codage-information

ISN
Codage binaire et quantité d’informations
I.
La numération décimale
Dans le système décimal, on utilise 10 chiffres :…………..Le système décimal est donc
un système de numération de base 10.
Ainsi les nombres se décomposent en une somme de facteurs de 10n, c'est-à-dire en unités,
dizaines, centaines, milliers, millions,….
Tout nombre entier naturel p se décompose de façon unique sous la forme :
p an10n
où n
.... a2102
a1101 a0 avec
et an , an 1 ,...., a2 , a1 , a0
0;1;2;.....;8;9 .
an 110n
1
On appelle cette écriture une décomposition en base 10 de p .
La suite an an 1.... a2 a1a0 est appelée écriture décimale de p .
On note
an an 1.... a2 a1a0
10
.
Exemple
Le nombre 4138 peut s’écrire : 4 × ……. + 1 ×…….. + 3 × ……. + 8 × …….
En partant de la droite : -
Le 1er chiffre (de rang 0) correspond aux unités : 100=1
Le 2ème chiffre (de rang 1) correspond aux dizaines :
………………..
-
Le 3ème chiffre (de rang 2) correspond aux ……………… : …………
-
…………
La position (ou rang) de chaque chiffre dans le nombre est importante , elle définit le
"poids" du chiffre dans le nombre .
Le chiffre de poids le plus fort correspond à celui dont la puissance de 10 est la plus grande
(chiffre le plus à ………………)
Le chiffre de poids le plus faible correspond à celui dont la puissance de 10 est la plus petite
(chiffre le plus à ………………)
1 000 100
103
Chiffre de
poids le + fort
4
10
1
102 101 100
1
3
8
Chiffre de poids le
+ faible
Exercice : 265301 (10) =
………………………………………………………………………………….
Vu de l'extérieur, un ordinateur permet de stocker, transformer, traiter et
transmettre de l’information aussi variée que des nombres, du texte, des images, des
sons….et dans des domaines comme l’ingénierie, le calcul scientifique, les bases de
données, la finance ….
Cependant, les seules données qu'il peut manipuler sont 0 ou 1. En effet, la
mémoire des ordinateurs est constituée d'une multitude de petits circuits
électroniques élémentaires : des transistors.
Un transistor fonctionne comme un robinet.
Le courant passe (1) ou ne passe pas (0) selon la tension en B,
comme l’eau coule ou pas selon la position du levier.
Ainsi un transistor ne peut être que dans deux états: 0
(absence de tension) et 1 (présence de tension). Ces valeurs sont
appelées booléens ou chiffres binaires ou bits (BInary digiT).
Il est donc nécessaire de mettre l'information sous cette
forme: c’est la phase de codage, préalable et nécessaire à tout traitement de
l'information.
II.
Le codage binaire
Dans le système binaire, on utilise 2 chiffres :…………..Le système binaire est donc un
système de numération de base 2.
Ainsi les nombres codés en binaires se décomposent (en décimal) en une somme de
facteurs de 2n.
Tout nombre entier naturel p se décompose de façon unique sous la forme :
p an 2n
an 1 2n
1
.... a2 22
a1 21 a0 avec
et an , an 1 ,...., a2 , a1 , a0
n
0;1 .
On appelle cette écriture une décomposition en base 2 de p .
La suite an an 1.... a2 a1a0 est appelée écriture binaire de p .
On note
an an 1.... a2 a1a0
2
.
Exemple de conversion de la base 2 vers la base 10
Le nombre binaire 100111 correspond (en décimal) à :
1 × ….. + 0 × ….. + 0 × …… + 1 ×…… + 1 × …. + 1 × ….= ……………………………………….
En partant de la droite : -
Le 1er bit (de rang 0) correspond aux unités : 20=1
-
Le 2ème bit (de rang 1) correspond aux deuzaines : ………………..
-
Le 3ème bit (de rang 2) correspond aux quatraines : ………………..
-
…………
Attention, l'ordre des bits est important; leur position définit le "poids" du bit dans le nombre.
Le bit de poids le plus fort correspond à celui dont la puissance de 2 est la plus grande
Le bit de poids le plus faible correspond à celui dont la puissance de 2 est la plus petite
bit de poids le +
fort
32
25
1
16
24
0
8
23
0
4
22
1
2
21
1
1
20
1
bit de poids le +
faible
Exercice 0
Compléter : 20 = …… ; 21 = …… ; 22 = …… ; 23 = …… ; 24 = …… ; 25 = ……
26 = …… ; 27 = …… ; 28 = …… ; 29 = …… ; 210 = …… ; 211 = ……
Exercice 1
1) Exprimez en décimal les nombres suivants :
a) 02
b) 12 b c) 1002 d) 112 e) 1102 f) 101012
g) 1101101102
h) 10001101101102
2) Quelle heure est-il ?
3) Vous pouvez maintenant comprendre cette excellente blague d’informaticien :
« Il y a 10 sortes de gens sur terre : ceux qui comprennent le codage binaire et les autres. »
Exercice 3
Trouver la représentation en base 10 des nombres 1001 01102 et 0001 00112
C’est en 111 1001 00002 qu’a été démontré le théorème fondamental de l’informatique.
Exprimer cette année en base dix.
Exercice 4 Compléter l'écriture en base 2 les entiers entre 0 et 15:
Base 10
0
1
2
3
Base 2
0000
0001
0010
0011
Base 10
8
9
10
11
4
5
6
7
12
13
14
15
Base 2
Exercice 4 Quel est le plus grand entier naturel représentable sur 4 bits?.Sur 8 bits?
………………..
Conversion de la base 10 vers la base 2
2
Il s'agit donc de faire des divisions successives par 2, jusqu'à obtenir un quotient égal
à 1. Le dernier quotient et les restes, notés dans l'ordre inverse, donnent l'écriture
binaire du nombre.
Algorithme pour écrire un nombre entier en binaire
variable : n est un entier non nul
Entrer n
Tant que n 0
Si n est pair, afficher à droite "0"
Sinon, afficher à droite "1"
Affecter à n le quotient
entier
n 2
Exercice 5 Déterminer la représentation binaire des nombres 57 et 25.
On trouve sur Internet de nombreux outils permettant de convertir d’un système vers l’autre.
A savoir : pour saisir en nombre écrit en binaire, on fait précéder le nombre de « 0b ».
III.
Quantité d’information
Un peu de vocabulaire
Un bit (binary digit)est un chiffre binaire, c’est-à-dire 0 ou 1.
Un mot binaire est une suite finie de bits (de 0 et de 1). La taille d'un mot
binaire est son nombre de bits.
Un mot (machine) est la quantité de bits standard manipulée par un
microprocesseur (CPU). La taille du mot s’exprime en bits (ou en octets).
Un microprocesseur est d’autant plus performant que ses mots sont longs car
les données qu’il traite à chaque cycle sont plus nombreuses. C’est pourquoi
on classe les microprocesseurs par la taille de leur mot : 8, 16, 32, 64 bits (soit 1,
2, 4 ou 8 octets).
Un octet (o) est un mot de 8 bits appelé byte (B) par les anglais. exemple:
est un octet.
Exemples de format classique :
00000000 mémorise le nombre 0 sur 1 octet
11111111 mémorise le nombre …….. sur 1 octet
00010011 mémorise le nombre …….. sur 1 octet
……………. .mémorise le nombre 27 sur 1 octet
Attention Ne pas oublier de placer les 0 devant le nombre si besoin.
Nombre d’objets codables
Le format d’un mot binaire impose le nombre de valeur que peut prendre le mot.
Avec 1 bit il est possible de coder ….valeurs : ……………On peut donc coder
……informations avec 1 bit.
2 bits permettent de coder ……… valeurs différentes : …………… On peut donc coder
..…informations avec 2 bits.
3 bits permettent de coder ……… valeurs différentes : …………… On peut donc coder
..…informations avec 3 bits.
1 octet permet de coder …...… valeurs : les nombres entiers allant de … à ….. On peut donc
coder ……informations avec 1 octet.
2 octets permettent de coder …...… valeurs. On peut donc coder ……informations avec 2
octets.
Pour un format de n bits, on peut exprimer …………. valeurs différentes.
Les unités :
Les unités : les préfixes utilisés traditionnellement : kilo, méga, giga…. ne
représentent pas une puissance de 10, mais une puissance de 2:
1 kilo-octet (K ou kB) =
octets =1 024 octets
1 méga-octet (Mo ou MB) = 220 octets = 1 024 Ko = 1 048 576 octets
1 giga-octet (Go ou GB) = 230 octets = 1 024 Mo = 1 073 741 824 octets
1 téra-octet (To ou TB) = 240 octets = 1 024 Go = 1 099 511 627 776 octets
1 péta-octet (Po pou PoB) = 250 octets = 1 024 To = 1 125 899 906 842 624 octets
Attention
kB signifie kiloByte, 1 Byte = 1 octet
Le système international tend cependant à normaliser
cette notation :
Exercice 6
1) Combien d’objets sont codables avec 1 bit, 8 bit, n bits ?
2) On souhaite pouvoir coder 1000 objets. Combien de bits sont nécessaires ?
3) Si l’on veut associer un code binaire à chacun des 60 000 000 de français, combien d’octets
seront nécessaires ?
Exercice 7
Classer les mesures de capacité suivantes par ordre croissant : 100 bits ; 10 octet ; 4 Ko ; 1 Mo ; 1 Go ;
4000 octets ; 1000 Mo.
Exercice 8
1) Une image est un ensemble de points colorés (les pixels) : si la palette utilisée comporte
32 768 couleurs, combien de bits seront nécessaires pour coder les couleurs ?
2) Un livre comporte 500 pages, chacune composée de 80 colonnes et 40 lignes. Un caractère est
codé sur un octet. Pourra-t-on, sans utiliser de logiciel de compression, stocker ce livre sur une
disquette de 1,44 Mo ?
3) Une photo haute résolution comporte 720x480 pixels, la couleur de chaque pixel étant codée
sur 24 bits. Pourra-t-on la stocker telle quelle (format bitmap) sur une disquette de 1,44 Mo ?
Exercice 9
Environ 25000 étudiants sont inscrits à l'université de Provence. On peut estimer à 5000 le nombre de
nouveaux étudiants à inscrire chaque année. Un numéro est attribué à chaque étudiant. Bien
évidemment, deux étudiants différents ne doivent pas avoir le même numéro.
1) Combien de bits sont nécessaires pour coder un de ces numéros (pour que chacun des 25000
étudiants ait un numéro distinct) ?
2)
Les logiciels utilisés ont l'octet comme unité de mémoire. Combien d'octets sont nécessaires
pour coder un numéro d'étudiant ?
3) Pour chaque étudiant, on mémorise en plus de son numéro, son nom, son prénom, sa date de
naissance, son adresse, et divers renseignements concernant sa scolarité. En supposant qu'au
total un kilo-octet doit ^etre réservé pour chaque étudiant, pourra-t-on stocker l'ensemble de
ces renseignements (pour tous les étudiants) sur un CD-ROM? en mémoire vive (RAM) d'un
ordinateur ordinaire ? sur un disque dur de capacité standard ?
Quelques ordres de grandeur :
Clés USB:
entre 1 et 8
Go, jusqu’à
128 ou 256 Go.
CD-Rom:
650Mo.
DVD-Rom : 8,5
Go. DVD-R
(simple couche) :
4,7 Go.
Disques
durs: 150,
250 ou 500
Go,
jusqu’à 1 To.