎥ , il suffit de
⎣ 0 δ2 ⎦
vérifier la condition (37) pour satisfaire la
condition d’attractivité des surfaces.
δ 1 S 1 + δ 2 S 2 > S t Γ A1Φ r
(39)
La détermination des gains se fait selon
deux étapes :
- La première consiste à satisfaire la
condition d’attractivité :
Λ1 = Γ
-
−1
⎡δ 1
⎢0
⎣
0⎤
δ 2 ⎥⎦
(40)
La deuxième consiste à imposer pour
l’erreur une dynamique de convergence
exponentielle.
Lorsque le régime de glissement est
établit ( I s = 0 et I s = 0 ), nous avons alors :
(41)
u~ = Λ−1 Λ Φ
s
Par
devient :
1
1
r
substitution,
l’erreur
sur
Φr
7
Φ r = −(− A2 + Λ2 Λ1−1 A1 )Φ r
(42)
Pour
que
l’erreur
converge
exponentiellement, nous devons poser :
Φ r = −QΦ r
(43)
0⎤
⎡q
Q=⎢ 1
⎥,
⎣ 0 q2 ⎦
constantes positives
D’où :
Avec
q1 ,
q2
sont des
0⎤
⎡δ
Λ2 = ( Q + A2 )Λ1−1Γ −1⎢ 1
⎥
⎣ 0 δ2 ⎦
(44)
Pour une raison de simplification, nous
posons :
Γ = Λ1−1
(45)
La condition dΓ dt = 0 est vérifiée en
considérant que la vitesse est suffisamment
lente devant la dynamique de l’observateur.
Ce qui en résulte :
⎡δ
Λ1 = A1 ⎢ 1
0⎤
δ 2 ⎥⎦
⎣0
(46)
⎡δ
Λ2 = ( Q − A2 )⎢ 1
0⎤
(47)
⎥
⎣ 0 δ2 ⎦
Par développement, nous obtenons :
Γ =
1
2
⎛ 1⎞
⎜⎜ k ⎟⎟ + (kωr )2
⎝ Tr ⎠
1
⎡
⎢δ 1 k T
r
Λ1 = ⎢
⎢δ kω
⎢⎣ 2 r
⎡ 1
⎢k T
⎢ r
⎢ kω
⎢⎣ r
⎤
− kωr ⎥
⎥ (48)
1 ⎥
k
Tr ⎥⎦
⎤
δ 1 kω r ⎥
⎥
1⎥
δ 2k
Tr ⎥⎦
⎡ ⎛
1
⎢δ 1 ⎜⎜ q −
Tr
Λ2 = ⎢ ⎝
⎢
⎢ − δ 2ωsl
⎣⎢
⎞
⎟⎟
⎠
(49)
⎤
⎥
⎥
⎛
1 ⎞⎥
δ 2 ⎜⎜ q2 − ⎟⎟⎥
Tr ⎠⎦⎥
⎝
δ 1ωsl
(50)
Ainsi, la condition d’attractivité devient
comme suit :
δ 1 S1 + δ 2 S 2 > S tΦ r
(51)
8
ACTA ELECTROTEHNICA
La dynamique de l’observateur doit être
plus rapide que celle du système à observer ;
cela exige un choix convenable des
constantes : δ1 , δ 2 , q1 , q 2 .
6. Estimateur de la vitesse rotorique
Les équations d’état de la machine
asynchrone exprimée dans un espace
vectoriel sont [12]:
dis
= a11 .is + a12 .Φ r + B1 .vs
dt
dΦ r
= a21 .is + a22 .Φ r
dt
(52)
Fig. 3 . Schéma de simulation de la commande non
linéaire MAS avec observateur MG de flux et estimateur
de vitesse rotorique.
Où :
a11 = −
D
;
LS .σ
a12 =
1
M
M
(
− j.ω r
);
LS .σ Lr .Tr
Lr
a21 =
1
M
; a22 = j.ω r − ;
Tr
Tr
R .M 2
L
1
; D = Rs + r 2 ; Tr = r
Ls .σ
Lr
Rr
Ce système d’équation peut être
réarrangé comme suit :
B1 =
vs = ( Rs + Rr
M2
di
M
M
).is + Ls .σ . s −
Φr + . jωr .Φr
L2r
dt Lr .Tr
Lr
(53)
Considérant que les vecteurs tension,
courant et flux rotorique peuvent êtres
exprimés sous forme complexe, à partir de
l’équation (VI.1), on déduit
la vitesse
rotorique estimée :
di
di
(54)
) − Φˆ ( v − D .i − L .σ
Φˆ ( v − D .i − L .σ
sβ
ωˆ r =
rα
sβ
sβ
s
rβ
dt
Φˆ
2
sα
sα
sα
s
dt
M
Lr
7. Simulation
Nous simulons le comportement de
l’observateur du flux rotorique et de la vitesse
en utilisant le schéma de la figure 3.
Les figures 4, 5 et 6 montrent que le
système est découplé et que les réponses sont
sans erreurs statique et sans dépassement.
Nous remarquons aussi que l’intégration de
l’observateur n’a pas d’influence sur les
Fig 4 .Réglage de la MAS sans capteur
mécanique.
performances du réglage. D’autre part, le
flux Φ r est orienté dans la direction ‘d’
( Φ dr = Φ r ; Φ qr = 0 ). Nous remarquons aussi
que les flux observés convergent rapidement
Volume 48, Number 1, 2007
9
Fig. 5. Réglage de la MAS sans capteur
mécanique : réponse de la vitesse.
vers les flux réels et ne les quittent pas
ultérieurement.
8. Conclusion
Dans cet article, nous avons présenté la
commande non linéaire d’une machine
asynchrone sans capteur mécanique avec
observateur du flux rotorique à mode glissant.
Le découplage est obtenu par la technique de
linéarisation E/S du modèle de la machine
asynchrone dans le repère dq. Le contrôle du
flux rotorique est réalisé par un correcteur
classique. Le flux est estimé par un
observateur MG, la vitesse est déterminée par
un estimateur et contrôlée par un régulateur
classique. Le flux observé et la vitesse
estimée convergent rapidement vers les
variables réelles correspondantes. Les
performances de ce système de contrôle sont
satisfaisantes et prometteuses.
Fig . 6 .Réglage de la MAS sans capteur
mécanique : réponse du flux.
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régulation en vitesse ou en position de la machine
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ACTA ELECTROTEHNICA
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induction motor speed control”, Lecturer in school
of electrical and information engineering.
University of Sydney, NSW2206, Australia.
D(x) : Matrice de découplage
zi(1,2,…) :Changement de variable
v1, v2 : Commande linéaire
e : Erreur d’estimation
K : Gain d’observation
Paramètres de la MAS
Abdelber BENDAOUD
P = 1.5 kW
U = 380/220 -50 Hz
I = 3/6 A,
Rs = 4.85 Ω,
Ls = 0.274 H,
J = 0.031 Kgm2 ,
p=2
N = 1450 tr/mn
M = 0.258 H
Rr = 3.81 Ω
Lr = 0.274 H
f = 0.0114 Nm/rd/s
Notations utilisées
v sd : Tension statorique instantanée dans l’axe d
v sq : Tension statorique instantanée dans l’axe q
i sd : Courant statorique instantané dans l’axe d
i sq : Courant statorique instantané dans l’axe d
ωs : Pulsation statorique
ω sl : Vitesse de glissement
Ω r : Vitesse mécanique de rotation
C e : Couple électromagnétique
C r : Couple résistant
Φ : Flux
Φ̂ : Flux estimé
L f h ( x ) : Dérivée de Lie de h(x) le long de f(x)
V̂s : Représente le vecteur des tensions observées
Λ : Matrice des gains de dimension (n x r)
Γ : Matrice carrée (r x r)
S : Vecteur surface
f̂ : Modèle d’estimation
Q : Matrice carrée
δ 1 , δ 2 , q1 , q 2 Constantes
Abdelrahim BENTAALLAH
e.mail: ba_asmo@yahoo fr
Abdelkader MEROUFEL
e-mail : [email protected]
Ahmed MASSOUM
e-mail : [email protected]
e-mail : [email protected]
Karim MEDLES
e-mail : [email protected]
Laboratoire I.C.E.P.S
Département Electrotechnique
Faculté des Sciences de l’Ingénieur
Université Djillali Liabes
BP 89 Sidi Bel Abbes 22000, Algérie