Au delà de l`évaluation en pire cas : comparaison et évaluation en

Au del`a de l’´evaluation en pire cas : comparaison et
´evaluation en moyenne de processus d’optimisation pour
le probl`eme du vertex cover et des arbres de connexion
de groupes dynamiques.
Fran¸cois Delbot
To cite this version:
Fran¸cois Delbot. Au del`a de l’´evaluation en pire cas : comparaison et ´evaluation en moyenne
de processus d’optimisation pour le probl`eme du vertex cover et des arbres de connexion de
groupes dynamiques.. Recherche op´erationnelle [cs.RO]. Universit´e d’Evry-Val d’Essonne, 2009.
Fran¸cais. <tel-00927315>
HAL Id: tel-00927315
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00927315
Submitted on 12 Jan 2014
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destin´ee au d´epˆot et `a la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publi´es ou non,
´emanant des ´etablissements d’enseignement et de
recherche fran¸cais ou ´etrangers, des laboratoires
publics ou priv´es.

´
Ecole doctorale Science et Ing´enierie
U.F.R. Sciences Fondamentales et Appliqu´ees Universit´e d’´ Evry Val d’Essonne
Th`ese
pr´esent´ee par
Fran¸cois Delbot
pour obtenir
le grade de docteur en sciences
de l’Universit´e d’´ Evry Val d’Essonne
(sp´ecialit´e informatique)
Au del`a de l’´evaluation en pire cas :
comparaison et ´evaluation en moyenne de processus d’optimisation pour le
probl`eme du vertex cover et des arbres de connexion de groupes
dynamiques.
soutenue publiquement le 17 Novembre 2009 devant le jury compos´e de
Rapporteurs : M. Vangelis Paschos (Professeur `a l’Universit´e Paris-Dauphine)
M. Christophe Picouleau (Professeur au CNAM)
Examinateurs : M. Evripidis Bampis (Professeur `a l’Universit´e d’´ Evry)
M. Franck Butelle (Maˆıtre de conf´erences `a l’Universit´e Paris Nord)
M. ´ Etienne Birmel´ e(Maˆıtre de conf´erences `a l’Universit´e d’´ Evry)
Directeur de th`ese : M. Christian Laforest (Professeur `a l’Universit´e Blaise Pascal)
Th`ese pr´epar´ee dans l’´equipe OPAL au sein du laboratoire Informatique, Biologie Int´egrative et
Syst`emes Complexes (IBISC) de l’Universit´e d’´ Evry Val d’Essonne – FRE CNRS 3190

2

Table des mati`eres
Introduction g´en´erale 7
I Comparaison et ´evaluation en moyenne d’algorithmes online et d’approxi-
mation pour le probl`eme du vertex cover 11
1 Le probl`eme du vertex cover : les limites de l’´evaluation en pire cas 13
1.1 Le probl`eme du vertex cover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Comparaison des deux algorithmes les plus connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Les algorithmes Maximum Degree Greedy et Edge Deletion . . . . . . 15
1.2.2 Les limites de l’´evaluation en pire cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Les graphes Anti-MDG : un pire cas improbable . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Comparaison de deux algorithmes de liste 25
2.1 Pr´esentation des deux algorithmes de liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 L’algorithme Sorted ListRight est meilleur que l’algorithme Sorted ListLeft . 27
2.3 Les graphes P roW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Deux algorithmes facilement distribuables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Description des algorithmes SLLrep et SLRrep . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 ´ Evaluation des deux algorithmes r´epartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3´ Evaluation en moyenne de deux algorithmes de liste 39
3.1 Sorted ListRight et Sorted ListLeft face au pass´e et au futur . . . . . . . . . 39
3.2 LR est 2-approch´e en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Comparaison de ListRight et ListLeft sur les graphes d’Erd¨os-Renyi . . . . . . . 46
3.3.1 Preuve du th´eor`eme 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2 Esp´erance et variance de ListRight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4Calculs analytiques de l’esp´erance de la taille de vertex cover construits par divers algorithmes
sur les chemins 57
4.1 Deux algorithmes suppl´ementaires : Greedy Independent Cover et Depth First Search 58
4.2 Expression de l’esp´erance de ListLeft sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Expression de l’esp´erance de ListRight sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Expression de l’esp´erance de Edge Deletion sur les chemins . . . . . . . . . . . . . 64
3